21年秋福师《实变函数》在线作业一-1（资料）

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资料来源：谋学网（www.mouxue.com）实变函数-[福建师范大学]福师《实变函数》在线作业一
7 I& q) a  t* w" ~( K/ ~. o( G+ M试卷总分:100    得分:100
第1题,有界可测集的测度为有限数无界可测集的测度为+∞
A、错误
B、正确
/ V/ D- A& x, P5 \" ?正确资料:

. [; E' t3 x) K8 L7 s3 K
第2题,若f有界变差且g满足Lip条件则复合函数gfx也是有界变差
A、错误
4 x5 r9 f! ~$ S/ i1 x+ v& }B、正确
正确资料:
1 G9 k& N3 W1 H
. g% K2 |6 B4 f0 \+ R
4 g" Z0 n; Y* X9 ~第3题,集合A可测等价于该集合的特征函数XA可测
A、错误
B、正确
/ a; {( s% j- Q. x/ D0 u" y1 k正确资料:


第4题,若fg∈BV则|f|f+ff∧gf∨g属于BV
A、错误
B、正确
5 F  S3 U7 R8 q! X5 Q3 I正确资料:

# L& |5 o8 s- q9 P$ {
' M& B* N+ p* ^/ g! _, h资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,不存在这样的函数f在区间[ab]上增且使得f'x在[ab]上积分值∫fdxfbfa
A、错误
B、正确
正确资料:

8 X5 n) r- g# t: s4 P4 u
第6题,若曲线L由参数方程x=fty=gtz=ht给定则L为可度曲线等价于fhg∈BV
A、错误
B、正确
( a! ~2 X4 ?) Y( M4 o正确资料:
: \8 u9 Y/ Y) j3 T1 ]
$ S; ^" p1 C5 \5 G4 E
第7题,若fg是增函数则f+gfgfg也是增函数
A、错误
B、正确
* C9 a0 {0 z1 [& r: K正确资料:

+ `% O5 K. w6 r
第8题,利用积分的sigma可加性质第二条款可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排
) B2 U5 ^5 g$ ~8 B4 |! PA、错误
B、正确
正确资料:
& z/ w  l5 f) d
" Y6 e6 X5 B3 x" m) b) a( ]' d
第9题,一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数
+ O: X* p8 j5 z, p2 K/ XA、错误
6 a% [$ N: f# {* _, lB、正确
. @' }9 O: j7 o. z) u" u正确资料:


7 b0 S, r$ _2 P9 s! i/ j: D资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,若对任意有理数rXf=r都可测则f为可测函数
A、错误
" Q  d8 j; [1 [) |! Q. d$ N" sB、正确
正确资料:


# W/ q! _: M$ f* G% S第11题,若|f|和f^2都是有界变差则f为有界变差
- l# B6 y0 o0 A5 CA、错误
" x# u! h6 d( g. {7 }% c# d" FB、正确
9 z- E) V" G! }, i& f正确资料:

! G+ S3 r+ n/ b
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,若f∈AC则f是连续的有界变差函数即f∈C∩BV
A、错误
" y8 y9 d9 U1 f# @# PB、正确
正确资料:
" k* v9 c* c+ ?/ o0 l

7 A7 s: o' w  c6 ~3 {第13题,函数f在区间[ab]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[ab]上的不连续点集为零测度集
' H+ Z0 \+ n9 r4 U4 dA、错误
% g4 z! y! S- f1 c& Q+ K. ^B、正确
! h. Y" a% W- w3 {- Z) G- N正确资料:
6 ]1 r" y  H8 T8 C

2 M' m4 Z" R, ^+ B: ~. _4 |第14题,积分的引进分为三个递进的步骤非负简单函数的积分非负可测函数的积分一般可测函数的积分
. C5 M3 W' M/ M( e( Y8 CA、错误
0 I" ~, e9 f+ W2 m9 eB、正确
* a3 Q6 L$ _7 M+ b. P2 Q正确资料:
& Z; F! r' x  |1 }7 F4 `
- j& i% @& D, B) \' ?- t
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果
A、错误
B、正确
正确资料:


9 {& M. O! B  q1 I第16题,若fg∈AC则|f|f+ff+gfgf/gg不为0f∧gf∨g均属于AC
A、错误
$ @" o. K8 [: C, ?& S! r/ V; }( \: ~B、正确
5 e5 O8 V8 U% v! g9 O' ]- G正确资料:


