22春西南大学[0158]《高等代数》课程作业资料

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资料来源：谋学网（www.mouxue.com）
  k) r$ h0 F) F- g9 ]4 f1、在矩阵运算中，任何两个矩阵都可以进行加法运算。
' q; J6 d, A; l3 k$ m. A.√
. B.×??
1 X2 f" T& p& {. q( f


2、A,B为两个n阶矩阵，则A+B的行列式等于A的行列式与B的行列式之和。
: j" y) T5 P& L# H* G. A.√
% C' ~" S4 V; ?3 a! T* j* y. B.×??
) u2 g: x( p/ V! _1 Z3 l  u
) f  n7 o5 n' C; Y! j+ |
; @$ v& g' w- r, R
3、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。
. A.√??
. B.×
* \. X; D& m" u+ l( _8 F3 b


! C% P/ q1 D  D, x/ O! H' q4、设A是矩阵，A的秩等于3，则A的列向量一定线性相关。
. A.√??
: ]- J, b% B0 _& }# J. B.×
6 J  i% |) ]0 {  @, j/ X
: W6 t5 S; F( h- i4 j5 s# t
. v( I/ H2 V  ~6 y
( d, X3 G) i4 q. a  g5、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。
  x' {0 O) X. f* w) @1 {. A.√??
. B.×
2 J3 V/ q8 b+ J1 H3 t/ @: m% }
6 a0 b9 J, {. Z- k" m
  _$ k9 J* Z" I8 q/ H
6、设A是n阶矩阵，如果A可经过初等行变换变成单位矩阵，那么A是可逆的。
8 K' G- O  z; E1 I# n7 {. A.√??
. B.×
7 m1 c8 ]8 I8 ]$ l2 L, U/ Y# {


, d. v. {6 z0 x) g! w7、在一个n阶行列式中，若有某两行的元素相同，则行列式的值等于零。
& X3 y7 b! W$ S  t! F1 k/ ]) C9 S. A.√??
. B.×


; x0 }7 S2 s9 b- l: g3 t
  {7 `! @) y5 _0 j3 x8、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。
. A.√??
. B.×



9、设A是5阶矩阵，A的秩等于3，则A的4阶子式全为零。
7 |6 z0 W6 o6 W; X4 n- E1 r. A.√??
. B.×

+ ~+ Q- F3 w$ d- G
  _8 U6 Y% U$ e
9 {, }! o7 B9 g. G/ z) X( [+ l10、矩阵
. A.√
. O2 z# S1 }9 N7 |, ^. B.×??
9 Z8 V& I( \7 P2 E/ l+ f
2 |6 N" n' e6 x' [7 |1 r
1 A" S$ @) G  O+ O- \; O6 W* y$ }
11、在一个n阶行列式中，若有某两行的元成比例，则行列式的值为零。
. A.√??
. B.×

4 C* x: a# C" v

0 z! R* ]; K1 t- @2 F2 l+ @* I  L12、一个n阶矩阵如果能与一个对角矩阵相似，那么它一定有n个互不相同的特征值。
. o9 E! t8 e7 Y. A.√
  n7 C4 o0 u- o7 v" E8 d. |. B.×??

. V6 c* n* g5 i( E# K
  r# j( G. H0 A# {. |% ?
- d- h1 @; n# i6 h7 e4 p13、在欧氏空间中，两个单位向量的和向量一定不是单位向量。
3 z% M2 Q/ {2 ]) j# [. A.√
. B.×??



14、设V是n维线性空间，W是V的m维子空间，是V的基，则是W的基。
; Y1 b: e( A$ O- H/ H. A.√
6 N% t: A$ c; p4 ]. B.×??



