福师11春学期《实变函数》在线作业一

久爱奥鹏晓林

一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）V 1.  可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
+ l+ T, M8 w$ Y) |A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
2.  若f∈BV,则f有界。
0 n0 U: l" r/ ~A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
0 Q6 n5 K1 ^: S3.  对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
* v, ]( \: Y' x) l7 Z7 _/ y1 [A. 错误
3 o. q% x  g& y# HB. 正确
6 o+ J3 I1 P7 `8 O1 N+ K0 G      满分：2  分
9 |; f/ m, R9 _( c4.  L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
! A' X( s1 g) ~9 H% AA. 错误
* V% H( }9 p. U0 G. m$ t( zB. 正确
      满分：2  分
, L6 R# n# U$ R5.  若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A. 错误
B. 正确
' ?/ F0 z$ C" v4 W5 |- Y      满分：2  分
/ N/ A, Q( y0 `; V4 b5 |6.  若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
1 |2 h9 d: ^# O2 b5 Q& _7.  L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
. [5 L  ]3 O' x9 D: UA. 错误
; N1 A; @3 E" s( F3 I# PB. 正确
# v3 _3 d$ Y. y  J% n. v8 N( j/ @      满分：2  分
8 U+ {/ p& Y' H( m' c! m8.  f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A. 错误
1 s, t: A) O# a: I* vB. 正确
- w( @" Y, E( h' l' F      满分：2  分
9.  测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A. 错误
( G, H, K& e( p, [2 NB. 正确
6 C5 Y- u! q* L2 ~  b4 }! V      满分：2  分
4 ?3 r! {+ |$ A+ W10.  若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
# p  W% J+ l0 Q) x& h" f% ^: w+ y11.  设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
+ u, c, ?7 a3 Z! G# M2 U* V& r1 B+ T3 |A. 错误
" J6 ^! q( Z$ }1 h. B( D& pB. 正确
      满分：2  分
12.  函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
8 X, T- ^) z/ H6 H, j  d1 bA. 错误
B. 正确
/ a. P$ V# u$ H5 C      满分：2  分
5 |* ]& h  _' I  c5 F1 Z% F13.  若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
: m! G9 h( s, h0 F6 h7 [& LA. 错误
B. 正确
0 `! h" B8 [: R' [' c4 u      满分：2  分
* c& G, V. ?: b9 Q6 w14.  增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
: D4 K2 k" y" l9 F/ U1 @A. 错误
" D6 R0 p* {0 p* q) W+ MB. 正确
, i9 ?! y0 o3 F2 B: L* H9 q      满分：2  分
2 ~' u: [- U% W) V! h+ l+ N* V# n6 R15.  不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
% _7 f; L$ D% w/ F9 E1 v7 sA. 错误
: M% f; |* q% g9 X0 B. A1 zB. 正确
2 T9 v0 d( B1 V6 D) i7 V: _      满分：2  分
16.  一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A. 错误
B. 正确
& m5 b% @7 z. ~/ T" \+ K* \      满分：2  分
17.  三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
% V4 H% i1 S3 T& \B. 正确
      满分：2  分
18.  可数集的测度必为零，反之也成立.
& r0 |8 ?9 _; `0 U0 w/ J1 {A. 错误
8 o: f% E# M* ^& J- RB. 正确
      满分：2  分
19.  若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
* j1 J. w/ h% t, X; EA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
20.  设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
6 o; o6 |3 Q5 \3 s8 KB. 正确
' L# y( \# Y) q9 F1 `      满分：2  分
6 W$ _$ m( d. v) P( y; z21.  若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
# d) [1 z, \/ \# n" f4 Z3 X( vA. 错误
& n( t! P; y2 m8 X! u% QB. 正确
      满分：2  分
22.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A. 错误
- O+ M  }- C  ?B. 正确
7 J5 U  o" g& U% e9 k5 P      满分：2  分
23.  存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
  w+ @- S) F1 Q5 fA. 错误
B. 正确
& S" k. F3 ?+ F! A8 g* i$ F      满分：2  分
; d. f- V) K, c+ o8 W$ O2 g24.  若f有界且m(X)<∞,则f可测。
5 x- i) E7 {( O8 K! Z0 fA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
25.  若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
# z0 H# p* U9 ^: @$ Q' d* p1 d+ iA. 错误
B. 正确
6 f% {# l% }* V: X      满分：2  分
26.  若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
/ N! |% i- J6 CA. 错误
B. 正确
* U9 F  I  Y0 Y( o      满分：2  分
3 X! ~) q6 ^) j& W27.  增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
) G) E% D) N. _( _$ y  q# F( nA. 错误
8 G/ u: a# x  o9 S2 D4 ^1 oB. 正确
+ f) n. g% w/ t+ d" m! g      满分：2  分
28.  函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
3 {. u, ^& b( `3 v/ S8 _+ CB. 正确
      满分：2  分
+ H" b5 [3 W0 R" r6 @/ j& `! _) s- A29.  f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
2 F# W" n* g$ `5 l8 ?. V9 |5 T      满分：2  分
4 o  n+ v; s) H8 {- M4 X1 v30.  f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
; w9 X+ }1 I; v; L% F* ~# ^A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
31.  若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
  B. E& J  K" G3 Y8 w9 l32.  当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A. 错误
' A' \. ?8 \* {/ m' H: q* \B. 正确
      满分：2  分
" C- N# m6 w, S: m1 k33.  若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A. 错误
/ {/ C% y) c" z$ RB. 正确
, f5 J6 z' s6 q3 y& H; q      满分：2  分
) s' E( ^: O0 m4 s% f34.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A. 错误
% Q+ H- y* e7 t$ a+ H0 J2 c* D+ r3 jB. 正确
      满分：2  分
35.  f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
3 k3 X- _" a: z3 b6 mA. 错误
$ G  {9 X3 e$ c, |3 b! qB. 正确
      满分：2  分
6 P+ S% ]' ]* {' {36.  闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A. 错误
  p' ~" P7 ^/ L5 eB. 正确
- s9 W/ c% r' l4 U4 w      满分：2  分
37.  f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
( }1 F0 X5 r) n, I( [( SB. 正确
      满分：2  分

