南开15春《高等数学(二)》复习资料

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《高等数学（二）》复习资料

一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）
* Y$ i1 G" x6 C% b  e（一）、单项选择部分
1． （  ）。
（A）   （B）  （C）   （D）
★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.1（考核知识点解释及资料）：
" z; l) e* {) j- ]函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,记作
，其中 称为积分号；  称为被积函数； 称为
被积表达式. 称为积分变量.
显然,若 为 在 上的一个原函数,则
             , 为任意常数.
$ b+ l& D: {$ F' I  ]1 J基本积分表：
$ z  r! M# j. h( ^7 H  ( 为常数)；

! c  E" P' ?( ]- X1 l3 U! F
  
- o7 P7 p* K3 Z, S7 z* w1 n" _, \  
& o4 `# ?4 d; a% P- h  
. ~6 ?3 u( a$ P8 o) j, V  
9 @0 @) Q- _8 W& l   
   
. Q& r9 H$ F  k  
: C$ t- s1 U4 R4 b3 z  b. A  
. z# ~- i3 u, P* D  
/ G- j! p! y1 p3 I' g  
' S9 J- w+ f, R上述“基本积分表”是各种积分计算的基础，要求熟练掌握。在这里
* ?/ d0 Y4 z& X- u( l7 \作为复习我们一次性给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
, f! n8 }* E( H本题利用了基本积分公式： 。
资料：（C） 。
9 s, m* m0 s# H6 s- z7 S: ]4 `2．   （    ）。

# A- H- {1 ?- N+ P: ]3 g★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
不定积分的计算需要运用不定积分的性质：
，
。
! l% X" U% k: g0 N+ a9 i' I计算过程如下：
6 @2 S3 q# Q+ ?/ U  V/ P" t# W3 ~   。
& w) m$ N4 A7 U; M' {    资料： 。
9 c- Y0 t, v5 W/ {4 N3． （    ）。
# Y- @: `% b# C9 P* C9 v
  I3 ~" K- r5 Q/ ?# `* I& c. L9 ^7 c★考核知识点: 不定积分的换元积分法
附1.1.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
常用换元公式如下：
；                       ；
；                         ；
0 R9 L) {! x. c) }; `( @& M ；                             ；
；                       ；
；                     ；
4 w6 O: X0 ]8 u$ v ；                  。
  K8 d' {) X) c% O  y( \( t+ k“常用换元公式”在许多换元积分中用到。在这里作为复习我们一次性
# ~; B' p& |5 Z7 I% L/ ~0 U给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
5 P* P2 n9 C5 i$ l# a8 l本题利用常用换元公式： 。
- M  d6 s6 M6 T0 K计算过程如下：

0 m  o& b8 J' c/ L, y资料： 。
% J# U2 d7 E! n, I5 c% Y. ~! D
  a! k( h( r' w! d5 A! x4．  （    ）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.4（考核知识点解释及资料）：
利用换元积分法可以证明：
9 U7 M* B9 G3 i2 d- J. a! a若 在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
. J2 z! p  U, Q# p8 i/ F5 E" W事实上， = + =
               = + =
               = + =
& J  W9 ]4 @" C. u! ?               = 。
当 为奇函数时， + =0，故 =0。
2 r& M) h& s2 K+ |% g$ r3 r; T) f在定积分计算中可以利用这个结论。
" ^, B; _6 m' t+ ?/ R% F
资料： （A）0 。
5． （    ）。
( ~2 a) A3 \+ M6 b% R（A）-2；  （B）-1；（C）0；  （D）1
7 u) f' U/ O8 ~1 _★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.5（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
如果函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则
: A7 V3 v# y+ X% B+ u　　　　　　　　　　      
2 }5 P% ]) a5 m2 p/ Z' R; ?牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数 在 上的定积分，就是计算 的任一原函数在 上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
- f+ a  X9 G/ }6 L, ]计算过程如下：
。
9 Q' D) F  d$ j1 D) e* E资料：（D）1。
6．   （     ）。
8 R- P9 ?2 C& s3 b7 J
$ `# `$ `1 y! A: R& G★考核知识点: 不定积分的计算
0 q/ ]+ U/ M  w4 F3 i附1.1.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
# c$ f4 s7 K+ R函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,
; X. k& U) D- t记作 .
本题利用基本积分公式：  。
9 s, D) `. t  [6 j$ y" Q计算过程如下：
。
资料： 。
0 D/ v1 a" d1 s/ x0 L0 J1 q
( ^  o& s1 B3 v6 x8 j6 a  q7．   （     ）。


