21秋 福师网院 《近世代数》网上作业

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《近世代数》练习题

一、（10分）设H和N都是群G的正规子群，证明：HN是G的正规子群。（提示： 先验证HN是子群，再验证是正规的)
二、（10分）求对称群 中置换乘积 的轮换表达式。（来自教材19页习题1.1第21题）
三、（10分）将下列置换写成不相交轮换的乘积。
   。
（来自教材18页习题1.1第19题）
四、（10分）记 表示非零复数集合构成的乘法群,  是模为1的复数集合构成的乘法群,  表示正实数集合构成的乘法群,证明  。（来自教材59页习题1.10第4题）
五、（10分）证明：偶数个元的群中都含有一个元a不等于单位元e，使得 。（来自教材18页习题1.1第13题）
六、（10分）设R是有单位元1的除环，在R中规定新的运算：
，
证明：  构成有单位元的除环。（提示：先验证R满足环的定义，再验证有单位元，且每个非零元有逆元）
七、（10分）解同余方程组

（来自教材102页习题2.8第1题）
八、（10分）用费尔马小定理求 ,使得 .
（来自教材92页习题2.5第4题）
九、（10分）令 它是环。 是 的主理想，问 中是否有零因子？（来自教材89页习题2.8第2题）
十、（10分）在 中的所有理想，并指出哪些是极大理想.（来自教材89页习题2.4资料来源：谋学网（www.mouxue.com））