22春西南大学[1245]《几何学》课程作业资料

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1、设i,j,k是两两垂直的单位向量，则(? ? )
. ?j
. ?k??
# @# H, d5 D8 |9 ~( v: Y. ?0
. ?i
, }  R" {! D$ y& i1 j; j4 x


! C- c6 ~) {7 {! i7 \2、已知向量a=(1,1,2), b=(2,2,1),则(? ? )
. ?0
. ?6??
. ?1
. ?2



3、已知向量a=(-1,2,1),b=(0,1,1),与a,b均垂直的向量是(? ? )
. ?(3,2,1)
( ~: k$ ~: v+ ^( e0 Y4 s. ?(1,1,-1)??
; M! l, B' w! }1 j" f3 S" S. ?(1,2,3)
. ?(-2,2,1)

5 w7 {: V) V  Z1 d/ T, a6 I. S

4、点(2,1,0)到平面3x+4y+4=0的距离是(? ? )
+ S1 a7 {2 P! R3 P- v% p4 [! l. ?1
, Y6 m+ w; Q; T  ~1 T. ?3
% g7 x& @) i! p9 n! k. ?0
+ ]4 _& y+ v) P% `& G1 _. ?2??
" G5 c2 h) e  x3 L$ i: b- `


5、直线y=2x上的无穷远点的齐次坐标是(? ? ?)
. ?(2,0,0)
. ?(1,2,0)
6 i) @. e) `# ~' g. ?(2,1,0)??
. ?(2,-1,0)



6、已知共点四直线a,b,c,d的交比(ab,cd)=4,则（db,ca）=(? ? ?)
; [5 p" z, o( J0 N% b8 K. ?2
6 s6 \/ Q) S, P* a) Y. ?-3??
. ?1/4
. ?3



( x6 Y% y1 U6 T; u. ~& p- N7、下列命题叙述正确的是( ? )
% g$ D) `" U% t. ?单叶双曲面上同族的任意两直母线必相交
. ?单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面??
; v  o, T1 {+ h+ F. ?双曲抛物面上异族的任意两直母线必异面
/ x5 z) w' X2 c- \8 S. ?双曲抛物面上同族的任意两直母线必相交

- y# ^: ^3 E" F& H
1 L1 C- C4 }. w; n+ Q0 i
9 F& v5 ~2 `; \- {5 r9 @4 ^8、不属于仿射几何研究的对象是(? ? ?)
  }  |. y( z4 h6 _; e5 t. ?平行性
! r9 I2 z# h2 K) ^; H5 e: M. ?长度??
. ?单比
$ d7 Y$ H0 k( y. w8 P. ?同素性



9、已知3向量a=(1,1,0), b=(2,0,1), c=(1,1,1),则混合积(? ? )
# X2 r( H6 ~3 ?, D4 K) _# p2 K. N" o. ?-2??
. ?1
2 M" h7 x& U  b5 B% y  s3 x" U  I. ?2
4 O4 m* O1 W3 R. ?-1
9 P+ r5 I) a9 g# T" U


10、下列曲线属于无心二次曲线的是( ?? )
. ?椭圆
. [# j6 h: n4 |# }. ?抛物线??
. ?圆
. ?双曲线

+ a  t3 B1 u1 _- Q9 B& k3 z

11、点C是线段AB的中点，则单比(ABC)=(? ? ? )
. ?-1??
. ?0
. ?1
2 A/ v, `2 U6 C# F4 P. ?2

, D2 h6 i7 ~$ H# X9 d

12、平面z+1=0截割单叶双曲面所得双曲线的实半轴长是(? ? )
. ?4??
. ?3
. ?5
6 U1 i9 u; ]* D$ h" Q/ G. ?6


多项选择题
13、下列关于二次曲线性质叙述正确的是(? ? ? )
3 Z$ y  W" ]) u* S8 Z# ?7 S6 ?! S1 t. ?无穷远点关于二次曲线的极线是二次曲线的直径
" V8 N! s( y  c: n3 t. ?二次曲线的中心的极线是无穷远直线??
. ?渐进线是直径，其共轭直径就是它本身??
7 U+ W" v4 \3 \& _. ?彼此平分与对方平行弦的两直径是一对共轭直径??

