南开15春《概率与统计原理》期末复习资料

谋学网 · 发表于 2015-9-7 09:25:07

《概率论与统计原理》复习资料
一、填空题
1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为    、    、    、    、       、    。
参考资料：
B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C， + + ，AB +AC + BC， + +
考核知识点：事件的关系及运算

2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为    、    、    。
参考资料：0.04，0.02，0.1
考核知识点：古典型概率

3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为          ，恰好有2枚正面向上的概率为          。
参考资料：1/8，3/8
考核知识点：古典型概率

4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为             。
参考资料：0.6
考核知识点：古典型概率

5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为          ，获利10~15万元的概率为          。
参考资料：0.2，0.4
考核知识点：概率的性质

6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为       ；取到的两个球颜色相同的概率为       ；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为          。
参考资料：0.4，7/15，14/15
考核知识点：古典型概率和概率的性质

7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= 0.6，P（B）= 0.3，则P（A+B）=       ；P（ +B）=       ；P（ B）=       ；P（）=       。
参考资料：0.9，0.4，0.3，0.1
考核知识点：概率的性质

8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为    ；至少有一人中靶的概率为    。
参考资料：（1）0.26；（2）0.96
考核知识点：事件的独立性

9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为       。
参考资料：
考核知识点：事件的独立性

10、设随机变量X~N（1，4），则P{0 ≤X＜1.6}=    ；P{X＜1}=    ；P{X=x0}=    。
参考资料：0.3094，0.5，0
考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质

11、设随机变量X～B（n，p），已知EX=0.6，DX=0.48，则n =       ，p =       。
参考资料：3，0.2
考核知识点：随机变量的数学期望和方差

12、设随机变量X服从参数为（100，0.2）的二项分布，则EX=       ， DX=       。
参考资料：20，16
考核知识点：随机变量的数学期望和方差

13、设随机变量X服从正态分布N（-0.5，0.52），则EX2=       ，D（2X-3）=       。
参考资料：0.5，1
考核知识点：随机变量的数学期望和方差及其性质

14、设由来自正态总体的容量为9的简单随机样本，得样本均值 =5，则未知参数的最大似然估计值为       ，的置信度为0.95的置信区间为             。
参考资料：5，（-0.88，10.88）
考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计

15、设由来自正态总体的容量为25的简单随机样本，得样本均值 =15，则未知参数的最大似然估计值为       ，的置信度为0.95的置信区间长度为          。
参考资料：15，7.84
考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计

16、从自动车床加工的一批零件中随机抽取了16件，测得零件长度的平均值为2.125cm，标准差为0.017cm。假设零件的长度服从正态分布，则零件长度均值的点估计值为       ；零件长度标准差的点估计值为       ；零件长度标准差的0.95置信区间为                      。
参考资料：2.125，0.017，（0.0126，0.0263）
考核知识点：正态总体标准差的点估计以及区间估计

17、设总体X服从正态分布，从X中随机抽取一个容量为36的样本，设为样本均值，S2为样本方差。当总体方差σ2已知时，检验假设H0：μ=μ0的统计量为          ，当总体方差σ2未知时，检验假设H0：μ=μ0的统计量为             。
参考资料：，
考核知识点：正态总体均值的假设检验

18、设总体X服从正态分布，从X中随机抽取一个容量为n的样本，设S2为样本方差，则检验假设H0：的统计量为          。
参考资料：
考核知识点：正态总体方差的假设检验

19、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率都将                。
参考资料：减少
考核知识点：假设检验的两类错误

20、设随机变量X在区间[1，3] 上服从均匀分布，则X的概率密度函数为             ；事件 {-0.5＜X＜1.5}的概率为
参考资料：，0.25
考核知识点：连续型随机变量的密度函数和概率