★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
5 {0 ~4 u  G9 o7 s0 c# [( |运用不定积分的性质
; q; y3 R1 q1 J9 _/ }3 O ，
本题利用基本积分公式：   
# a, |3 b9 x1 K) o8 [' T/ ]计算过程如下：
   。
. s$ r4 Z+ S6 L/ e, x& d3 j& ?9 K    资料： 。

6 {% H* W9 h9 q% i8 ~# f, D/ l- v6 f9 f8． （    ）。

0 Z. i4 D; i8 C& g. L$ L# l* w0 s★考核知识点: 不定积分的计算
- k, r0 b% |' u! c附1.1.8（考核知识点解释及资料）：
函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,
& U# X! E; z- T- g( G. @4 C记作 .
1 }  O+ u- q5 Y2 [& x( \关系式： 。
! y( m1 `8 Y; ^9 \( r4 ~) H7 m4 E计算过程如下：

资料： 。

4 h. Z( f% H4 a) |9． （    ）。
（A）-2；  （B）-1；（C）0；  （D）1
+ \/ D* ^5 n2 r9 w) w★考核知识点: 定积分的计算
% j" E! R, v! F2 k附1.1.9（考核知识点解释及资料）：
+ f) E" P7 O+ b5 t) s利用换元积分法可以证明：
  h# a( {1 I( [% A# U若 在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
事实上， = + =
) n( O7 f9 r/ o* G6 x  [               = + =
  {  h2 n% q3 a7 i% j5 g0 b               = + =
               = 。
当 为奇函数时， + =0，故 =0。
5 O4 J- c  ~; a& ^3 k/ Y在定积分计算中可以利用这个结论。
- m3 z6 X2 }0 E- L5 T8 O资料：（C）0 。

10． （    ）。
（A）-1；  （B）0； ；   
★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.10（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
0 |7 q, i& f! ~ 如果函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则
　　　　　　　　　　      
  k& \2 V( I! ^牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数 在 上的定积分，就是计算 的任一原函数在 上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
; x( S" Q$ T' O( ?* m. L, L. X
+ Y; ?# U# y- _+ P! y计算过程如下：
8 q7 P8 ~3 ^  y" c% T) ~' V. i  P  。
$ ?: D% X, b7 K6 j+ t资料： 。
8 Q* l5 ?5 c9 z$ {  @& n9 {# R: k
11． （    ）。
（A）   （B）  （C）   （D）
  }$ c. H0 h; G1 m★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,
记作 .
本题利用基本积分公式： 。
计算过程如下：
   
资料：（C） 。
: E/ x7 L7 o; @# E6 V3 d
: V& d9 H( @, C! q+ n# Y' L' _12． （     ）。

/ q' w3 z' i5 `0 E- |4 n★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
) u: D7 q" u( U, ?3 z1 x运用不定积分的性质
，
  B2 q" G7 c& \5 }( k本题利用基本积分公式：  。
8 }% j. f# ?4 d, q, j
. m. z; F8 a0 P) r2 b; K$ [' Q' ^计算过程如下：
   。
    资料： 。

13． （    ）。
6 i( ]* g( Z4 }; h
: C6 M% R, \4 B! b( {% ?★考核知识点: 不定积分的换元积分法
1 _& {9 I, s1 }# }& a' i附1.1.13（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
本题利用常用换元公式： 。
本题利用基本积分公式：
9 n# ~) {: H% l. |9 i% S8 F8 X( [计算过程如下：
。
& Z0 _  m1 P* e5 o2 {资料： 。
1 J  A, J( q8 l) j
14． （    ）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
4 m$ @2 V$ v! v2 b! E5 f" I+ c+ q9 z★考核知识点: 定积分的计算
  X0 D% _% R) ?3 w. g附1.1.14（考核知识点解释及资料）：
利用换元积分法可以证明：
若 在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
  q, q* e. G/ Z: `3 c! U) z事实上， = + =
/ m6 ]% b# K4 u) l* s               = + =
               = + =
               = 。
! g: A0 L: J6 v( m8 E" q7 q9 I  s当 为奇函数时， + =0，故 =0。
在定积分计算中可以利用这个结论。
$ f5 e0 N5 W: \
资料： （A）0 。

