22春西南大学[0158]《高等代数》课程作业资料

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1、在矩阵运算中，任何两个矩阵都可以进行加法运算。
4 g. a& W5 f/ |. A.√
. B.×??
/ A9 Q. r5 {/ @- N! r) ^! S: t
9 f& ?+ v. L, p! k$ }
; _' j. W9 Z, ^; g, ~7 F3 y* b& F
. N0 Q7 D, s0 e( N2、A,B为两个n阶矩阵，则A+B的行列式等于A的行列式与B的行列式之和。
: [1 Z8 T1 S0 G' x: j! P9 @. A.√
. B.×??

" I: e  p; H) h  v' L
  Z% o  g! P" l  N+ F' s0 [/ w
' \0 }" a) k9 P  c/ C: r; W3、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。
. A.√??
. B.×



4、设A是矩阵，A的秩等于3，则A的列向量一定线性相关。
. A.√??
% ~1 J0 X  Y! x. K+ _8 O" U. B.×

, v1 _4 |, r, q4 z0 s* j& u

5、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。
" E5 @4 g; Z: o5 M+ w  s6 k. A.√??
' X+ H& o$ W1 D& ^# d6 _" a: r3 L. B.×
- {( v: y4 L( @& X* }6 Q0 {) m

3 \, |5 H4 r( t* D% f
, {- c: q* i+ |0 f: f+ R6、设A是n阶矩阵，如果A可经过初等行变换变成单位矩阵，那么A是可逆的。
+ q) w* X, h7 l% A3 O: Y. A.√??
4 c0 N3 j( U) a  t. B.×

9 D0 Q6 v3 n1 l9 l6 u

9 b4 _/ E, j5 O" ~+ }: t- J7、在一个n阶行列式中，若有某两行的元素相同，则行列式的值等于零。
: k) f6 ]+ s* }1 F. A.√??
/ j2 Y4 d0 n; n/ t$ Q0 v1 s. B.×
9 t! q. k4 |$ {, j  q' r


8、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。
. A.√??
. B.×

. U' z0 }' I3 b2 j- f9 ?
4 _: `9 D) S7 X
9、设A是5阶矩阵，A的秩等于3，则A的4阶子式全为零。
& i' V5 Q  @& v' v6 _/ D$ P. A.√??
) q) h4 O  d4 M- d+ |6 |  `% u. B.×
7 w. W. k8 ^& x1 d* P. G% d


- ]% K- t8 M5 j10、矩阵
. A.√
. B.×??
9 W# j5 F# j5 a3 e  _/ p" A- _$ p' }2 r
/ |; [! G% q; i( X3 c$ s; `

# q/ v3 g4 L+ N6 o9 n  t: r" h11、在一个n阶行列式中，若有某两行的元成比例，则行列式的值为零。
. A.√??
. B.×
: t% Z) N8 @! f
3 |- J; j) S4 h* C9 n- z; q
( E# o5 N$ ?, h- c* \# @, ?3 Q
12、一个n阶矩阵如果能与一个对角矩阵相似，那么它一定有n个互不相同的特征值。
3 p* c% Z& X4 p. A.√
. B.×??

0 b$ u2 t- S* A7 D

13、在欧氏空间中，两个单位向量的和向量一定不是单位向量。
. A.√
. B.×??
0 U2 Q$ }* G1 J& u


& u" J; U: G% e8 k14、设V是n维线性空间，W是V的m维子空间，是V的基，则是W的基。
3 }) \( m/ W6 q6 D6 ~7 e; d& Y+ b. A.√
8 L. o, H) D1 W5 d( y; ]' l" N6 X$ k. B.×??



2 t) F: O* `3 `. K15、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。
. A.√??
. B.×
1 E2 `# y& h& c9 X- E. S" _


16、设A，B为n阶矩阵，r(A)表示A的秩，则r(AB)=r(A)r(B)。
- q: Y. A. q7 C" S" H; M: L. A.√
. B.×??