21、设随机变量X～B（3，0.2），则EX=          ，DX=          。
参考资料：0.6，0.48
考核知识点：二项分布的数字特征

22、总体X服从正态分布N（μ，σ2），从X中随机抽取一个容量为n的样本，为样本均值，S2为样本方差。当总体方差σ2已知时，假设H0：μ=μ0的检验统计量为       ，当总体方差σ2未知时，假设H0：μ=μ0的检验统计量为          。
参考资料：，
考核知识点：假设检验

23、对于随机试验：观察一台电脑的使用寿命，则其样本空间可表示为                   ；事件“使用寿命超过600小时”可表示为                   。
参考资料：（0，+∞）；（600，+∞）
考核知识点：随机试验的样本空间

24、设随机变量X的概率密度为，则常数A=    ，P（）=       ，X的分布函数F（x）=             。
参考资料：
1，0.5，
考核知识点：连续型随机变量的分布函数

25、对于随机试验：记录一段时间内某城市110报警次数，则其样本空间可表示为                   ；事件“报警次数小于5次”可表示为                   。
参考资料：{0，1，2，…}；{0，1，2，3，4}
考核知识点：随机试验的样本空间

26、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有2枚正面都向上的概率为          ，至少有1枚正面向上的概率为          。
参考资料：3/8，7/8
考核知识点：古典概率

27、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，令X为两个数之和，则P{X≤3}＝    。
参考资料：0.04
考核知识点：古典概率

28、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在3次重复试验中至少失败一次的概率为       。
参考资料：
考核知识点：古典概率

29、在假设检验中，一般情况下会犯                      错误。
参考资料：第一类错误和第二类错误
考核知识点：假设检验

30、袋中有50个球，其中有20个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取3次，一次取一个球，则第5次取到红球的概率为             。
参考资料：0.4
考核知识点：古典概率

31、设随机变量X在区间[2，7] 上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度函数为          ；随机变量X的分布函数为          ；P{-0.5＜X＜2.5}=          。
参考资料：，，0.1
考核知识点：连续型随机变量的性质

32、设随机变量X服从参数为（100，0.4）的二项分布，则EX=       ， DX=       。
参考资料：40，24
考核知识点：二项分布的数字特征

33、设由来自正态总体的容量为25的简单随机样本，得样本均值 =5，则未知参数的最大似然估计值为          ，的置信度为0.95的置信区间长度为                   。
参考资料：5，7.84
考核知识点：正态分布的估计值和置信区间

34、在假设检验中，第一类错误是指                            。
参考资料：原假设本来正确，却被错误地拒绝了
考核知识点：假设检验

35、袋中有100个球，其中有30个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取4次，一次取一个球，则第二次取到红球的概率为             。
参考资料： 0.3
考核知识点：古典概率

36、设随机变量X在区间[2，6] 上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度函数为          ；随机变量X的分布函数为          ；P{-0.5＜X＜2.5}=          。
参考资料：  ，，0.125
考核知识点：连续型随机变量的概率

37、设随机变量X服从参数为（10，0.6）的二项分布，则EX=       ， DX=       。
参考资料： 6，2.4
考核知识点：二项分布的数字特征

38、设由来自正态总体的容量为25的简单随机样本，得样本均值 =5，则未知参数的最大似然估计值为          ，的置信度为0.95的置信区间为                   。
参考资料： 5，（1.472，8.528）
考核知识点：正态分布的估计值和置信区间

二、单项选择题
1、下列数字中不可能是随机事件概率的是（）。
A．- 1/3    B．0    Ｃ．0.3    Ｄ．1
参考资料：A
考核知识点：概率的公理化定义

2、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。用不放回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是正品的概率为（）。
A．    B．    C．    D．
参考资料：B
考核知识点：古典型概率

3、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A1为“产品是由甲车间生产的”， A2为“产品是由乙车间生产的”， A3为“产品是由丙车间生产的”， B为“产品是次品”。今从即将出厂的该种产品中任取一件，则取到的是甲车间生产的次品的概率为（）。
A．P ( A1) 　　 B．P (  )    　C．P ( )    D．P (A1B)　
参考资料：D
考核知识点：概率的表示与条件概率