15、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。
. A.√??
. B.×

1 |9 m9 D: v- B1 E+ U$ C3 U

. z2 P% o1 S  I16、设A，B为n阶矩阵，r(A)表示A的秩，则r(AB)=r(A)r(B)。
$ |: h( g( b( ~, v- d7 G9 E& d  ]. A.√
+ L+ L9 A8 l) Q& E. B.×??
$ K5 T8 ~6 I# x
0 K( |  y8 h1 D9 i# n2 I- B

17、根据Eisenstein判别法，多项式在实数域R上是不可约的。
% N% o- m& h" [& v8 l! Q' J9 {2 I* ^. A.√
+ O0 j4 {1 @% r1 @. B.×??
- X. t, W$ f$ ^3 Z) l! I


18、根据整除的定义可知，零多项式只能整除零多项式。
. A.√??
. B.×
/ Y6 _1 g/ S6 e; X( j0 a! P1 V1 D/ ^
8 v1 H+ d1 |5 E( Y9 M1 N3 a
) W5 H+ _* e. c0 A8 ^: z. _; R
9 i+ r) a; \* A/ s8 l' N19、一个非齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的解向量。
. p, C- }3 c7 A) U4 V, M4 P. A.√
. B.×??

  `' U4 E) z- ^. F, Z

20、设是线性空间V的两个子空间，若。
. A.√
. B.×??


  B1 o' W# x( R; i7 ~' x0 k9 r) e
21、设W是线性空间V的子空间，。
( k$ Y) p* ]2 k  {* H, X8 h. A.√??
. B.×
3 G7 e; D* ?2 o% c
+ M- G& \0 v+ m( T) s% H- \! k

22、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。
- T0 u; O  W0 E- R3 p. A.√
. B.×??
6 e0 D% K3 f* p
+ [+ M  K* {' L1 n* n

23、在一个n阶矩阵中，若它的行向量线性相关，则它的列向量也线性相关。
. A.√??
. B.×
  _2 I) D9 M0 i) ]7 ?+ F
2 L$ W$ }' J1 C

24、在一个5维线性空间中，两个2维子空间的和空间一定是4维的。
. A.√
  F4 @( w5 U" |1 I, Y. B.×??
$ @& |. {$ n. {8 A/ Z* q" Y

& O/ Q. q  v) s( c( z
' @, K2 J% w' `: V6 |6 J, Y* d! P25、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。
) C; A) z+ A) n% a& W. A.√??
, b1 k3 d% W8 ~$ A+ j  P. B.×

% L% E# i, z' R. G" e1 K6 J( q& j* i4 A8 k
# r. t3 F+ P' j7 _' k2 y0 c
9 d  S% t& t3 [% v26、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。
% z% i+ d& ~3 k, d  S% y4 ]2 k. A.√
. B.×??

4 p, E% {3 o- t1 a

( Q6 x. N  K" D27、若2为n阶矩阵A的特征值，3为n阶矩阵B的特征值，则5为矩阵A+B的特征值。
. A.√
. B.×??

) Y3 F- B3 u2 ]8 f  a( ]: O

% L' v9 d1 A& ~+ {9 @$ m: }28、在欧氏空间中，正交变换把正交的向量变成正交的向量。
. A.√??
+ i6 D$ Z. R) Z4 [. B.×
- K3 m2 }* P% Z5 c9 G4 y


0 R- Y7 M( w/ R29、若向量组线性相关，则
. A.√
. B.×??
1 h: ^2 y2 M0 g8 i


30、设为一个向量组，由于，所以线性无关。
. A.√
- c/ i1 v% ]$ m- _. B.×??

& W; a: ]% p4 D1 m" N
+ Y# S0 x; f' \3 y- A9 t
31、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。
. A.√
  |" O' G! c  ^0 ~! [7 F! q9 t" \. B.×??


! `. C3 h: O' F- Z5 p& W. f
32、设A是线性空间V的线性变换，若有非零向量，则A不可逆。
& n+ _# K$ l* `' s- H, Z. A.√??
' X9 Y  e: Z4 |  c7 {9 A$ [. B.×
: q1 R  H. v$ W


' n2 h4 m. k2 ]1 s* |9 @! c33、由代数基本定理可知实数域上n次多项式一定有n个实根。
. A.√
. W5 _4 {$ Q. U( N& w4 [" _% i. B.×??