9 @0 B- P3 [9 \( H7 M
% m4 @: u( U3 K/ A  `0 g; z
17、根据Eisenstein判别法，多项式在实数域R上是不可约的。
. A.√
. B.×??
% Z6 _' v/ R% F5 G" K
9 n: Y! T$ f6 B4 }2 X/ D4 e0 T

18、根据整除的定义可知，零多项式只能整除零多项式。
: i/ f2 J$ i- w4 o1 C. A.√??
0 W5 W  X9 B0 ?) W. B.×

% W1 {7 X9 H. F3 a5 O2 g8 q

9 F6 D2 W2 O9 z$ B$ n19、一个非齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的解向量。
' }6 M) X$ M5 R2 Y+ A" G6 ]0 `. A.√
! X2 z' S6 z% W% C. D. B.×??

. r( D9 {, P( U! i6 C5 c
0 R0 O  }+ @+ z2 K
0 [% P% ^& u0 e7 B- O! |# D20、设是线性空间V的两个子空间，若。
. A.√
0 R  q, l- w7 t4 L7 J; ^3 B1 E. B.×??
/ Q" Y: O% S' ^" H4 x4 ]3 I9 ?
) D' _+ x  E( s$ _( ^

' E8 _2 G2 R6 X; X8 {8 q( S# b21、设W是线性空间V的子空间，。
6 N2 z" e; F6 k! _$ [. A.√??
. B.×
6 ^6 ~+ {# E- J# {' M: P& O( y


$ z% a8 ?( @7 I1 I. W  f22、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。
. A.√
, g; o* U4 L% s$ m6 J. B.×??

: Y. t* o& j% c/ ?
4 {( M  M8 x" `9 C
23、在一个n阶矩阵中，若它的行向量线性相关，则它的列向量也线性相关。
. A.√??
. B.×
3 R1 u. b, y/ q$ D7 \6 z: r


5 _, ]$ Z4 r3 q* u1 u24、在一个5维线性空间中，两个2维子空间的和空间一定是4维的。
. A.√
. B.×??



25、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。
. A.√??
! s0 R) g* v7 W* Q* o4 d; c8 i. B.×
' K% v8 i( ~* Z0 M- @- [$ p! k


26、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。
: v' a$ L3 N1 h" u; z. `. A.√
. B.×??

: g  G1 G6 C" P8 ]

" w, U. S# C6 L0 W: k; }1 i4 U27、若2为n阶矩阵A的特征值，3为n阶矩阵B的特征值，则5为矩阵A+B的特征值。
2 j& ]' V9 R' `3 ]. A.√
. B.×??
/ V" B  v  `1 ^+ w$ q0 X
" s1 S/ ?) r  C$ `  y; [
3 j0 H5 G( ?. ~, X
28、在欧氏空间中，正交变换把正交的向量变成正交的向量。
: e6 g- U3 c  p3 d; I! c& A# O. A.√??
- @" f* l, K- y9 e! ~+ o4 A. z, b. B.×


2 g4 N' |% S( J* R
29、若向量组线性相关，则
7 |; K% G' e2 V. A.√
. B.×??

7 N! q4 w5 o2 z1 F5 E, A# |
2 I! i3 u9 ~6 _
) R9 ?% b4 [, o30、设为一个向量组，由于，所以线性无关。
. A.√
. B.×??
9 T; P- }) y9 ~, j# H; L

# M- @8 Y: D3 A6 `0 d1 Q
31、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。
- E" C4 O4 t8 \# y; {2 D5 D! v( B  Q. A.√
. B.×??
; g. O  J8 x8 Y$ N

8 N0 }, C! S% `) e
  z2 _8 p5 t5 i, e- O5 n32、设A是线性空间V的线性变换，若有非零向量，则A不可逆。
. A.√??
. B.×
" K& H/ l( k. P6 @% V


33、由代数基本定理可知实数域上n次多项式一定有n个实根。
& K; M$ v1 p3 i+ r. A.√
. B.×??
$ q) n0 n- @; E% ]9 P$ u


) P& U8 ^2 B  X3 _, K1 i34、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。
. A.√??
) z$ G! v  D# |* l: b. B.×
+ C; N9 [- y" g, s/ y; O
1 w4 J" k4 R: U+ d6 n
9 d( u& L7 ]5 t0 I4 h8 m3 o
35、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。
' S, t: d6 C9 H' Y" f* A. A.√
. B.×??