/ _" @( C/ s' W, \% G5 `
8 q  @1 D: Y0 ^6 ^
8 A; `) w0 O8 i/ O8 M% _4 f9 s% X14、下列关于二次曲线奇异点的性质表述正确的是(? ? ? ?)
. ?二次曲线无奇异点
0 U; M7 I% \8 s6 Z6 c/ C% c! G  J. ?二次曲线的奇异点可以只有一个??
& l# R  L5 j% h( l. ?奇异点一定在二次曲线上??
. ?二次曲线的奇异点可以有无穷多个??

3 e. c" G! b  x
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）
15、抛物线无共轭直径
. A.√??
+ E( s/ r# c- ^  H2 H. B.×
3 q# Y9 H! l  S


16、射影几何里的不变量一定是欧氏几何里的不变量
. A.√??
. B.×


. A, c- T3 O1 W+ v  m
17、双叶双曲面是直纹面
$ p5 X2 \# s* D" e. A.√
$ D. J% b$ B% f. B.×??
) h  `- @) h9 `5 n
7 _8 B) f4 e8 w

18、两向量的外积等于两向量为邻边的平行四边形面积
  L) j0 K1 m' S. l* I. {. A.√
. B.×??
  Z2 T- g9 V+ i; |1 r$ U
( i, K5 c: j4 M4 y4 e' {
# U! u( e  Z) {  ]( C) I
19、二次锥面是旋转曲面
. A.√
! B9 v" L) R/ o% E1 ?. B.×??
) z  w1 d9 F6 H, D& D0 a4 ^( W$ T

- l+ p" z; I1 |7 u) ^3 S+ _2 d4 y
0 u6 D0 c. k1 K+ d20、射影平面上的两直线总相交
6 s: i, s3 M7 u4 J; }( n1 r. a2 N. A.√??
$ g4 ~9 X. ^% d8 U! V. B.×


4 ]4 Z  F5 W0 _
( u+ u# m: ^* c1 r8 h21、射影变换把无穷远直线变成无穷远直线
" A' \4 j6 R. C  ^' s. V. A.√
8 l  q9 [) ~- J) q# F- M4 D. B.×??
: ^+ H- h1 H+ [  S; a/ W


22、圆锥面是旋转曲面
2 T. u' p% @6 M$ u& z. A.√??
) ]. ]% z$ g* b: c2 O  G8 G. B.×
& N9 G: W) x; v# f1 v1 I7 F


23、任何一个三元一次方程总是表示空间一平面
2 [% T  k* Y# U4 o4 @. A.√??
. B.×

$ r( w9 r$ U: T5 [7 p' n: r
$ p  v+ t, O2 D4 }: m3 i  e7 W8 t
  T8 Q9 g# n5 a- t; Q# `8 B24、二次曲线的中心不是仿射不变图形
. A.√
. B.×??


2 `: n' p& q1 K6 b3 a8 u, R4 T
25、平面既是柱面又是锥面
. A.√??
: e! B  @- L( F4 y. B.×



26、中心射影不能把椭圆变成抛物线
. A.√
. B.×??
' L" l% A; D, F% \4 \# ~/ Q
# d) [4 F$ I. b6 q6 C

27、共面向量也是共线向量
; v4 k( D3 o* q) W3 K. {: K. A.√
. B.×??
% y9 ~8 b; A+ J) Y
( x' U  w4 E" V, g9 y6 _9 e
  R' k/ z5 a& `
28、无穷远直线是仿射变换的不变图形
/ k7 y' r+ j# V# d  K" \( d+ {. A.√??
6 v4 R8 r) @0 g3 o. B.×
7 r( r8 p7 z; r' p


' |# T  H6 A/ Y; a1 U5 Y29、共线向量一定是共面向量
. A.√??
. B.×
4 V% Q) t8 S* S* n2 P" W% b! f


" j1 `9 J! V! f& h0 T9 G4 D0 y30、两向量的外积的模等于这两向量为邻边构成平行四边形的面积
% T- w0 {6 }8 D* ~: Z6 K6 p* M. A.√
. B.×??


