南开15春《高等数学(二)》复习资料

谋学网 · 发表于 2015-9-10 10:18:14

《高等数学（二）》复习资料

一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）
（一）、单项选择部分
1．（  ）。
（A）（B）  （C）（D）
★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.1（考核知识点解释及资料）：
函数在上的全体原函数称为在上的不定积分,记作
，其中称为积分号；  称为被积函数；称为
被积表达式. 称为积分变量.
显然,若为在上的一个原函数,则
         , 为任意常数.
基本积分表：
  ( 为常数)；










上述“基本积分表”是各种积分计算的基础，要求熟练掌握。在这里
作为复习我们一次性给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
本题利用了基本积分公式：。
资料：（C）。
2．（）。

★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
不定积分的计算需要运用不定积分的性质：
，
。
计算过程如下：
。
资料：。
3．（）。

★考核知识点: 不定积分的换元积分法
附1.1.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
常用换元公式如下：
；                      ；
；                      ；
；                            ；
；                      ；
；                   ；
；                。
“常用换元公式”在许多换元积分中用到。在这里作为复习我们一次性
给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
本题利用常用换元公式：。
计算过程如下：

资料：。

4．  （）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.4（考核知识点解释及资料）：
利用换元积分法可以证明：
若在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
事实上， = + =
            = + =
            = + =
            = 。
当为奇函数时， + =0，故 =0。
在定积分计算中可以利用这个结论。

资料：（A）0 。
5．（）。
（A）-2；  （B）-1；（C）0；  （D）1
★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.5（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
如果函数在上连续，且是在上的一个原函数，则
　　　　　　　　　　
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数在上的定积分，就是计算的任一原函数在上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
计算过程如下：
。
资料：（D）1。
6．（    ）。

★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
函数在上的全体原函数称为在上的不定积分,
记作 .
本题利用基本积分公式：  。
计算过程如下：
。
资料：。

7．（    ）。

★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
运用不定积分的性质
，
本题利用基本积分公式：
计算过程如下：
。
资料：。

8．（）。

★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.8（考核知识点解释及资料）：
函数在上的全体原函数称为在上的不定积分,
记作 .
关系式：。
计算过程如下：

资料：。

9．（）。
（A）-2；  （B）-1；（C）0；  （D）1
★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.9（考核知识点解释及资料）：
利用换元积分法可以证明：
若在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
事实上， = + =
            = + =
            = + =
            = 。
当为奇函数时， + =0，故 =0。
在定积分计算中可以利用这个结论。
资料：（C）0 。

10．（）。
（A）-1；  （B）0；；
★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.10（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
如果函数在上连续，且是在上的一个原函数，则
　　　　　　　　　　
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数在上的定积分，就是计算的任一原函数在上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.

计算过程如下：
  。
资料：。

11．（）。
（A）（B）  （C）（D）
★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
函数在上的全体原函数称为在上的不定积分,
记作 .
本题利用基本积分公式：。
计算过程如下：

资料：（C）。

12．（    ）。

★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
运用不定积分的性质
，
本题利用基本积分公式：  。

计算过程如下：
。
资料：。

13．（）。

★考核知识点: 不定积分的换元积分法
附1.1.13（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
本题利用常用换元公式：。
本题利用基本积分公式：
计算过程如下：
。
资料：。

14．（）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.14（考核知识点解释及资料）：
利用换元积分法可以证明：
若在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
事实上， = + =
            = + =
            = + =
            = 。
当为奇函数时， + =0，故 =0。
在定积分计算中可以利用这个结论。

资料：（A）0 。

15．（）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.15（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
如果函数在上连续，且是在上的一个原函数，则
　　　　　　　　　　
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数在上的定积分，就是计算的任一原函数在上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
计算过程如下：
  1。
资料：（B）1。

二、主观部分：
（一）、填空部分
1.  ＝_________________________。
★考核知识点: 不定积分的分部积分法
附2.1.1（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
如果和都是的可微函数，分部积分公式为
。
与的选择要求：(1)  易求出；(2)  比容易积出.
计算过程如下：
设 ,则，有：
＝ =
               ＝＝
资料：。