1 a; O' l0 u1 ?9 _. o
36、两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等。
. A.√
. B.×??
8 w  F  ~( L8 x% d! a


37、在线性空间中，如果一个线性变换把子空间变成子空间，则它一定是可逆线性变换。
. A.√
. x3 }0 [/ c+ L. B.×??


3 l- W. l4 \! c; V
38、设，若f(x)与g(x)互素，则(f(x),g(x))=1。
. A.√??
. B.×
" g% h1 q$ e( W( v% }
: p' m: D! c# @+ A0 f

5 V. T& |  v/ _; t, N+ F39、设为一个向量组，若，则线性相关。
. A.√??
. B.×
, ?: `. s. V2 b/ T5 h- n, a
2 h& q/ l- |& w2 \7 j" Y. k# i
7 h  \. R- M* g- n, n
8 @# }% Y5 N) g0 T7 ]40、一个3维线性空间只有4个不同的子空间，它们的维数分别为0，1，2，3。
" c8 o$ M4 {' }' O4 P2 |" M" ?. A.√
. B.×??


" R' _5 B& ^2 N. P# i
41、在线性空间V中，若向量线性无关，线性无关，则也线性无关。
) F% x' K4 \6 n! B/ s) `
. A.√
. B.×??
, C  Q4 F3 ^/ B3 k
5 t2 A) A( z1 [# {- B0 h

42、若A，B为n阶对角形矩阵，则AB=BA。
. A.√??
( X% d, X  _$ q; \7 a7 r+ O. B.×

& x+ \$ q/ Y) A$ y
: h; x5 d0 h3 ?: q主观题
43、四级排列4321的逆序数是?? ? ? ? ?。
参考资料：
6
" Q4 s- v/ @7 [9 l. G. [


& N4 l3 [0 f1 m1 x, I+ a44、设A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|=?? ? ? ??。
参考资料：
54
7 h4 ~1 }7 J$ J0 W% j

+ O* X$ Z& y( }7 l
; k7 U# c2 e3 ?45、若是正定二次型，则d满足的条件是?? ? ? ? ??。
* b) v( v, F6 C' I参考资料：
8 y& f" K0 e, g3 P% ~9 d( Y+ v
! ^9 O- i, F5 B$ J( H' ^2 x  m- N/ ?
4 n9 [8 _. |( [4 u) e
: P" ^) H: t$ Z$ X9 k. u0 _1 g
46、设3阶矩阵A的特征值为1，2，b，若A不可逆，则b=?? ? ? ? ? ? ?。
参考资料：
0



9 _9 i+ G6 b8 g& h! b0 C) V& a) M47、在向量组中，，则的秩等于?? ? ? ? ? ?。
参考资料：
5 `" _* Z- |; y7 r$ C9 P: N2

8 V: ?7 i/ H+ p9 P3 l- Q

% W/ H4 f0 H  Y7 B48、设A是n阶矩阵，|A|=5，将A的第一行的3倍加到第二行得矩阵B，则|B|=?? ? ? ? ?。
. c# t& f. |1 T8 G$ {1 P6 v  W. Z) [参考资料：
5


+ s+ a) |8 }) l0 s- W+ @
( b2 e) u' u1 I% M1 h6 b9 c49、在1，2，3，4构成的所有四级排列中，有?? ? ? ? ?个偶排列。
( O& F, o: _8 {* e  U3 U参考资料：
12


& ?3 p) _: G" t- `1 f
' n8 g" g/ H% L/ u4 ~, X& C, h50、设A是矩阵，B是矩阵，若AB可逆，则m，n的关系是?? ? ? ? ?。
' _; c$ I) J" t. U7 N1 }参考资料：