15． （    ）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.15（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
5 X: t$ M; e, b9 \; _" [! l牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
) k& O& c, C3 g3 y% B) M% m 如果函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则
/ D3 ^7 Z7 z+ s. d: F　　　　　　　　　　      
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数 在 上的定积分，就是计算 的任一原函数在 上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
计算过程如下：
5 D9 c5 b- x4 m$ U" h0 p* `% A9 \  1。
) j0 a/ @6 @/ {资料：（B）1。
( J$ _1 I) _# V% ]0 R. \: l; i
; {3 A( W' ?6 U$ [' L二、主观部分：
1 p& H5 E  u' K' @, y（一）、填空部分
$ u. `: L, F) g1 p6 f1.  ＝_________________________。
& a/ b4 x# R9 x2 J; C- w& D' o★考核知识点: 不定积分的分部积分法
附2.1.1（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
( c& B; ?" r0 _3 q' o1 e如果 和 都是 的可微函数，分部积分公式为
6 x: g/ d: i5 f  G" w1 d 。
) }" u3 O7 X! _4 K 与 的选择要求：(1)  易求出；(2)  比 容易积出.
计算过程如下：
设 ,则 ，有：
＝ =
                  ＝ ＝
1 r5 E) h& {, C* ^% s  B资料： 。

8 q- T( {* f" F: K+ N9 |2.   __________.
0 l/ p4 z) J: j/ \★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
。
计算过程如下：
。
* i! `! X& @. x& c% ]2 q  @% f资料： 。

3. 设向量 ，则向量的模为_________.
) G& @; ?6 ]& ]/ P* [★考核知识点: 空间向量运算
- f9 e0 n  k0 n1 M% a" Z) G2 j1 s附2.1.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与 相同的单位向量称为向量 的单位向量。
方向相同且模相等的两个向量 和 称为相等的。注意，这里所说的方向相同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向相同。因此，经过平行移动后能够完全重合的 向量是相等的。这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量。
# W/ P% a' X  R+ ~- g$ R/ V$ U9 O在直角坐标系中，以坐标原点 为始点，向空间一点 所引的向量 ，叫做点 关于点 的向径，通常用 表示。
" d' i( k+ o  r8 K8 b- u. D: m
' x+ u0 @- x' }- @8 P6 I& z% K称为向径的坐标表示式。
6 x$ Z8 [, K; K! F+ b( }记号 既表示点 ，又表示向量 ，因此，求点 的坐标就是求 的坐标。但要注意，在几何中，点与向量是两个不同的概念，不可混淆，在看到记号 时，须从上下文去认清它究竟表示点还是表示向量，当 表示向量时，可对它进行运算；当 表示点时，就不能进行运算。
计算过程如下：
, U+ s4 K4 ~! |+ w6 K                   =
资料： 。

4.  _____________.
. H1 k6 F* `4 a$ f5 F$ v1 P) n★考核知识点: 空间平面方程
- {7 Y9 I" f3 S2 z! H& [附2.1.4（考核知识点解释及资料）：
0 T3 g9 d# x2 _% q8 i6 l( v7 t, A确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
* ]3 U. R" h3 X- x# f假设平面 经过一定点 且其法线向量为 ，下面来建立平面方程。设点 是平面 上任一点，则向量 必与平面的法线向量 垂直，于是 ，而 ， ，所以平面方程为
4 {9 k& G) C. A   
) F( B. s$ L9 z. R& R资料： 。
0 G, m: W! ^4 V) N. k: L
7 a! B; g; Q* @, V# l5.  _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
5 w  R' ?: W# E5 [( `附2.1.5（考核知识点解释及资料）：
' w3 _7 ~# F/ r5 E% w了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