2. __________.
★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数在上连续，为上的任意一点，则积分存在.当在区间上变化时，积分是上限的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
。
计算过程如下：
。
资料：。

3. 设向量，则向量的模为_________.
★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与相同的单位向量称为向量的单位向量。
方向相同且模相等的两个向量和称为相等的。注意，这里所说的方向相同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向相同。因此，经过平行移动后能够完全重合的向量是相等的。这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量。
在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向空间一点所引的向量，叫做点关于点的向径，通常用表示。

称为向径的坐标表示式。
记号既表示点，又表示向量，因此，求点的坐标就是求的坐标。但要注意，在几何中，点与向量是两个不同的概念，不可混淆，在看到记号时，须从上下文去认清它究竟表示点还是表示向量，当表示向量时，可对它进行运算；当表示点时，就不能进行运算。
计算过程如下：
               =
资料：。

4.  _____________.
★考核知识点: 空间平面方程
附2.1.4（考核知识点解释及资料）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
假设平面经过一定点且其法线向量为，下面来建立平面方程。设点是平面上任一点，则向量必与平面的法线向量垂直，于是，而，，所以平面方程为

资料：。

5.  _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.5（考核知识点解释及资料）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

资料：。

6. =_______________。
★考核知识点: 不定积分的分部积分法
附2.1.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
如果和都是的可微函数，分部积分公式为
。
与的选择要求：(1)  易求出；(2)  比容易积出.
计算过程如下：
设  ，则  ，  。从而
            =  =
                  =
资料：。

7. __________.
★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数在上连续，为上的任意一点，则积分存在.当在区间上变化时，积分是上限的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
。
计算过程如下：
。
资料：。
8. 设向量，则与该向量同方向的单位向量为_____________.
★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.8（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与相同的单位向量称为向量的单位向量。
方向相同且模相等的两个向量和称为相等的。注意，这里所说的方向相同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向相同。因此，经过平行移动后能够完全重合的向量是相等的。这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量。
在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向空间一点所引的向量，叫做点关于点的向径，通常用表示。

称为向径的坐标表示式。
计算过程如下：
               = ； = 。
资料：。

9.  _____________.
★考核知识点: 空间平面方程
附2.1.9（考核知识点解释及资料）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
假设平面经过一定点且其法线向量为，下面来建立平面方程。设点是平面上任一点，则向量必与平面的法线向量垂直，于是，而，，所以平面方程为

资料：。

10.  _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.10（考核知识点解释及资料）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

资料：。

11. = _______________。
★考核知识点: 不定积分的分部积分法
附2.1.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
如果和都是的可微函数，分部积分公式为
。
与的选择要求：(1)  易求出；(2)  比容易积出.
计算过程如下：
设  ，，则  ，，有
            =  =
                  =  =
                  = 。
资料：。

12.  __________.
★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数在上连续，为上的任意一点，则积分存在.当在区间上变化时，积分是上限的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
。
计算过程如下：
。
资料：。

13. 设向量，则与该向量反方向的单位向量为_____________.
★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.13（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与相同的单位向量称为向量的单位向量。方向与相反的向量为。
在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向空间一点所引的向量，叫做点关于点的向径，通常用表示。

称为向径的坐标表示式。
计算过程如下：
               = ； = 。
资料：。

14.  _____________.
★考核知识点: 空间平面方程
附2.1.14（考核知识点解释及资料）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
假设平面经过一定点且其法线向量为，下面来建立平面方程。设点是平面上任一点，则向量必与平面的法线向量垂直，于是，而，，所以平面方程为

资料：。

15.  _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.15（考核知识点解释及资料）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

资料：。

（二）、计算题
1. 计算  。
★考核知识点: 定积分的换元积分法
附2.2.1（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
定积分的概念：设函数y=f（x）在区间[a，b]上有定义，用分点
a=x <x <x  x <x  x <x =b
将区间[a,b]任意分成n个小区间，每个小区间的长度为 =
（i=1，2， n），记，在每个小区间[ ]上
任取一点，作乘积：
（i=1，2， n）
将这些乘积相加，得到和式：