4、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A1为“产品是由甲车间生产的”， A2为“产品是由乙车间生产的”， A3为“产品是由丙车间生产的”， B为“产品是次品”。今从次品中任取一件，则它是由甲车间生产的的概率为（）。
A．P ( A1) 　　 B．P (  )    　C．P ( )    D．P ( )　
参考资料：D
考核知识点：概率的表示与条件概率

5、任何连续型随机变量的概率密度f (x) 一定满足（  ）。
A．    B．在定义域内单调不减 C．在定义域内右连续
D．
参考资料：D
考核知识点：概率密度的性质

6、设随机变量X~N（2，1002），且P{0<X<4}=0.3，则P{X<0}=（）。
A．0.25       B．0.35    C．0.65    D． 0.95
参考资料：B
考核知识点：正态分布

7、设X是随机变量，x0为任意实数，EX是X的数学期望，则（）。
A．    B．
C．    D．
参考资料：B
考核知识点：方差的性质

8、设假设总体X服从参数为p（0<p<1）的0-1分布，p未知。（X1，X2，…，X5）是来自X的简单随机样本，则下面的（）是统计量。
A．X1+pX3    B．X5+2p（X5 -X2）    C．min（X1，X2，…，X5）    D．X2-EX4
参考资料：C
考核知识点：统计量的定义

9、设总体X的均值与方差都存在，且均为未知参数，而为该总体的一个样本，，则总体均值μ的矩估计量为（　）．
A．　B．　　C．    D．
参考资料：A
考核知识点：参数的矩估计

10、设总体X的均值与方差都存在，且均为未知参数，而为该总体的一个样本，，则总体方差的矩估计量为（　）。
A．　B．　　C．    D．
参考资料：B
考核知识点：参数的矩估计

11、从估计量的有效性是指（）。
A．估计量的抽样方差比较小 B．估计量的抽样方差比较大
C．估计量的置信区间比较宽 D．估计量的置信区间比较窄
参考资料：A
考核知识点：评价估计量的标准

12、在一次假设检验中，当显著性水平为0.01时原假设被拒绝。当显著性水平为0.05时，则（    ）。
A．可能会被拒绝       B．就不会被拒绝
C．也一定会被拒绝    D．需要重新检验
参考资料：C
考核知识点：假设检验的显著性水平

13、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率（　  ）。
A．一个增大，一个减少　　B．都增大　　C．都不变　　D．都减少
参考资料：D
考核知识点：假设检验的两类错误

14、假设检验中，一般情况下，（）错误。
      A．只犯第一类                      B．只犯第二类
      C．既可能犯第一类也可能犯第二类    D．既不犯第一类也不犯第二类
参考资料：C
考核知识点：假设检验的两类错误

15、要求次品率低于10%才能出厂，在检验时原假设应该是（       ）。
  A.    B.    C.    D.
参考资料：A
考核知识点：单边假设检验

16、设随机变量X~N（2，102），且P{0<X<4}=0.5，则P{X<0}=（    ）。
A.0.95    B.0.65    C.0.35    D.0.25
参考资料：D
考核知识点：正态分布的性质

17、某产品共有10件，其中4件为二等品，其余为一等品。用不放回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是二等品的概率为（）。
A．    B．    C．    D．
参考资料：B
考核知识点：古典概率

18、设随机变量X~N（2，16），则P{X＜2}为（）。
A．0       B．0. 25    C．0. 5    D． 0.75
参考资料：C
考核知识点：正态分布的性质

19、在一次假设检验中，当显著性水平为0.02时原假设被拒绝。当显著性水平为0.05时，则（）。
A．需要重新检验    B．就不会被拒绝
C．可能会被拒绝    D．也一定会被拒绝
参考资料：D
考核知识点：假设检验

20、下列数字中能是随机事件概率的是（）。
A．-1 B．-0.4    C．0.5    D．1.5
参考资料：C
考核知识点：随机事件概率

21、总体X服从正态分布，其中参数已知，未知。为来自X的随机样本，和分别为样本均值与样本方差，则下面的（    ）是统计量。
  A．　　B．　　　C．    D．
参考资料：A
考核知识点：正态分布的统计量