% m! f, Q& {7 \7 }3 {主观题
31、向量a=(1,1,0),b=(1,0,1)的夹角是_______
1 S" r6 r. F1 q8 ?+ |: i4 }参考资料：


8 \% R2 z0 ]- f

3 F1 c8 g7 M7 H* P8 o2 I32、设有两向量a,b，如果,,,那么_________
" E! F9 \, c( I# ^; T) W3 D参考资料：
4 }0 }# Z5 h7 H7 O3 s7 F0 k8 h( k! p


9 x3 w2 k% j. v: F& K7 ?
2 ^6 F1 \8 x+ N33、两平行直线与间的距离是________
: Q9 ?/ A, g: |6 ~1 z3 ?参考资料：
+ o2 z# `+ ~0 G/ A% D8 C
2 ~* D% d+ w5 n5 c. d
. k. g1 s& {# I8 ?7 F2 H2 ]
5 x) I; C: ?0 x
3 e8 i2 d- L. v2 S: v; e34、渐近线是直径，其共轭直径是 _______
参考资料：
' c& _7 T" \7 V
8 Y+ l  M0 C8 a' v/ B
" ]& w9 j! t3 i! d4 R2 V/ \' M& \

2 {! @; }6 T6 y& |* _; o& I% X35、通过原点与点(6,-3,2)且和平面4x-y+2z=0垂直的平面方程是________
. V+ j/ Z& d0 x0 c* {/ p4 E1 E参考资料：

$ n- X; x* p6 Y7 z9 J( i1 J& j
5 F6 w. e, K) J3 N7 E/ x7 r
, Z" T3 V5 y0 D+ m6 m+ |
36、曲面与y-z=0的交线在xoy面上的射影曲线为_________
参考资料：



- S& `% v1 |3 _: q
37、点(1,1,1)到平面x+2y+3z+4=0的距离是__________
9 w- |$ U  U8 e: n& z' ]& C( w参考资料：
' |# B" T. `9 a5 S, _( X
. A3 m& v3 o: F( I: O. P

& D% Y. ~8 m  ]6 v; a: d
38、已知向量a=(1,0,2),b=(2,3,4),c=(0,1,2),则________
参考资料：
% x$ K! s, s/ L( |& `) c& O

% z7 x2 F8 x- [4 U) }
* u' W/ H6 C" c. D
1 s/ M* p3 P  O, F  E39、已知向量a=(1,0,-1),b=(2,3,0),c=(0,2,3),则有这3个向量张成的平行六面体的体积是________
9 W' n, X, D. j2 k  j6 k参考资料：
# f/ @, J5 |; A. g9 Z  [3 c: x


& S" s. @$ N$ c" t  v4 I
: ]* R# F/ e' l2 }. d/ T40、已知向量a=(1,1,0),b=(2,03),则________
参考资料：
; A1 f+ j) Q- W

( w& c2 o0 a" v0 U% ^
- }1 x2 H$ n$ _+ C! ?) z
41、直线与平面2x+y-z-3=0的交点坐标是___________
参考资料：
9 O/ p) x$ L0 Z+ Z4 z3 g, Z) {

: b) j4 Z" W! p2 |2 C

42、点(2,0,1)到平面3x+4y+5z=1的距离是_____
" n; t  g  w' ]7 V参考资料：

5 ?" u  \4 I% `- i5 r$ k
( s7 n: b+ Q' q+ b  n( k
# U/ S2 m, G. E
% J. f# u  `9 Q, c' i# W0 h43、已知3向量a=(1,0,2),b=(2,3,0),c=(0,1,2),则________
; Q' {, J6 a4 n/ u# Z! h# I7 B参考资料：
9 q( ^8 ?$ b' r; b/ Z
1 ?6 k, |0 A* B2 ^5 ^


44、自点P(2,1,0)引二次曲线两切线，切点分别是M,N，则直线PM的方程是____________.
2 L! J7 J0 x! t$ L" l' H参考资料：
,


+ m' C9 i( R8 }3 Q/ W
+ \3 _. m; E# X45、共线四点A(3,1,-2),B(1,3,1),C(2,-2,-3),D(1,-5,-4）的交比(AB,CD)=_________
+ l' V* g4 [. q% `+ R) {参考资料：