资料： 。

6.   =_______________。
* A, Y8 x; S& [; B, i" w8 B★考核知识点: 不定积分的分部积分法
$ X. I& n( w4 {6 H+ ~# F附2.1.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
2 Q4 p% k& u( M9 t如果 和 都是 的可微函数，分部积分公式为
。
- o5 I6 r& ^' O# E# M- m 与 的选择要求：(1)  易求出；(2)  比 容易积出.
0 p/ }8 I+ @: p+ I计算过程如下：
$ ^' B1 X1 b3 O" R- E7 l设  ，   则  ，  。从而
  J" W" S. ^* L% A' T) G              =  =  
7 r; F# q( G4 w9 E+ ]) e                    =  
$ s( x" r: \* f. N1 C: ?资料： 。
; N! \9 u6 [8 D4 l' Q! O7 Z
  `; {5 p* A2 d# y) k7.   __________.
★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
/ {( o4 J5 u3 \$ N* J" U( X 。
) `7 b2 n8 p7 p计算过程如下：
。
8 W3 f; P' r$ Q4 k资料： 。
+ }) \" y4 v9 m3 h2 O3 |8. 设向量 ，则与该向量同方向的单位向量为_____________.
5 N8 a( M2 P( ]4 {/ M★考核知识点: 空间向量运算
0 Y# q; a4 I' n8 q附2.1.8（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与 相同的单位向量称为向量 的单位向量。
; |0 {5 X% G9 k, O: w( v+ m方向相同且模相等的两个向量 和 称为相等的。注意，这里所说的方向相同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向相同。因此，经过平行移动后能够完全重合的 向量是相等的。这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量。
在直角坐标系中，以坐标原点 为始点，向空间一点 所引的向量 ，叫做点 关于点 的向径，通常用 表示。
7 E) }1 V  Z! ~- R% J3 u2 b3 W
称为向径的坐标表示式。
& y* R& K+ u' v: q. u+ _; i计算过程如下：
                   = ； = 。
. A. Z4 x2 `* X, {/ n资料： 。
% Q# v5 w( F) ?
7 b5 o# C& q0 B) q9.  _____________.
9 g) n+ h  X* \* c9 a+ G★考核知识点: 空间平面方程
附2.1.9（考核知识点解释及资料）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
假设平面 经过一定点 且其法线向量为 ，下面来建立平面方程。设点 是平面 上任一点，则向量 必与平面的法线向量 垂直，于是 ，而 ， ，所以平面方程为
   
资料： 。

10.  _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
2 Y, }, c" a$ W. H( w0 }  K+ W附2.1.10（考核知识点解释及资料）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

4 T. Q& d4 h6 S, V+ E8 `; r  v资料： 。

* ~+ ~5 [6 M. R7 Z+ Y! _- Z: Y3 D11.   = _______________。
★考核知识点: 不定积分的分部积分法
附2.1.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
8 H1 s0 v. u& A/ P) D% M如果 和 都是 的可微函数，分部积分公式为
。
与 的选择要求：(1)  易求出；(2)  比 容易积出.
计算过程如下：
2 |- S5 F# j! U* o设  ， ，则  ， ，有
              =  =
                    =  =
5 E" Q) p* [; T                    = 。
资料： 。

0 e2 G. o5 r. o" G+ P1 h
8 M- n) j% I5 D' T1 R, k! g6 [/ D) U12.  __________.
★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
6 ~. e5 ?# U8 O6 e% K7 T0 P 。
( ]. E9 u7 v5 V6 `, U9 o4 g计算过程如下：
。
资料： 。
  g7 U2 K/ G  q2 O: C% H& T, z
13. 设向量 ，则与该向量反方向的单位向量为_____________.
4 E6 a& u" u1 L( [, F8 ^' H★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.13（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与 相同的单位向量称为向量 的单位向量。方向与 相反的向量为 。
在直角坐标系中，以坐标原点 为始点，向空间一点 所引的向量 ，叫做点 关于点 的向径，通常用 表示。

称为向径的坐标表示式。
. k8 k9 m- e; F( o8 P$ L6 ^计算过程如下：
                   = ； = 。
3 C8 c+ r; i: Z- k/ L资料： 。

& `) B! A' V# q$ v9 s) G7 L/ i: E" B1 Z+ F14.  _____________.
  A& E  j& H) u! f$ F. q8 J9 `★考核知识点: 空间平面方程
附2.1.14（考核知识点解释及资料）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
  H- u# r* n. q' B2 C假设平面 经过一定点 且其法线向量为 ，下面来建立平面方程。设点 是平面 上任一点，则向量 必与平面的法线向量 垂直，于是 ，而 ， ，所以平面方程为
% g/ O1 |6 c# O- n6 D   
+ [) N2 v* ?7 [1 W9 N5 }资料： 。
/ f* G9 W0 n9 _. Q# Q5 R% L. Z2 [
; H1 h" O' q3 u1 M" k15.  _______.
) ]" y& n( w4 i9 u; ~9 \★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.15（考核知识点解释及资料）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