5 v: K+ e" ^7 e1 V: L& Y7 J
/ a2 X, Y6 y4 W- q6 e7 [6 ]% W
34、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。
. A.√??
. B.×

1 D+ j9 ^, u+ r3 F* h8 V- d
, v. G' j8 T0 K' |! J
35、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。
. A.√
4 y$ N3 T, D1 {8 {; U5 k. B.×??
" q  c  P7 o8 j$ s, I! I/ [

; |/ w6 |% G" g( @  Q: i1 v  l
36、两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等。
. A.√
. B.×??



37、在线性空间中，如果一个线性变换把子空间变成子空间，则它一定是可逆线性变换。
. A.√
" q& _* l4 N" o6 I0 K4 p. B.×??
4 Q" S- R% s3 h9 N


- q6 Q6 L. y5 f# u2 h$ R38、设，若f(x)与g(x)互素，则(f(x),g(x))=1。
. A.√??
. B.×
8 [8 l# I: p, J% C

2 L3 `+ j8 |; A! I; d; B! e
39、设为一个向量组，若，则线性相关。
. A.√??
. B.×
6 I. j8 e  X( E0 b


, S: C* A2 N$ q8 U2 a40、一个3维线性空间只有4个不同的子空间，它们的维数分别为0，1，2，3。
- H/ l- ~: a' `1 s  b  f. A.√
" q' x" Q7 @0 v; }# w' y. B.×??

  l# y' D$ ~- f/ U# E  e  J9 Q1 k

41、在线性空间V中，若向量线性无关，线性无关，则也线性无关。

' b! m, @" |3 U! M9 E6 s5 _" |; Z. A.√
. B.×??


, c/ q, q' d3 D2 d
/ J" q4 b# Y" J+ s& E42、若A，B为n阶对角形矩阵，则AB=BA。
) ^1 ^' |. b1 i$ D7 N+ G% N" o. A.√??
% C! J8 `- W7 [0 J# \% [+ R. B.×
7 y" c! K+ r! U0 j3 h; j( O  x8 {

0 A$ Q* z- C4 U7 P. Q: k3 T3 w主观题
43、四级排列4321的逆序数是?? ? ? ? ?。
" g! s! C3 w; o' N6 A8 E! l参考资料：
5 R! t; U5 z) F8 s  d. q, V& P6

3 e) K4 t* A& u3 n( ~, J% S

44、设A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|=?? ? ? ??。
参考资料：
54

: Z! ~  o1 D  w
$ K  [# \' V5 N9 s
, e+ F2 N) G! P1 o45、若是正定二次型，则d满足的条件是?? ? ? ? ??。
参考资料：


1 {- m0 z* Z1 i; T1 ^

; W9 U7 P) Y' b46、设3阶矩阵A的特征值为1，2，b，若A不可逆，则b=?? ? ? ? ? ? ?。
! Y* D/ \9 g; @" K& |参考资料：
0
/ Y- ~$ m/ J1 X7 m# p
/ [) J/ F6 F4 y% p  S: n9 r, Z

6 ^# _) p' S/ E$ r& V47、在向量组中，，则的秩等于?? ? ? ? ? ?。
0 r/ @; o* Y" g) ?1 S) ?参考资料：
2



48、设A是n阶矩阵，|A|=5，将A的第一行的3倍加到第二行得矩阵B，则|B|=?? ? ? ? ?。
参考资料：
: I$ ]3 m( C2 y- B; a5
" I9 D4 z; D4 o# S8 F5 G

; [5 t1 G$ z$ |  l3 i% V
& {' ?. [) {' o6 ]2 h; v( l% s, _49、在1，2，3，4构成的所有四级排列中，有?? ? ? ? ?个偶排列。
! B+ F& l) C4 C' K参考资料：
12
( E/ D' ?# T/ m# C0 _5 v8 `


50、设A是矩阵，B是矩阵，若AB可逆，则m，n的关系是?? ? ? ? ?。
1 i* F: M7 M' W' H7 Q$ m参考资料：
' n: _7 F2 t( S  x1 O$ P
! t' S8 G; ?8 g* j1 ~* J
% x# l0 f6 q: C/ ]1 c, L