第17题,函数f≡C∈[∞∞]则f可测
A、错误
8 w. H3 z+ F. I1 |0 CB、正确
正确资料:
! l* _& }! R/ }& E# E  B* p
/ }# M( d9 j$ `7 ~& d7 j- n
- x; ?- r; m2 X, \  o: k第18题,存在某区间[ab]上增函数f使得f'x在[ab]上积分值∫fdxfbfa
* u6 L; z5 |5 H# TA、错误
8 X( P1 }% `3 y6 e( ^B、正确
正确资料:
; k- \" h. w+ A( N8 I5 S6 K8 G

第19题,增函数f在[ab]上至多有可数个间断点且只能有第一类间断点
0 ?' r/ S# N/ t, |# L, y% e0 IA、错误
B、正确
正确资料:
6 Q  L5 ~0 ^5 V4 k7 {: _
+ G' ^* b; g7 R
; L; D0 Q. z! o" P6 R/ f. ^资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,可积的充分条件若存在g∈L1使得|f|=g
A、错误
" @# T7 f2 E/ x3 O( g# GB、正确
正确资料:

! o( O0 D0 M. Q% l! m: e3 t9 a
第21题,连续函数和单调函数都是有界变差函数
  f# C, k" N4 q# _' eA、错误
B、正确
正确资料:
/ J9 f/ F3 G0 ^# e& W* g

第22题,若fg∈BV|g|c0则f/g属于BV
A、错误
. n1 g, i1 w6 S% j6 [. ]B、正确
正确资料:
- u+ D4 e$ C% Q8 X  ^7 t
! ~$ f- Z4 I  ^$ {
第23题,若f有界且mX∞则f可测
' t0 {) q7 E* E: zA、错误
- u& H+ q: q' C1 Q" a' iB、正确
正确资料:

! x+ R) F' ^$ b# b& M' k
4 d; o  F" P$ W4 S; c  d第24题,若fg∈BV则f/gg不为0属于BV
& M5 ~' d+ D% O, w" V# \" o/ E  sA、错误
- n+ _- t: @3 @( J* YB、正确
3 t, }' N; v6 l9 I1 q: ^; Z5 u正确资料:

& N1 l$ [; I# }# _' t6 R
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,有限覆盖定理的内容是若U是R^n中紧集F的开覆盖则可以从U中取出有限子覆盖
A、错误
8 @2 H3 h3 A: iB、正确
正确资料:
' q' X& a, J) \+ _+ i/ s6 t% F
4 X% W1 X. r  ^% l) N' w; K. t
第26题,可数集的测度必为零反之也成立
- o* Q8 Z" |- \+ O5 |4 e- j, k( vA、错误
: b8 b/ s# y7 ^0 H, s. ^3 DB、正确
( T0 Y6 W; [6 a7 @2 v- o正确资料:
7 O. j- d1 K3 {/ {

8 D% a3 p2 o" p2 U第27题,f∈BV则f至多有可数个间断点而且只能有第一类间断点
9 I9 j4 s, m& o# ]$ _" AA、错误
B、正确
正确资料:


0 ^7 \% D  V' `1 e第28题,若f广义R可积且f不变号则fL可积
8 m( ~8 _! I0 r1 ?A、错误
) _$ m7 }# `( d# a( wB、正确
正确资料:
" w/ m6 D6 |8 W4 b+ X6 Q* m3 U" V
3 L  I# P: V+ U# V4 ^% v
( t1 `2 U; x! U$ _- o9 K5 d第29题,三大积分收敛定理是积分论的中心结果
A、错误
B、正确
正确资料:
+ _% d7 V+ U4 L% x# F& j

3 X5 W. G! V2 M6 {/ y1 h资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,闭集套定理的内容是{Fk}是R^n中非空有界闭集的降列则Fk对所有k取交集非空
% P5 ^: Z2 e4 Y$ }4 }A、错误
0 R9 g4 ]- A5 NB、正确
正确资料:


9 H  G3 l9 T9 L9 A第31题,f可积的充要条件|f|可积
  q% h0 j$ Z: m8 S  Z" G" jA、错误
7 i7 A- }3 n0 q& F* f1 CB、正确
正确资料:

* s) ~- U0 p8 P  p1 I  Q
第32题,g的连续点是L点但L点未必是连续点
A、错误
B、正确
正确资料:
* v+ _( A0 a' B
4 [2 B" M* D6 F9 ]
第33题,若f可测则|f|可测反之也成立
' U/ h4 x) [6 }' W+ w' C% h3 `A、错误
) d, r6 Q3 o7 |+ L  ZB、正确
正确资料:
$ |  Y, T- U  x' i8 R( ?7 m3 t1 I1 M
- n6 r6 w: ^9 c. Z; w6 G
/ s4 ?2 Z7 \* k7 V# D( c0 H第34题,利用有界变差函数可表示为两个增函数之差可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数几乎处处可微而且导函数可积
A、错误
B、正确
正确资料:
; M4 a% c0 b' F3 @) s. _: ?" m