资料： 。
. T) R+ j  U# r, |8 t, {
（二）、计算题
$ L* T5 |, _8 y. T6 I1. 计算  。
★考核知识点: 定积分的换元积分法
* }$ \# G( u& e, m附2.2.1（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
0 W7 X" [. n4 t) ^: V6 U, d: u定积分的概念： 设函数y=f（x）在区间[a，b]上有定义，用分点
a=x <x <x  x <x  x <x =b
! f+ ~" U$ ?! d1 R5 U  p) x. I将区间[a,b]任意分成n个小区间，每个小区间的长度为 =
9 G4 F" i0 `- ^0 `/ \. L（i=1，2， n），记   ，在每个小区间[ ]上
任取一点 ，作乘积：
（i=1，2， n）
6 o/ v$ b8 ^) A, l5 m将这些乘积相加，得到和式：
3 t6 r* G% c7 z7 E4 u$ a. ~( }
这个和称为函数y=f（x）在区间[a，b]上积分和。
+ E) o8 [% Z0 n. g" n1 Y+ q令 ，若积分和S 有极限I，则称此极限值为y=f（x）在[a,b]上的
定积分，记作
I=  =
0 a  v. _4 T: k' K) V9 P6 [, _记号“ ”为积分符号，来自字母“S”的一种古老写法，它表示“sum”（和），与“ ”一样；积分中的“dx”从因子 变来的；a和b分别称为积分下限和积分上限，[a，b]称为积分区间，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式。
0 ]2 D: c. O* @9 g) K设函数 在区间 上连续，并且满足下列条件：
: y( I0 D4 o9 X（1） ，且 ， ；
2 Y5 M5 W& U9 g1 o2 u（2） 在区间 （或 ）上单调且有连续的导数 ；
则有
6 K/ D/ t% T- S( {3 s) q* l  b
上述公式称为定积分的换元积分公式.
7 S) F1 g: I0 `( b/ @在应用换元积分公式计算定积分时需要注意：公式相当于不定积分的第二换元法.计算时，用 把原积分变量 换成新变量 ，积分限也必须由原来的积分限 和 相应地换为新变量 的积分限 和 ，而不必代回原来的变量 .
参考资料：
设 ，则 = - =
3 R+ [- Z, W9 }  k9 S8 Z= = .
. ~2 V; n; ?% T) Y

2.  。
★考核知识点: 二元函数的偏导数
+ H( l8 [9 c. `& d: P) o附2.2.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
运用一元函数的微分法求二元函数的偏导数。在求偏导数时，
将另一个变元看作常数，这样就可以运用一元函数的微分法了。
参考资料：
' H8 a$ u8 @, N8 ?% `- [ 。

& n+ }/ ~; I7 ^% y9 U6 ?$ o3 c3. 计算 。
! ~; [( G+ D8 P  I8 `+ X3 u- }★考核知识点: 定积分的分布积分法
附2.2.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
( f5 F1 C' T1 \设  在[a,b]上具有连续导数 ，则有
                     
4 O1 o: ]0 C; L" {故
      
               
这就是定积分的分部积分公式。
5 {4 X" E- n* K9 A参考资料：
设u=arcsin , 则
      =  =
; o; v$ G* N9 f( V% K, r& A                 = +  =
7 Z! O' ^9 K% y) s0 i+ ]. u: l                 =
3 q1 z" c1 u4 I( }) ^2 e
" i4 D1 ^( f, {, y6 q1 W0 N/ E4.  
6 g) Y2 M! X- O5 O2 ^★考核知识点: 二元函数的偏导数
附2.2.4（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
* j2 {8 _+ C/ o运用一元函数的微分法求二元函数的偏导数。在求偏导数时，
将另一个变元看作常数，这样就可以运用一元函数的微分法了。
' o! k) ^1 U' t5 L$ a
" h5 w( {" c2 u* b9 v4 m. r参考资料：
1 l1 X, u% `( E& l2 }: j

5. 计算  。
★考核知识点: 定积分的计算
附2.2.5（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设  在[a,b]上具有连续导数 ，
0 U9 V) \/ X& ~- o4 f# `则有定积分的分部积分公式
                        
