2023年7月福师《线性代数》在线作业一答卷

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福师《线性代数》在线作业一
' R% J4 t* L  K: J试卷总分:100  得分:100
一、单选题 (共 10 道试题,共 30 分)
1.A、B均为n阶方阵，则必有（ ）
8 j4 r6 t1 ]: e  A; m+ e/ DA.det(A)det(B)=det(B)det(A)
B.det(A+B)=det(A)+det(B)
C.(A+B)的转置=A+B
D.(AB)的转置＝A的转置乘以B的转置
答案:
  I( V7 q9 I' a
2.已知向量组α,β,γ线性无关,向量组β,γ,ε线性相关,则（ ）.
A.α一定可由β,γ,ε线性表示
B.β一定可由α,γ,ε线性表示
. W1 t% R7 s3 m0 |C.γ一定可由α,β,ε线性表示
$ C4 ?) G8 U1 o% ^2 w, L2 G. |  \; iD.ε一定可由α,β,γ线性表示
1 t6 w: v1 U# l  t答案:

3.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（ ）
7 X) r7 D( A6 k( B+ T3 b" iA.|A|=1
; s6 u9 [+ E3 v9 h6 qB.|A|=0
+ h3 T* t2 y0 ~9 dC.|A|≠0
D.A=0
( j/ B4 k6 s0 m1 t5 j答案:

4.设A为4×5矩阵，则A的秩最大为（ ）
; t5 `9 D3 i( nA.2
B.3
# h  u6 w" r9 V4 F& ?2 F" ?, m& }C.4
% _2 L$ k; `  S2 C$ DD.5
; w1 u9 P: Y8 i+ Y4 y答案:
8 J1 Z0 M0 G2 e9 |, i" ^+ y
" x6 h7 w! M7 O5 |1 q5.已知三阶矩阵A第一行为1,1,0，第二行为1,0，1，第三行为0,1,1，则A的特征值为（ ）
A.1,0,1
: g0 _* }# |: B9 RB.1,1,2
) [% G  [1 }3 h! H! @C.-1,1,2
- E: ]; N& \- D% tD.-1,1,1
答案:
: R+ _! O; D' ]. |# d" @3 b
) d9 l+ ^" t  P  D; i& b! ?" _" L4 A6.A为m*n矩阵，若任意的n维列向量都是Ax=0的解，那么（ ）
2 z0 `" F2 G# j: GA.A=0
B.0<r(A)<n
+ x) m0 m" L$ ]1 }C.r(A)=n
D.r(A)=m
* U3 g( }8 Z) d8 Z  C2 @* [答案:
3 O, T0 ^+ M- I
7.如果矩阵A满足A^2=A，则( )
0 x3 U) x9 p+ C9 oA.A=0
B.A=E
C.A=0或A=E
D.A不可逆或A-E不可逆
答案:
2 e  c+ V1 B+ G4 _; D
0 B  r$ D8 L& ?4 E8.设A为3阶方阵，且行列式det(A)= 1/2 ,则det(-2A)= （ ）
A.2
B.1
C.-4
6 z0 `1 n: D% {2 x. A: [D.4
答案:
7 u; Y) P- z. s5 h  |0 N* ]* q) V
9.设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
/ F, b8 {  i0 B9 m8 p" u- P5 IA.a1-a2,a2-a3,a3-a1
$ W5 K/ p7 {1 A7 {. o% k9 M, GB.a1,a2,a3+a1
1 b6 g4 ^/ k, v8 P1 y' {C.a1,a2,2a1-3a2
D.a2,a3,2a2+a3
答案:
! `4 D- l# }0 }6 M0 v
% j3 Q# u  y4 i+ n+ L10.设A，B为n阶方阵，且线性方程组BX=0只有零解，若r(A)=3，则r(AB)=（ ）
A.4
7 y! f9 Q+ V2 Y, Y6 M) p  \. r$ N: Z) |B.3
7 Y7 e+ N% n6 L. T' g8 N  {# t3 }( G# ?7 zC.2
  J: ]0 ?$ q6 V7 D) C% [D.1
答案:
4 s) l2 C: d+ [" [: w  }
二、多选题 (共 10 道试题,共 40 分)
) T- l- f6 o: k1 _, C11.设A，B均为n阶方阵，则下列选项错误的有（ ）
5 F( T) g1 G) @5 s1 XA.若|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0
B.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2
( ^1 E8 n# H# e2 ]- w% uC.当AB=O时，有A=O或B=O
+ b  C- b. F3 L) ZD.(AB)^-1=B^-1A^-1
7 A  k' g! y0 U& A  a答案:

  Y3 L- J: F2 H3 o12.设A,B均为对称矩阵，则下列说法正确的是（ )
A.A+B必为对称阵
B.AB必为对称阵
C.A-B不一定为对称阵
& l* H: g5 P. F8 j5 k8 f& bD.若A+B的平方为零矩阵，则A+B=0
答案:
, K: u$ |5 d7 x+ Z& D, j
13.如果矩阵A的秩等于r，则下列说法正确的有（ ）
A.至多有一个r阶子式不为零
B.所有r阶子式都不为零
! x: E& t' F2 o+ QC.至少有一个r阶子式不为零
: E" a7 f. A1 X" G; `# G8 bD.所有r+1阶子式全为零
$ E. r+ N. A* V3 |) v答案:
7 ?9 i  z0 G7 h+ J' Z4 v
14.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
A.η1+η2是Ax=b的一个解
  k' i! F6 E4 L$ mB.（1/2）η1+（1/2）η2是Ax=b的一个解
: K7 I+ }; p# w, _- a+ \C.η1-η2是Ax=0的一个解
D.2η1-η2是Ax=0的一个解
答案:

4 P5 b. H" D, H& s15.n阶矩阵A与B相似, 则下列结论中正确的是( )
A.A与B有相同的迹
1 U) w, S. m9 Z2 j  q1 C0 [/ O+ O; LB.A与B有相同的特征根
C.A与B有相同的特征向量
% ?3 f& K8 ^2 k# v. iD.A与B的行列式相同
* f& f8 d: M2 m) ~; n# Z- l+ x答案:BD

16.设A3*2，B2*3，C3*3，则下列( )运算有意义
A.AC
! b# o& q  @& yB.BC
/ F: R3 ?) R6 J. _C.A+B
D.AB
答案:

17.下列关于初等变换和初等矩阵，说法正确的有（ ）
0 L% q* L2 w& S5 B. q; d0 O9 A+ T- qA.初等变换不改变矩阵的秩
B.初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵
% u: I) G. V8 l9 `% U" R$ B; rC.如果初等矩阵可逆，则其逆矩阵也是初等矩阵
D.任意一个m*n矩阵都可以经过一系列初等行变换化为一个m*n阶梯形矩阵
答案:BCD
3 _" b8 H7 A2 w/ O
18.设A，B均为n阶非零方阵，下列选项正确的是( )．
1 V  `) i2 v( r: ?& M: L, h, WA.(A+B)(A-B) = A^2-B^2
B.(AB)^-1 = B^-1A^-1
- v7 r( Z, v# S" e+ H3 S' x+ u3 GC.若AB=O, 则A=O或B=O不一定成立
D.|AB| = |A| |B|
! @3 b% ]5 B: d7 X. O4 y* X0 h" h! e; s答案:
" n+ ~* y1 r' @
19.n阶方阵A可逆的充分必要条件有（ ）
- U6 B# c9 _$ B! s2 AA.|A|≠0
9 p& p) G# s8 A, ]/ ^  q2 b) FB.A的特征值都不为0
% ]- }4 s2 b) c: b, r  R5 u+ oC.r(A)=n
4 k6 s* ~+ M: }( V. }D.A的列（行）向量组线性无关。
答案:BCD

8 C" C) ^' J) R& P3 s' M4 `20.下列命题错误的有（ ）
7 I  w9 A' ~! ^) j4 UA.任意n个n+1维向量线性相关
+ a6 u& Y% K' e) x1 C) eB.任意n个n+1维向量线性无关
% v1 F  \# C' O4 q5 |- ?C.任意n+1个n维向量线性相关
4 {' [1 H2 E9 i- }# s; vD.任意n+1个n维向量线性无关
$ b  ~+ h3 ~& m答案:BD
/ M% j  S4 l# s( }' F7 i* |# i- p# u
* J: T1 J" F1 B8 Q+ x8 L% z/ g三、资料来源：谋学网（www.mouxue.com） (共 10 道试题,共 30 分)
21.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A^2的特征值为1，1，4。
答案:
/ x2 c( ?5 C( _5 L  D- C: ~3 O  r
- e0 v8 w. G  l% J+ V6 b22.如果r(A)=r，A中有秩不等于零的r阶子式。
1 d* n* \+ ~, O' w* l. e% w. W: G% p: U答案:
2 W7 `8 O# q' _* h+ d) ~' ?
4 D5 M4 E) t/ [5 A+ M23.矩阵A的行列式不等于零，那么A的行向量组线性相关。
答案:

24.相似矩阵有相同的特征多项式。
+ [& k) H. B* B+ n答案:
0 c/ G* G$ i  G
5 _  ?/ P( A4 M5 P5 m! g25.设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1，2，则|B|=1。
  F" I% T8 c: Y+ ?3 C8 u5 N答案:

4 E+ [, C: [% H$ }  ?6 k- g1 S26.秩为0的矩阵只有零矩阵。
( x, T& c/ Z$ ~0 V" _& {答案:
; J; J; \8 A8 g4 l& D, }' @
- H; a! w5 o- b27.四阶矩阵A的所有元素都不为0，则r(A)=4。
答案:
. b% A% }" r" @3 d* `0 i* h
8 }/ q0 _7 V8 Y1 }, f28.设向量a=(-1,0,1,2)，b=(1,0,1,0)，则2a+3b=(1,1,1,1)。
  J) \  R+ S5 n/ k* o答案:

29.交换行列式的两列，行列式的值不变。
4 U% R' z0 v+ q. i9 N4 ~1 K答案:

30.向量组a1=(1,-1,1),a2=(2,k,0),a3=(1,2,0)线性相关，则k=1。
$ G! m* c+ ?! j: M( T/ @答案:

8 O$ G( U- U. E6 Q; L! i/ L9 u
) U6 B1 m4 r3 W


; [5 H4 v8 b" }- ^9 r" P* J

: _3 s/ Y  @+ m* H; `

" T9 C) U- k( U. ~

/ r- Z0 m" E. u: b* e0 [+ A1 }

jdjiang

不错，OK ，满分！

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