二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）V 1.  在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
0 `+ g9 F& W8 ]8 GA. mE=0
6 v6 }; f; m* K, P( V" W; b; ~4 Z/ CB. 0<mE<+∞
4 r; ]: o% }$ `/ [* HC. mE=+∞
, ~7 G# S+ I- @, nD. 0<=mE<=+∞
      满分：2  分
2.  开集减去闭集其差集是（ ）
0 v6 R1 }- d" e( W: i2 ?5 MA. 闭集
1 W; ?9 f3 N0 S- ^8 C1 f# T' SB. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
: H# u& I' j* w: P0 n9 h      满分：2  分
" a% j- K: m5 t. r2 h( f3.  若f∈L(X),则
. u% V0 r! [$ G( u4 z! c, @$ a- ^A. f在X上几乎处处连续
B. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
5 z/ d1 r) _" r3 {* }. jC. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
      满分：2  分
0 B; W( [" L! D  g& ~4.  若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A. |A∪C|=|B∪D|
B. |A∩C|=|B∩D|
5 Q% P& O" f; Y* U  X/ QC. |A\C|=|B\D|
D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
" M, C0 l0 y* Q( S& j( P1 y- ]4 g      满分：2  分
5.  若A为R^n中一疏集，则（ ）
' j) X  F/ ^8 f! L: p+ U5 @- uA. Ac为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
7 a0 {% }9 p) ~! c* W7 KD. A不完备
      满分：2  分

) b+ B. t* s5 o! `0 a三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）V 1.  若0<=g<=f且f可积，则（ ）
0 ]1 S5 T1 L! _! i/ l/ FA. g可积
- x' d* q' }& [3 l0 Z2 f, ^# U: }' xB. g可测
C. g<∞，a.e.
# i8 [- Z$ s% ^4 Y0 d; j, wD. 当g可测时g必可积
      满分：2  分
( u* C# f$ D4 y$ ?! ~6 q  i2.  f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
' a' \4 H+ \. T7 K8 Z8 C: kA. 广义R可积
B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
      满分：2  分
3.  A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
, Q/ y0 g3 |) tA. f^-1(f（A）)=A
. [* P- r7 r& B' g* p' tB. f^-1(f（A）)包含A
# v4 L6 I  P6 B# q% `C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
      满分：2  分
4.  设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
7 U: W5 {4 e  j" pA. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
: y6 G, G4 `8 B2 }$ c# A      满分：2  分
- c  f, k: E% M( z6 r% _% B5.  设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A. 有界函数
- l; U( L( p' A+ L- XB. 可测函数
. b, x, j5 h2 ]+ o7 O7 F0 G# U9 pC. 有界变差函数
' w4 I! _% w, r: h* ~D. 绝对连续函数
% u! d9 B7 X1 i      满分：2  分
' T5 b/ F, S1 z: b  P6.  若f∈AC[a,b]，则（ ）
! O, R, U( \! {: VA. f∈C[a,b]
B. f∈BV[a,b]
# n8 W/ T/ T: ^. r0 kC. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
D. f∈Lip[a,b]
% E1 W- `- c* G# a+ m- q      满分：2  分
1 ~& @% a0 e5 Z3 P0 R7.  在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
7 j3 W& V& w  z# g0 Q+ h! n9 M$ p; S1 mA. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
% v3 m0 ~  ~6 A# S6 yC. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
3 p+ M& ~9 O- V5 F      满分：2  分
% k' H, A, U. U8 C( ~% r8.  若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A. f可测
, o' ^, d$ W% [; p% j* ]: D9 bB. |f|可积
; F( B, M, f) {# T) b* N9 xC. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
: Y9 D! f& H0 l* _  E; l      满分：2  分