福师11春学期《实变函数》在线作业二

久爱奥鹏晓林

一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）V 1.  测度为零的集称为零测集.
A. 错误
B. 正确
5 i- b+ r: S* R5 a      满分：2  分
+ L3 h3 D3 S( C0 L9 S2.  f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
0 U8 S/ H& c0 AB. 正确
      满分：2  分
4 z( n* r. `0 y3.  存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
4.  函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
4 p( q2 p1 c3 b% W) F$ ~A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
5.  集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A. 错误
+ N# z  b# A& |8 z, n/ q2 H) UB. 正确
      满分：2  分
. a: ^  u* [4 D( \5 L5 S2 O6.  增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A. 错误
/ |6 ^  P1 k0 wB. 正确
      满分：2  分
3 {& {6 T2 ^# e# S7.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
. Z5 V) s' j3 r) {" `A. 错误
3 v& ?9 G6 ?4 E8 c$ `B. 正确
) N/ h7 A' H1 D0 v7 L- a      满分：2  分
6 f1 X1 k* m7 A/ l9 s' B/ `8.  若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
4 q8 k7 _$ g( t; UA. 错误
" r4 I8 t% a' S- a2 }2 Z. V3 rB. 正确
5 v3 E6 u9 T( ^7 t- J9 G      满分：2  分
9.  增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
8 }+ a# X, ~( e$ p, d  j: I" g8 NA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
7 l8 \. Z; Z. c  C1 s% B2 X6 U& G10.  f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
, N0 X/ g9 {, O% P11.  可数集的测度必为零，反之也成立.
& W) k8 S$ c" ?/ t# ?7 [A. 错误
' s* B! t1 P) \* H2 m- V& IB. 正确
      满分：2  分
; `7 W, \* [: u0 H* h! \6 Z12.  f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A. 错误
B. 正确
" n8 d) i2 _" x# Y" B, q7 w) ?      满分：2  分
13.  f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
7 l! W6 Z8 F; T6 v1 D3 u9 QA. 错误
" j/ k. q' ~6 X; BB. 正确
      满分：2  分
% ~* G" u# |1 _; A  O  {$ ?" \14.  有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
1 d5 l6 I1 C: KA. 错误
& m( h, Z& N7 ~4 {( g6 q# L1 NB. 正确
( }$ [/ z- U$ ^0 Z1 V      满分：2  分
# C4 h4 G" h2 \) r2 l% \15.  设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A. 错误
( |  R2 i. G9 n5 U: HB. 正确
& j0 Z+ n0 N+ o: a      满分：2  分
16.  一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
0 B& M8 N6 }) B# NB. 正确
4 f. e3 x. S( G6 ^) S! ]9 W      满分：2  分
) p# u/ o6 t! D17.  不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
' n' r1 y. x7 ?$ a1 p      满分：2  分
18.  若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
19.  f,g∈M(X),则fg∈M(X).
3 _1 r. c" }5 {$ fA. 错误
B. 正确
' [' D* X% w  x( i6 c2 h- g% F      满分：2  分
% M* v) L6 r: K9 k20.  若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
# b5 c8 R; G& l0 MA. 错误
* t  ~( j# i: s1 d1 s: z' U2 j) [B. 正确
7 h* R- e3 s/ X% J      满分：2  分
21.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
% ^- K& D9 S1 _  ~/ B. z# b( B22.  若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
- R7 A. E9 K5 v3 I9 W: `, xB. 正确
      满分：2  分
' o, Q7 ~: e* G- X' |3 T- S" b6 k23.  对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
/ W) x3 R# L# u) B" D6 r24.  若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
5 e( r  v* {, V9 f9 O) m$ \A. 错误
1 K/ M) `$ r. S  y. y: YB. 正确
      满分：2  分
9 a, q( y: I6 e  Q$ k25.  f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
/ ~+ ~% i4 ~- j. g' pA. 错误
* U3 M* O# s# g9 X- n+ _) f. @! iB. 正确
      满分：2  分
* P. t" J+ Z5 U/ A0 H8 |26.  若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
B. 正确
8 t, v) B' K7 L; M, J3 d* x      满分：2  分
27.  若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A. 错误
B. 正确
! n: R% G. t' C& _      满分：2  分
28.  绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A. 错误
B. 正确
: k: v5 X8 `& {      满分：2  分
29.  积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A. 错误
B. 正确
9 q% o1 T' w/ S( V; t      满分：2  分
3 `' X$ Z$ m6 r5 x/ _; J7 I30.  L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A. 错误
+ J( ]" t( m  q2 H3 HB. 正确
      满分：2  分
31.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
& `! T1 w# {; r# M; K/ M      满分：2  分
" M7 v$ }. C+ R1 |32.  三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
% B* G: G% H" J6 w" I$ xA. 错误
B. 正确
  w; P6 D; C- s2 ?3 _4 ^5 b      满分：2  分
33.  设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
  R) l/ ]) e) ?9 GA. 错误
$ t. }0 |& }5 U: @B. 正确
      满分：2  分
34.  可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A. 错误
2 ]' E& U$ S" S; U: I- SB. 正确
+ L1 j  S" F3 g  y      满分：2  分
, P4 j, \0 }7 Q1 R! i! D35.  连续函数和单调函数都是有界变差函数.
( n0 ~* G: e: EA. 错误
/ J# g1 t8 p. H  {% `1 zB. 正确
      满分：2  分
36.  f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A. 错误
# r9 ^; \* }& ?! y1 [* z! \B. 正确
      满分：2  分
; W0 w( B' S2 \5 D( U1 v% Q37.  当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A. 错误
* n+ H! t, a; B4 u9 BB. 正确
      满分：2  分