这个和称为函数y=f（x）在区间[a，b]上积分和。
令，若积分和S 有极限I，则称此极限值为y=f（x）在[a,b]上的
定积分，记作
I=  =
记号“ ”为积分符号，来自字母“S”的一种古老写法，它表示“sum”（和），与“ ”一样；积分中的“dx”从因子变来的；a和b分别称为积分下限和积分上限，[a，b]称为积分区间，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式。
设函数在区间上连续，并且满足下列条件：
（1），且，；
（2）在区间（或）上单调且有连续的导数；
则有

上述公式称为定积分的换元积分公式.
在应用换元积分公式计算定积分时需要注意：公式相当于不定积分的第二换元法.计算时，用把原积分变量换成新变量，积分限也必须由原来的积分限和相应地换为新变量的积分限和，而不必代回原来的变量 .
参考资料：
设，则 = - =
= = .

2.  。
★考核知识点: 二元函数的偏导数
附2.2.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
运用一元函数的微分法求二元函数的偏导数。在求偏导数时，
将另一个变元看作常数，这样就可以运用一元函数的微分法了。
参考资料：
。

3. 计算。
★考核知识点: 定积分的分布积分法
附2.2.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设  在[a,b]上具有连续导数，则有

故


这就是定积分的分部积分公式。
参考资料：
设u=arcsin , 则
   =  =
               = +  =
               =

4.
★考核知识点: 二元函数的偏导数
附2.2.4（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
运用一元函数的微分法求二元函数的偏导数。在求偏导数时，
将另一个变元看作常数，这样就可以运用一元函数的微分法了。

参考资料：

5. 计算  。
★考核知识点: 定积分的计算
附2.2.5（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设  在[a,b]上具有连续导数，
则有定积分的分部积分公式

有时要同时应用多种积分法来计算定积分，比如换元积分法和分部积分法。
参考资料：
设，则
= = =
      = =
      =  =
      = =2

6.
★考核知识点: 复合函数的全导数
附2.2.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：

参考资料：

7. 计算。
★考核知识点: 积分上限的函数及其极限
附2.2.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数在上连续，为上的任意一点，则积分存在.当在区间上变化时，积分是上限的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
。

运用洛必达法则计算。
参考资料：
。

8. 计算。
★考核知识点: 广义（反常）积分的计算
附2.2.8（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
函数的定义域是无穷区间，或，或被积函数为无界的情况.前者称为无限区间上的积分，后者称为无界函数的积分.一般地，我们把这两种情况下的积分称为广义积分
(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式.
(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必达法则.
参考资料：

=
  =
.

9. 计算  。
★考核知识点: 广义（反常）积分的计算
附2.2.9（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
被积函数为无界的情况，称为无界函数的积分.
(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式.
(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必达法则.
参考资料：

10.求函数的极值。
★考核知识点: 求多元函数的极值
附2.2.10（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数，求函数的极值步骤如下：
（1）求方程组
            ，
的一切实数解，得到一切驻点。
（2）对每个驻点，求二阶偏导数的值
。
（3）极值点的充分条件是
当时，函数有极值，其中
时，函数达到极大值；时，函数达到极小值。
参考资料：

11.
★考核知识点: 求多元函数的极值
附2.2.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
   二元隐函数的求导公式：
设，则

设函数，求函数的极值步骤如下：
（1）求方程组
            ，
的一切实数解，得到一切驻点。
（2）对每个驻点，求二阶偏导数的值
。
（3）极值点的充分条件是
当时，函数有极值，其中
时，函数达到极大值；时，函数达到极小值。
参考资料：

12.已知直角平行六面体的长、宽、高之和为定数，求其最大体积。
★考核知识点: 求多元函数的最大（最小）值
附2.2.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
条件极值问题可以用拉格朗日乘子法求解。拉格朗日乘子法：
求函数在条件下的极值点，按如下方法。
（1）构造拉格朗日函数

（2）求一阶偏导数，令
（3）由方程组解出，其中是可能的极值点坐标。
参考资料：

设平行六面体的长、宽、高分别为  。
依题意有
  ，
   。
又设

令
解得唯一驻点，实际问题可知为最大值点，即当长、宽、高均为时，其体积最大，这时，体积。

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