4 L" q& y, }* C; \

" e4 Q9 Z/ n) v# W, t" E( d% J
51、设，则f(x)的所有系数的和等于?? ? ? ??。
参考资料：
3

8 _+ g  s* b# p  u: c3 Q) W

52、若，则c=?? ? ? ? ? ? ? ??。
参考资料：
1 L  s1 e' S* A-1


2 b! \: U5 w) [! H
8 @5 o! j2 i. r& `( K53、设A,B为3阶矩阵，A是可逆的，B的秩等于2，则AB的秩等于?? ? ? ? ??。
* B# L8 Y; D  q/ S参考资料：
  o* i: P2 d/ b5 n7 Q2

; @7 U& U  e( B$ W; D% m

54、在3维线性空间中，向量(2,0,-1)的负向量是?? ? ? ? ??。
# t5 c" }; B- f% J- R: B5 A参考资料：
$ g6 ~! L# M. o(-2,0,1)



55、设，求g(x)除f(x)的商式和余式。
8 j  ~, ^- k, Y  `3 y" A+ a
参考资料：
解：做综合除法：
+ c7 j% _, r6 p4 v& j, k9 {* w% Y- e　　　　　　1   -6   3   16
      3      3   -9   -18
　　　　　1   -3   -6   -2
/ ]  u! q% f$ Y- S' N7 |, G- f所以g(x)除f(x)的商式为：，余式为：-2。……15分
" I8 N7 k) }# T+ B


/ x/ [9 U2 z) R7 _2 I$ [5 R- C  z: W


3 J2 {/ V, U9 l' @; D- O56、设，为A的一个特征向量，求a的值。

参考资料：
0 g6 P  O+ U. h0 s+ f% ^: @9 [解：设是A的属于特征值的特征向量，则，……6分
于是
0 h6 ^; F0 K- M  b& ~，……10分
0 B5 u8 ^" {6 ?5 G8 w所以，解得，所以a = 3。……15分




4 N3 x) z/ A) T1 s+ N; q
57、设(1,1,1,1)是下面的线性方程组的一个解：，求a，b，c的值。

参考资料：
' z% y4 y- V1 M: B: z( c1 @$ c2 C解：由(1,1,1,1)是方程组的一个解得：
，…………8分
5 h3 ~7 y$ o/ B2 J5 j/ T* }所以a = 0，b = 3，c = -2。…………15分
( x! L6 `7 O( B$ a+ @% t+ _$ A, t
# W8 t4 g. o! e* v  J* c+ F2 ?
* J/ P5 o1 k# _( R& b
( e7 v' @$ h- {
- x- m9 b3 \2 E4 v
% @4 {5 U# j: ]; \: D2 \, C2 f& N& E2 ]58、设，2阶矩阵X满足，求X。
0 ~/ Z5 z( M. g* C+ v& V8 X' u
参考资料：
解：因为，而，所以是可逆的。……5分
又，于是
, L$ ~2 R' c: C。……10分
7 X9 u6 X# r9 B& m2 g; u由于，所以
=。……15分
0 u- r2 J) K3 j- W$ P' V, e2 B3 s59、设是齐次线性方程组AX = 0的两个解向量，证明也是AX = 0的解向量。
' w  W9 `7 `* s3 k/ m% G0 z0 N
参考资料：
证明：由已知条件有，……3分
+ R; `4 x# o! M" z, M7 O6 x所以
. v9 _& o( C- k' Y0 P，……7分
+ Y; j2 }+ Q% z所以是AX = 0的解向量。…………8分


- d- J5 m- i; k& [; K% f( V

. y- F* Q  w7 `7 z( J/ R% h

3 @, z! }  W! X. z60、设A是线性空间V的线性变换，，证明：若线性无关，则线性无关。
7 P) n4 N9 {" C; l; W8 Z3 u( X; J证明：设，则
，……4分
5 D* }9 G2 d' t8 h) ^由于线性无关，所以，
所以线性无关。…………8分



8 h, M; x' h- \3 [4 @* B3 F



9 v; U/ j& y; M* F1 h# y