51、设，则f(x)的所有系数的和等于?? ? ? ??。
& X% \  Z8 V. A  s参考资料：
3
. N+ F! e) B5 n" g
. O4 l8 T& H- M" _9 ?1 h2 C
4 j1 w# I1 D& `2 V) ?% e- \
52、若，则c=?? ? ? ? ? ? ? ??。
3 h+ d* {- W: p$ p% o  F参考资料：
-1
8 x- |) C+ B5 _4 I( |7 |$ u
' _$ h  ^% [" ^, b3 i" |2 B" F

53、设A,B为3阶矩阵，A是可逆的，B的秩等于2，则AB的秩等于?? ? ? ? ??。
参考资料：
2
) c7 L! T1 w  m9 E+ h6 |

! v* k, R( K7 l+ n9 Y( P9 J5 K
* q0 b6 s# h8 J  i54、在3维线性空间中，向量(2,0,-1)的负向量是?? ? ? ? ??。
参考资料：
' L$ p& {% W2 o, p9 B: P(-2,0,1)


. z, I" r( R2 m/ J! ?) G3 q5 j
55、设，求g(x)除f(x)的商式和余式。

' z) i& n& ?  N( _/ Q0 l参考资料：
6 d+ F  w9 @, @# S/ f: N6 q4 X% ~2 D解：做综合除法：
7 p7 g2 u9 K# e, @　　　　　　1   -6   3   16
      3      3   -9   -18
　　　　　1   -3   -6   -2
所以g(x)除f(x)的商式为：，余式为：-2。……15分
7 M9 J9 L1 R- ?6 q/ m/ N
" z- }7 I2 p' m! Y/ d
8 M1 Z* Z/ I; [1 K2 H
$ n  z; U: ~6 m1 T/ s3 E  @; O
/ B/ F% K- p. a) R1 k
6 R2 T+ e' F5 ?# e0 }6 K! s
% u; u" z1 z6 X56、设，为A的一个特征向量，求a的值。
( Y% L0 c% B& L
. ~" Z) ]5 f6 d  |2 ?' E) U参考资料：
解：设是A的属于特征值的特征向量，则，……6分
6 \. m0 i* V; @; E( C- r于是
，……10分
0 p& B, U' k: P+ `+ A5 i& b所以，解得，所以a = 3。……15分



0 ], a! _3 z9 e& ^8 P8 ~

57、设(1,1,1,1)是下面的线性方程组的一个解：，求a，b，c的值。

) L8 g# u* \/ p- k5 u参考资料：
解：由(1,1,1,1)是方程组的一个解得：
，…………8分
: P- a) j+ q! r) B* B' A所以a = 0，b = 3，c = -2。…………15分

6 }0 V8 K: ?3 ]* i

4 i7 c, ]5 B2 S
0 Q; i7 _0 f0 q' x. a
" C' [& S0 `% f, ~* i3 c& y2 T58、设，2阶矩阵X满足，求X。

# B; U' u7 k6 p: I1 t参考资料：
解：因为，而，所以是可逆的。……5分
7 Q6 q# W4 P0 _0 Z. V  C" h1 v又，于是
。……10分
* Q# a* f! L& L# X) r( U由于，所以
=。……15分
* z, A+ p$ M0 \' W& d- D$ S59、设是齐次线性方程组AX = 0的两个解向量，证明也是AX = 0的解向量。
4 c7 P7 F/ g' i0 p$ f- s% v
参考资料：
8 K/ x6 \0 Y& h3 V; f, z: r  n证明：由已知条件有，……3分
  v' R6 y: z% w4 z0 i" C) u/ [所以
，……7分
, ?/ x# T$ R5 v- o* P所以是AX = 0的解向量。…………8分


7 [& i- b, ~9 R0 B$ U
+ t: ~: I2 Z. S& [# p
: j: h3 A2 x1 ?7 c8 z& D, ~+ @: u

60、设A是线性空间V的线性变换，，证明：若线性无关，则线性无关。
证明：设，则
8 _5 c7 G  [/ y& C，……4分
由于线性无关，所以，
2 q" N& N' n2 S, N' s7 y3 n% r所以线性无关。…………8分



1 l: y2 \- [. t; |, g+ K