福师10秋学期《实变函数》在线作业二

久爱奥鹏晓林

福建师范大学
0 l: ~) j! b" d% G' \福师10秋学期《实变函数》在线作业二
4 \8 |, v; f' v. j! v4 x8 }7 v单选题
+ c9 Z- A0 e/ N1.下列关系式中不成立的是（ ）
1 Q4 E, }6 h; VA. f(∪Ai)=∪f(Ai)
& ~9 C. k) ]5 G/ ZB. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
( L6 k* z. V( w, g0 o资料：B
) y: G4 w) p" y' [$ D, L& t2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
7 {5 c: o/ |0 n1 nB. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
资料：D
3.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
B. A为开集
  N- D" o8 }: ]+ ]; d& f% }. s% u0 uC. A为孤立点集
- ?! U- |4 k! S/ p, p4 V0 zD. A不完备
4.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A. |A∪C|=|B∪D|
7 P/ W$ S: y3 P6 C7 \B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
5.开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
多选题
1 L7 K, b$ @; C$ n1.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
/ ]3 ~5 n! h. I4 z! a% @A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
2.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A. f在R上处处不连续
$ L) O% G& F4 V& i% ZB. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
& W$ n1 U& P% m& i' k# |0 s3.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A. 广义R可积
# m. m; _, Y7 \: Z) e! I# ]B. 不是广义R可积
C. L可积
9 m; H2 e$ S% p; H  z- p# q' J* O/ nD. 不是L可积
4.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A. f+g不可测
$ |1 Q, Y6 ~7 l/ E: [B. fg不可测
C. g^2可测
5.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A. 有界函数
. y  H& o* c. e0 U/ X% ]B. 可测函数
; U2 A. q1 k5 `5 ^1 [* m" k( NC. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
/ m; [1 G. C0 a5 i' w" c# [* A8 E3 E6.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
. J$ a6 f3 H6 A; e& tA. f可测
0 Y" r2 {* O6 V6 v5 k% S8 WB. |f|可积
C. f^2可积
  q8 c# u* V6 Q  p/ rD. |f|<∞.a.e.
! ^1 p( F4 `$ }" N  ]! z7.若f∈AC[a,b]，则（ ）
% y4 b; a2 p  \- t1 HA. f∈C[a,b]
B. f∈BV[a,b]
7 Y  m$ p9 G1 b9 ?, f- m4 W* zC. f(x)=f(a)+∫ax  f "(t)dt
) U0 V% e  K+ a6 n% ~D. f∈Lip[a,b]
/ K8 |0 m% e4 X0 x2 G8.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A. f+g有界变差函数
2 i3 H4 j4 N) a  {  P: aB. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f,g)有界变差函数
判断题
1.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误
" H- m- D4 p4 }) O) o- FB. 正确
' T1 X% W& F9 A% M3 D: H2.f∈BV，则f几乎处处可微，且f"∈L1[a,b].
A. 错误
5 q  [/ |* c& @( v2 D# ]B. 正确
) k7 F9 }- |2 K4 S3.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
! T6 g, V1 T  w, L: }9 F8 r: x6 kA. 错误
B. 正确
! q* A. @) q8 M4.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A. 错误
9 ]1 O; T7 t0 ~! C# n& t8 |B. 正确
5.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
A. 错误
B. 正确
6.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A. 错误
. @2 ]; t. x2 `. p6 KB. 正确
6 ?* }* t* ^: s9 }7.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
* f" a& @* C8 i: m$ W% M3 cA. 错误
B. 正确
! K  V  Q) C/ \: S5 {8.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
2 P" ^. X* Z4 KA. 错误
5 ^+ L/ Q' A. T0 Y3 EB. 正确
9.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
  ?4 j: a" d& _9 p9 S0 Q% ]+ {A. 错误
B. 正确
10.f可积的充要条件:|f|可积。
5 ^( B0 V; D" {$ q$ t& `A. 错误
, e8 F5 V- }# ?0 M" @+ o3 DB. 正确
: t' ~4 r/ f& }11.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
B. 正确
12.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
B. 正确
& o9 t0 [3 p3 G. W  V& o0 H13.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
* d- M5 E  M3 a1 u% YB. 正确
: @9 A6 h, ~; O$ i; P( r7 F14.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.
" \- f- q- X8 y$ @6 M1 k- v9 EA. 错误
* C* v. n, ?! r- \B. 正确
15.f为[a,b]上减函数，则f"(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
/ W2 o+ s. y0 f- q. v/ CA. 错误
8 n. |+ e( P  r: IB. 正确
2 D) v7 t+ w' Y; F; d16.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
* x: C# @3 K! U/ ^( w2 ]% JA. 错误
; y6 s1 A- P9 g; |- o/ HB. 正确
& @+ Y2 F2 ~  ^17.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
0 n4 C: V( j0 o5 ?, C- |A. 错误
B. 正确
18.零测度集的任何子集都是可测集.
A. 错误
# T/ v" V0 L+ S' H( u/ rB. 正确
19.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
5 `5 T$ T" u0 L' W- u- P" ^B. 正确
% J' \6 r" O% q% x! Y  O6 s20.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
% H- \: e. y2 qA. 错误
5 W: w& j! V* m) l" P$ vB. 正确
21.若f∈BV,则f有界。
A. 错误
B. 正确
22.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A. 错误
: E  M+ D, ^, G& mB. 正确
23.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
' f0 }3 p1 v3 N7 ]A. 错误
% ?- q/ k3 j! W8 G# T% y3 I7 k; P# tB. 正确
3 j& r3 Z: x* b24.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
+ |2 v2 S+ u# f4 R1 zA. 错误
! U, c, R$ ?, v  \9 F- |B. 正确
" C$ x2 B9 U- N* F9 ~% D* u; |/ x25.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A. 错误
3 X8 k, [  n8 [B. 正确
! U/ c& V- ~  C: Y2 u, f8 B26.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
1 x. L1 [! U. o: cA. 错误
B. 正确
27.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A. 错误
' p& k' f/ q. p# b2 w$ J# fB. 正确
28.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
! m' b, \$ s2 N7 jA. 错误
B. 正确
4 ^+ E2 ]" r. b7 S& y29.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
30.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A. 错误
B. 正确
2 E5 D4 |/ p) s6 X1 W, f, Z31.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
: z& Q: s" `! ?7 WA. 错误
4 C' P$ X* M3 {$ c- NB. 正确
32.测度为零的集称为零测集.
  g; s- Y7 [+ Y  N$ _: K% C8 FA. 错误
B. 正确
33.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
- o' F3 k% j2 K) {1 k' A; RB. 正确
34.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A. 错误
B. 正确
35.f在[a,b]上为增函数，则f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
: a$ V  p) {' _0 P36.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
/ ^% n( v2 P6 p5 h! u0 s37.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
$ ~2 p  u4 o* vA. 错误
0 S) g9 }( O: b2 j7 R+ WB. 正确