二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）V 1.  若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
) D, X4 d4 j3 p0 g& L, _8 y1 f3 kB. A为开集
C. A为孤立点集
0 Q  M6 ~% W! k3 O, M7 {D. A不完备
) b2 c, h, Q: i3 ^      满分：2  分
- s- O4 g" ]/ v6 o$ \3 f2.  fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
1 U! f0 T7 j4 Z0 G8 n      满分：2  分
8 p& v2 h  Y$ R6 s4 N4 E, Y3.  fn->f,a.e.,则
0 C; F" e! [& o" vA. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|,a.e.
      满分：2  分
0 [' Z$ F. @; A2 M# u4.  在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
  K! g+ L5 _4 ]" {, kA. mE=0
9 b8 ^+ c, ?0 h- g# ?8 RB. 0<mE<+∞
1 G5 O- ]& Y* K1 fC. mE=+∞
) B8 M+ S7 A2 `- }$ h- ^8 OD. 0<=mE<=+∞
      满分：2  分
5.  开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
: h3 n( p" ^# R+ f) e8 @5 L* jB. 开集
C. 非开非闭集
" j# a* [* [  \# SD. 既开既闭集
$ ~* e$ U7 a. @/ d      满分：2  分

- t" |' m; a1 p8 [三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）V 1.  若0<=g<=f且f可积，则（ ）
: {/ j; }+ C/ L1 q8 O, sA. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
: Q9 r3 T1 V, b' ^; \D. 当g可测时g必可积
      满分：2  分
2.  设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
" \. ^/ B, S! L- fB. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
      满分：2  分
3.  若f∈AC[a,b]，则（ ）
A. f∈C[a,b]
. `  ?+ P: q/ q+ `9 W/ f4 _B. f∈BV[a,b]
3 u" l% Z# t0 h$ [4 G1 y' |, ]C. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
# X; T, x/ o4 O: b& aD. f∈Lip[a,b]
      满分：2  分
4.  f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
7 y9 W" Q6 |% M& a2 e0 N1 JA. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
      满分：2  分
5.  f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A. 广义R可积
' z' I8 v+ C. e# s. @, w! lB. 不是广义R可积
C. L可积
" H$ g5 G2 j; \1 GD. 不是L可积
7 M. ~- ^; o' S# Q      满分：2  分
6.  若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
( V# d( @- l$ Y/ r& ]% U% nA. f+g不可测
) t# T2 d, Z  g! g# h; bB. fg不可测
& }2 u$ s2 m9 eC. g^2可测
2 q/ c* A  `2 ]7 @6 p/ GD. |g|可测
      满分：2  分
7.  若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
: H9 l  _# v4 U/ E3 q  r; @1 m. i. X8 Q7 rA. f可测
! _0 c. c& ~, yB. |f|可积
C. f^2可积
$ S. E8 x( l# D6 u# ~% q3 PD. |f|<∞.a.e.
  Y4 ]1 E8 ]$ _& _6 k6 m) S      满分：2  分
8.  若f∈BV[a,b]，则（ ）
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
  Q0 Q' Z" [& C' C: C0 vC. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
" @& [/ G$ }' t  s      满分：2  分