8 @2 \2 w+ d% _+ m1 W    有时要同时应用多种积分法来计算定积分，比如换元积分法和分部积分法。
参考资料：
设 ，则
: n& X( _: @8 T" J3 F    = = =
, q6 H1 L; [7 f: a8 ?6 K% K          = =
          =  =
/ I9 A! P! p5 V6 \) w) X          = =2
+ ?/ H! i# ?  X" e' \6 Z8 l+ v9 S
6.  
* Z( \3 w$ o& B0 A. W" R0 c( S: N★考核知识点: 复合函数的全导数
附2.2.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：

参考资料：
% a; M5 H. H& U2 I
9 u, ~* s% k! m* U* _7. 计算 。
★考核知识点: 积分上限的函数及其极限
! C$ d" n0 [% _附2.2.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
。

0 Z6 P9 [9 ^/ k$ j5 _/ n7 {运用洛必达法则计算。
+ M( L( q* l& L参考资料：
& y9 ~* O# m( J/ G4 X( n) T5 p 。

; d1 P: S# D- p- R, [8. 计算 。
. q: |7 b; l) \8 V$ C* E; H★考核知识点: 广义（反常）积分的计算
附2.2.8（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
1 T; z. t7 q6 _8 R( O7 q( V9 m  _函数的定义域是无穷区间 ， 或 ，或被积函数为无界的情况.前者称为无限区间上的积分，后者称为无界函数的积分.一般地，我们把这两种情况下的积分称为广义积分
(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式.
(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必达法则.
参考资料：
. x, e# ~! i$ N; h' l
=
  =
.
# P1 U. _4 L) d: ?+ p; }
* w' J  T3 n  |9. 计算  。
★考核知识点: 广义（反常）积分的计算
附2.2.9（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
被积函数为无界的情况，称为无界函数的积分.
5 z3 M* p/ @8 z( P( p# p(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式.
(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必达法则.
" V9 f( @7 m% E" ~参考资料：



10.求函数 的极值。
★考核知识点: 求多元函数的极值
附2.2.10（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数 ，求函数的极值步骤如下：
（1）求方程组
               ，
的一切实数解，得到一切驻点。
（2）对每个驻点 ，求二阶偏导数的值
7 @' L9 p/ l' ^; l1 W 。
( d' C9 J" c# P0 _) r; {! |% Q: b! a（3）极值点的充分条件是
当 时，函数有极值，其中
! c3 l) u6 _4 w; Q8 _ 时，函数达到极大值； 时，函数达到极小值。
参考资料：

4 s& K6 K0 X, Z8 u2 C  x11.
! {0 ~  W9 H& D  K! p3 Z2 Y★考核知识点: 求多元函数的极值
附2.2.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
     二元隐函数的求导公式：
设 ，则

设函数 ，求函数的极值步骤如下：
2 a! J/ k& x# o3 t  V（1）求方程组
               ，
的一切实数解，得到一切驻点。
9 G8 d3 W0 F0 @! V6 y- i+ Y（2）对每个驻点 ，求二阶偏导数的值
。
5 c) l2 r# K/ A# J2 n（3）极值点的充分条件是
% c; J! s$ g9 O! E" [- M6 O. H当 时，函数有极值，其中
. Q% w# @; D9 o$ k- c- r9 N- Y" B 时，函数达到极大值； 时，函数达到极小值。
8 b3 t# L0 C; [$ O4 O# C( Z% r参考资料：

. j! i% v: Y* _6 c- k" `2 h
: R6 ~& o! t( D( f7 j( t1 _
12.已知直角平行六面体的长、宽、高之和为定数 ，求其最大体积。
0 V5 l+ k# Y1 |% x7 v/ \* U9 l★考核知识点: 求多元函数的最大（最小）值
$ N8 ]1 _( ?  ~& z) E( @, ]附2.2.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
, n. y: b% T* N条件极值问题可以用拉格朗日乘子法求解。拉格朗日乘子法：
; b7 y  z* V0 v+ J求函数 在条件 下的极值点，按如下方法。
（1）        构造拉格朗日函数
                  
2 ?! R7 t4 m/ J5 Z$ ^（2）        求一阶偏导数，令   
（3）        由方程组解出 ，其中 是可能的极值点坐标。
参考资料：

" c9 H! P3 k/ j( R6 ^7 A设平行六面体的长、宽、高分别为  。
7 S6 ]! j3 k0 x* X/ z依题意有  
  ，
       。
又设

0 M) a$ m! N( I' v- n
令         
解得唯一驻点 ，实际问题可知为最大值点，即当长、宽、高均为 时，其体积最大，这时， 体积 。