三、计算题
1、写出下列随机试验的样本空间及下列事件的样本点。
（1）E1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数；A={掷出偶数点}。
（2）E2：记录一段时间内某城市110报警次数；B={报警次数小于5次}。
（3）E3：在一批灯泡中任意抽取一只，观察其使用寿命（单位：小时）；C={使用寿命超过500小时}。
（4）E4：向半径为10的平面区域D={（x，y）：x2 +y2≤100}内随机投掷一点（假设点必落在D内），观察落点的坐标；C={落点在半径为5的同心圆内}。
参考资料：
（1）Ω1 = {1，2，…，6}；A= {2，4，6}
（2）Ω2 ={0，1，2，…}；B ={0，1，2，3，4}
（3）Ω3 =（0，∞ ）；C =（500，∞）
（4）Ω4 = { }，D={ }
考核知识点：用集合表示随机试验的样本空间和随机事件

2、已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=P（AB）=1/16，P（BC）= 0，求事件“A，B，C至少有一个发生”和事件“A，B，C都发生”的概率。
参考资料：  ，0
考核知识点：概率的性质
3、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。用不放回方法从中任取两次，一次一件。求（1）第一次取到的是次品的概率；（2）两次取到的都是次品的概率；（3）若已知第一次取到的是次品，第二次再取次品的概率。
参考资料：（1）；（2）；（3）
考核知识点：条件概率

4、设1，2，3三台车床加工同一种零件，加工出来的零件混放在一起。已知三台车床加工的零件分别占全部的35%，40%和25%，三台车床的次品率依次为4%，3%和2%。现在从全部零件中任取一件，（1）求它是次品的概率；（2）若已知取出的零件是次品，求它是由第2台车床加工的概率。
参考资料：（1）0.031；（2）12/31
考核知识点：全概率公式、贝叶斯公式

5、已知事件A，B，C相互独立，且P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/4，求事件“A，B，C至少有一个发生”和事件“A，B，C都发生”的概率。
参考资料：，
考核知识点：概率的性质以及事件的独立性

6、袋中有100个大小相同的球，其中30个球上标有数字0，60个球上标有数字1，10个球上标有数字2。现在从中任取1球，用X表示取出球上的数字，即X= 0表示取出的球上标有数字0，X=1表示取出的球上标有数字1，X= 2表示取出的球上标有数字2。（1）写出X的概率分布列；（2）求X的分布函数；（3）求P{0≤X≤1.5}，P{0＜X≤1.5}；P{1＜X＜1.5}。
参考资料：（1）
X 0       1       2
P 0.3       0.6       0.1
（2）
（3）0.9，0.6，0
考核知识点：离散型随机变量的分布列、分布函数以及相应事件的概率

7、设离散型随机变量X的概率分布如下：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
（1）求X的分布函数F（x）；
（2）求P{0≤X≤1.5}， P{1≤X＜1.5}， P{1＜X＜1.5}
参考资料：（1）；（2）0.7，0.6，0
考核知识点：离散型随机变量的分布函数及其性质

8、设随机变量X的分布函数为，求（1）常数A；（2）P（）；（3）X的概率密度f（x）。
参考资料：（1）1 ，（2）0.5，（3）
考核知识点：连续型随机变量的分布函数的性质，利用分布函数求事件的概率，以及用分布函数求概率密度

9、设随机变量X的概率密度为（-∞＜x＜+∞），求（1）系数A；（2）P{0＜X＜1}；（3）X的分布函数。
参考资料：（1）0.5，（2）；（3）
考核知识点：连续型随机变量的概率密度的性质，利用概率密度求事件的概率，以及用概率密度求分布函数

10、设随机变量X在区间[1，5] 上服从均匀分布，求（1）X的概率密度函数；（2）X的分布函数；（3）P{-0.5＜X＜1.5}。
参考资料：（1）；（2）；（3）0.125
考核知识点：均匀分布的概率密度、分布函数

