福师10秋学期《实变函数》在线作业1

久爱奥鹏晓林

福建师范大学
福师10秋学期《实变函数》在线作业一
5 l0 S6 q7 g' X/ @单选题
1.若f∈L(X),则
A. f在X上几乎处处连续
: }' Y. m% x! s; D9 AB. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
C. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
资料：B
2.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
% R3 s5 H9 q+ ]; a* }$ a资料：C
1 X/ e6 k! u! q' v0 M, r. `3.fn->f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|,a.e.
4 B$ h: j* x& L! I, u资料：D
4.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
  n; |! C2 ?' s; \A. mE=0
B. 0<mE<+∞
0 |+ A3 j9 f2 }0 }* a9 NC. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
' A$ O( w5 e7 N" Y' W: Z5.有限个可数集的乘积集是（ ）
9 b7 Q# i$ [* k( k) VA. 有限集
B. 可数集
1 {' @0 q4 H5 F  F5 K! ~4 \, K% b  bC. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
多选题
1.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A. g可积
B. g可测
2 `7 J+ Q8 L% i5 mC. g<∞，a.e.
7 F' R# C5 ^% M, Q" Z& P2.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
+ D" @, Z7 Q) M" R, R3 }* v0 r1 S, @B. 不是L可测函数
0 f. J4 R2 i6 E) u# k/ x  |5 PC. 有界函数
D. 连续函数
4 a; T- v4 A8 l* C# j* b& _5 @3.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
8 z# i& ^* S4 e  rC. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
4.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A. 有L积分值
/ {  R& c( R& YB. 广义R可积
; j$ \' Q4 V. A( K, U2 HC. L可积
/ L( t% t! `0 ID. 积分具有绝对连续性
5.若f∈BV[a,b]，则（ ）
$ a3 m" m2 E6 a0 w& _# _7 X* AA. f为有界函数
+ K4 s" a4 k; q' KB. Vax(f)为增函数
$ Q" d7 C" _2 N3 a# dC. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
2 a/ M+ S! D# R' K, CD. f至多有可数个第一类间断点
6.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
# j5 T4 n' `$ LA. fn测度收敛于|f|
3 k) o5 k+ O. C1 G/ P2 u; z, _! i0 k) FB. afn+bgn测度收敛于af+bg
; R" v  K9 b! B6 m! M3 g3 [C. (fn)^2测度收敛于f^2
" B% Z6 \% ]0 T( ^" m# L7 {D. fngn测度收敛于fg
7.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A. m(A)<m(B)
0 n' w# l* C, X' f5 H% I/ IB. m(A)<=m(B)
C. m(B\A)=m(B)-m(A)
5 D# ?7 K' O! e5 x, UD. m(B)=m(A)+m(B\A)
) P4 H+ [- {5 y# _8.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A. 几乎处处可微
, v2 V( i7 o: m" P7 D1 U  YB. L可积
" m& |. l+ f2 f2 ?& {$ JC. f"可积
D. 区间[a,b]上积分值∫f"(x)dx=f(b)-f(a)
0 E; C! O8 H7 [/ F8 o! E$ X0 Y- }判断题
1.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
9 k6 B4 w7 H! O& c+ t* ~+ OA. 错误
, }3 O- k( g, N5 I) ^B. 正确
2.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A. 错误
# R, p% z4 u, u0 g% FB. 正确
3.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
" C" Q1 W, r& g' yA. 错误
7 m4 j0 T0 h% t  b/ w& {B. 正确
1 D5 d8 N/ L, g3 _: q) N* \! m" q4.可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
+ _. K% H- X1 L3 O" L; s5.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
/ o) f4 S5 C; UA. 错误
B. 正确
* `" C2 S1 k1 [6 h6.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A. 错误
# Q) Y* R/ Q- B- JB. 正确
7.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
- Y2 o8 i! e# f' O' C: eA. 错误
B. 正确
- M: x8 D" U% k% _( [8 p  o5 }9 ^7 }8.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
8 F) t. a% Y8 Q7 \) l1 j/ ]A. 错误
% u: h  a+ M! a) U* xB. 正确
9.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A. 错误
0 B2 T5 D. U( {4 eB. 正确
10.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
% ]  D9 Z5 x! b5 D3 k6 FB. 正确
11.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A. 错误
B. 正确
3 O6 B3 W# p; C1 c. T12.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
, b2 o9 W  e8 h- H8 F' U0 r/ @A. 错误
4 W2 k% d3 K1 {5 I  n0 W2 ~1 K( uB. 正确
9 T7 b* \: w/ ^+ c" w2 p4 k13.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
6 M% G$ L+ X% m1 Z* V: b/ m3 g9 k5 FA. 错误
B. 正确
14.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A. 错误
" K7 m4 O9 Q) e9 A2 C% E- sB. 正确
15.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A. 错误
B. 正确
16.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
5 t4 a2 [* S" [0 q  I7 t0 M: e5 t/ J: D1 fA. 错误
B. 正确
17.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
: c# F/ o8 Y8 v- L, h. N: HA. 错误
0 B0 G2 F+ S6 F2 X' k" GB. 正确
4 ]" `* D0 z; q: }: B18.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
/ Q. @; h! m; r0 }" m1 ^A. 错误
! Q1 I( q, e: ]B. 正确
  M" s( g+ D3 Q: u$ n5 \& z19.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
: M) {9 S( j+ W# ^9 xA. 错误
) K  M' o0 v' ~: U' W6 S9 A/ @B. 正确
20.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
. O* X0 O3 x4 W/ G/ Y1 ^3 ]A. 错误
B. 正确
7 n9 T0 @# g3 j0 i% C21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
5 N. }6 \" b1 y. X# yA. 错误
B. 正确
22.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
/ X- I! f& w& i" p$ a% UA. 错误
6 X( P% E+ I2 D" tB. 正确
8 S5 [3 f: a4 b  A' }/ w23.对R^n中任意点集E，E\E"必为可测集.
1 L, q) H7 C8 y0 pA. 错误
B. 正确
24.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A. 错误
$ r! E- ^5 c! F) H( @' WB. 正确
" T* ?9 m) v: l5 P, @' p; V25.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
6 M4 y3 r! t9 [9 b: ?0 W& _* _A. 错误
' c, S2 d) p0 D/ z, wB. 正确
& K5 N" [% i7 S7 Q" F26.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A. 错误
B. 正确
, u7 A1 |% D( p9 p0 \5 E27.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
: Z7 e! e. Y: bA. 错误
B. 正确
7 D; c4 x+ r- N- W5 L! D+ M28.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
0 T$ O) l6 C9 z: y- G" R% _. e1 EA. 错误
B. 正确
29.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
. w4 k4 v& `3 i; OA. 错误
B. 正确
30.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
) h$ }2 ~4 j+ _' I7 pA. 错误
B. 正确
5 ^  f* q0 h5 i" r" t+ C31.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
0 Q2 l5 e1 p; X# xA. 错误
B. 正确
32.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
5 M1 {) Z$ \' K/ t+ iA. 错误
B. 正确
# y* J0 w5 Z) m" y33.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f"∈L1[a,b].
A. 错误
0 T6 j4 t; i8 b; ?. v4 N+ _$ zB. 正确
9 S+ S' J/ s; q1 R34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A. 错误
B. 正确
35.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
. n; Y4 `8 C4 e% \9 M1 nA. 错误
; F' e  a1 @* a) O. SB. 正确
36.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
6 Z+ G: [( D9 a/ cB. 正确
4 y! f2 B; {4 ^; l  i6 {37.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A. 错误
B. 正确