" Y" O  v# Q& A3 H- d5 k0 J% c


46、已知交比(AB,CD)=1/2，则(AC,BD)=________
参考资料：



& m/ V5 s# r/ `
  X$ N  L5 S( R- G: y47、点P(3,4,5）绕Oz轴旋转生成的圆的方程_____________
+ Z3 p" ]6 ~& i: q# J9 j+ Z& s( C参考资料：


; V, T- Z6 Z! y3 e

- Q6 H( L( a3 m7 M48、已知四直线的方程a:2x-y+=0,b:3x+y-2=0,c:7x-y=0,d:5x-1=0的交比(ab,cd)=_________
参考资料：
  ~: N7 N6 [/ n8 l' N' \0 l



; j% Y8 i2 q# T6 G1 u49、已知射影对应使参数为0,1，-3分别对应0,2,6，该射影对应参数表示式__________
参考资料：
" c9 s- u! d3 k( i1 ~
+ y- f/ e/ e8 P6 h# J


50、设四直线a,b,c,d共点，单比(abc)=2, (abd)=-1, 则交比(ad,cb)=_________
- A- q, M4 e( I8 `! L" S" [- B" o参考资料：




* a4 w5 B" r8 T" |. b  H51、已知二次曲线,(1)证明它是双曲线；(2)求中心坐标；(3)求与直线平行的直径及其共轭直径的方程；(4)求渐近线方程
参考资料：
6 c) K+ A5 s+ w# G3 Y

( j2 I' o# V" @; G" n/ w
( E% c# `& C$ H% M
  ]8 I& P& N0 `% V' F1 k
52、已知两条直线m:?和n:,证明m和n是异面直线。
) d9 a0 D, T5 H参考资料：



, L/ O. v+ _6 `- \5 i" p+ P53、求双曲抛物面上互相垂直的母线的交点轨迹。
8 l5 }' [. t' L; t: b- j7 t参考资料：
2 H& S, q) G. g; m4 z3 g



' H, T6 k. G% i  Q3 r  J9 d
' V6 X2 o3 b" a4 l# h54、求过点A(1,0,2),B(0,1,2),C(0,-1,1)且以,为切线的二次曲线方程。
/ p, i( X- O2 t参考资料：
7 r5 e( I, A+ M9 m1 m$ y9 X+ `


; k7 }) Z  L) h- q; ?0 ~2 |
0 p8 [! E  `5 H2 G( `+ V  V& K
  j6 }8 h, U5 F$ g- N: e6 i6 x55、设点A(-3,2,1)和点B(6,1,1)的连线与直线相交于点C,求点C的坐标和单比(ABC)。
- s3 A7 l  p, \# G# v, H参考资料：

4 Y) h# |! z9 J8 m, i3 m" P' c1 W
5 p$ D! u5 Y3 o& d$ y9 d- t

& B6 L# b1 a0 d+ k+ u8 r! {
" k7 }6 E9 n; y" b56、求过直线a:且与直线b:平行的平面方程
3 z( u# X" \( R$ p4 ~5 @5 ?! H* g参考资料：
- b* K% B) }/ ], i2 T0 ^: E# |
+ J$ r$ F5 O' U: Z8 t' |% A2 J$ q5 D
7 @3 h& v- Z) n. J
$ N" R! M- e5 S! j6 i" F2 g3 {
4 Z: ^5 g0 T( Q5 |5 z) `
57、求过点(1,0,-2)且和两直线与都垂直的直线方程
参考资料：

: U& m  Z& t; o7 D; _

2 \4 S! O, O$ M+ i/ q7 L
  x, p/ o2 q3 u) \- ~- |58、求顶点为M(1,2,4),轴与平面2x+2y+z=0垂直，且经过点N(3,2,1)的圆锥面方程
参考资料：
4 \$ S1 A1 \" H% d9 f& I
! c$ B+ d, j4 C2 ]! C/ `. X1 M, A7 C

59、试用向量来证明:如果,,那么
9 d# h, K! v9 c4 ?% H; a- s参考资料：
1 T- d: N9 C% q7 s) p


1 I# K0 E4 P- h, L
60、如果3向量a,b,c不共面，那么,,也不共面
参考资料：