11、设某地区年总降水量X~N（600，1502），求（1）明年的降水量在400~700之间的概率；（2）明年的降水量至少为300的概率；（3）明年的降水量小于何值的概率为0.1？
参考资料：（1）0.6568；（2）0.9772；（3）408
考核知识点：正态分布

12、设随机变量X~ N（μ，σ2 ），求Y=aX+b（a，b为常数， a ≠0）的概率密度。
参考资料：
考核知识点：连续型随机变量函数的分布

13、设随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求（1）X的数学期望EX和方差DX；（2）Y = X2的分布列。
参考资料：（1）EX= 0 ；DX=1.2
（2）
Y 0 1 4
P 0.4 0.4 0.2
考核知识点：随机变量函数的分布，离散型随机变量的数学期望与方差

14、设随机变量X在区间[1，3] 上服从均匀分布，求X的数学期望EX和方差DX。
参考资料：EX=2， DX=1/3
考核知识点：随机变量的数学期望和方差

15、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布（λ>0），求X的数学期望EX和方差DX。
参考资料：EX=λ，DX=λ。
考核知识点：随机变量的数学期望和方差

16、设随机变量X服从参数为λ的指数分布（λ>0），求X的数学期望EX和方差DX。
参考资料：EX= ，DX= 。
考核知识点：随机变量的数学期望和方差
17、设随机变量X服从参数为（μ，σ2）的正态分布，求X的数学期望EX和方差DX。参考资料：EX＝μ，DX＝σ2 。
考核知识点：随机变量的数学期望和方差

18、设随机变量X服从参数为λ的指数分布（λ>0未知）。（X1，X2，…，Xn）是来自X的简单随机样本，求λ的极大似然估计量和矩估计量。
参考资料：θ的极大似然估计量和矩估计量都为
考核知识点：总体参数的极大似然估计法和矩估计法

19、设总体X的概率密度为

其中θ>0未知。（X1，X2，…，Xn）是来自X的简单随机样本，求θ的极大似然估计量。
参考资料：θ的极大似然估计量为
考核知识点：总体参数的极大似然估计法

20、设总体X服从参数为p的0-1分布，求参数p的极大似然估计量。
参考资料：p的极大似然估计为
考核知识点：总体参数的极大似然估计法

21、设随机变量X服从参数为（μ，σ2）的正态分布，其中μ，σ2为未知参数。（X1，X2，…，Xn）是来自X的简单随机样本，求μ和σ2的极大似然估计量。
考核知识点：总体参数的极大似然估计法

22、设随机变量X服从参数为（μ，σ2）的正态分布，其中μ，σ2为未知参数。（X1，X2，…，Xn）是来自X的简单随机样本，求μ和σ的极大似然估计量。
考核知识点：总体参数的极大似然估计法

23、某厂生产的一种型号的电阻元件其平均电阻一直保持在2.64欧姆。改变生产工艺后，测得所生产的100个元件的平均电阻为2.62欧姆，标准差为0.06欧姆，在显著性水平0.01下，问新工艺对该电阻元件的生产有无显著影响？
参考资料：新工艺对该电阻元件的生产有显著影响
考核知识点：总体均值的假设检验

24、某厂生产了一批产品，按规定如果次品率超过了0.05就不能出厂。现从该批产品中随机抽取50件进行检查，发现其中4件是次品，问在显著性水平0.05下，该批产品能否出厂？
参考资料：在显著性水平0.05下认为该产品能出厂
考核知识点：单边假设检验

25、关于y与x ，有如下12对数据：
X 2.3 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2.0 2.1 1.0
Y 6.00 4.35 4.50 4.55 4.50 4.75 4.90 5.30 5.00 5.50 5.50 4.20
试求（1）y关于x的线性回归方程；（2）当x0=1.6时，估计y的值。
参考资料：（1）；（2）4.9426
考核知识点：一元线性回归

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