第35题,f在E上可积的充要条件是级数M[E|f|=n]之和收敛
' p# j0 a0 F1 i2 ~( [4 M& H4 P6 wA、错误
1 b% O0 U) g+ i; y0 r5 YB、正确
) r9 @3 N1 |6 l# o5 N正确资料:


第36题,零测度集的任何子集都是可测集
A、错误
B、正确
正确资料:


/ S  g* O4 J$ B" o0 K# t: Z第37题,f在[ab]上为增函数则f的导数f'∈L1[ab]
0 _9 j* q2 R4 U& Z# C! i! @A、错误
/ [! G. }5 O! Q8 O0 ]% g' H" xB、正确
正确资料:
' r  \1 ?# l0 X# \1 E

第38题,设gx是[01]上的有界变差函数则fx=sinxV0xg是[01]上的
A、连续函数
B、单调函数
# l0 e5 w- R- u4 J: g$ {C、有界变差函数
D、绝对连续函数
9 P, d% W* h0 D* u# n正确资料:


+ s8 ]5 w2 [# K& Q+ [: o第39题,若|A|=|B||C|=|D|则
A、|A∪C|=|B∪D|
B、|A∩C|=|B∩D|
C、|A\C|=|B\D|
D、当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
( d- {1 Z  \8 m1 v) D: W正确资料:


第40题,若f∈LX则
A、f在X上几乎处处连续
( i/ {- n5 s& |$ ZB、存在g∈L(X)使得|f|=g
C、若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
正确资料:

% i4 \# ]) L1 J% J6 z9 y
) Q8 ?+ T6 \+ ^% h2 {: j第41题,有限个可数集的乘积集是
A、有限集
B、可数集
: g7 u# S9 F5 n7 G* PC、有连续统势的集
1 r+ |) j: v! t) b: \D、基数为2^c的集
- U; f4 p1 N$ g. n正确资料:
8 C& O$ y4 Q9 R$ s
9 a2 J7 n# [3 [
第42题,下列关系式中不成立的是
A、f(∪Ai)=∪f(Ai)
B、f∩(Ai)=f(∩Ai)
4 f" J% }0 ]4 ^' x# n0 J2 \1 n  CC、(A∩B)0=A0∩B0
5 K0 J5 d' R( Y( T+ JD、(∪Ai)c=∩(Aic)
" [8 W% @6 Q% R" K& }# J正确资料:
# z# Q# \5 h/ k1 I+ ^. S
8 U) j; L' T  S
第43题,若A和B都是R中开集且A是B的真子集则
A、m(A)m(B)
B、m(A)=m(B)
C、m(B\A)=m(A)
# p* @! b# d7 z9 V8 o+ w6 MD、m(B)=m(A)+m(B\A)
9 ?4 M5 s; ~  t  L. b% R' S$ ~正确资料:
; r: H8 r$ ]; h7 T' ]7 U! ?) G( w

第44题,在R上定义f当x为有理数时fx=1当x为无理数时fx=0则
) ?5 p! W* k3 x3 V! `$ q" pA、f在R上处处不连续
& H8 w/ T7 p8 D9 e- U( ~9 CB、f在R上为可测函数
C、f几乎处处连续
9 T6 G" c  g/ }' W& Y( n# G- ?D、f不是可测函数
正确资料:,B


第45题,若fg是有界变差函数则
. t& C5 g: ?% [7 m( bA、f+g有界变差函数
: F) `8 A4 J; h* j3 i) K5 T( WB、fg有界变差函数
C、f/g有界变差函数
* Y' z. w' |* _+ e2 qD、max(f,g)有界变差函数
正确资料:,B,D
! V: \5 j6 c0 ?. c
) E; t/ w. A0 I/ J$ h) _$ D& h
第46题,若fx为Lebesgue可积函数则
$ V! w/ T$ X, ~' iA、f可测
2 T8 y' @. k1 c3 g2 c: C+ e7 `) \B、|f|可积
C、f^2可积
D、|f|∞.a.e.
) L, `3 t( c1 ?1 i正确资料:,B,C
1 c8 W0 n% c1 K2 @% P

% L) ]' Q" w0 \第47题,设E为R^n中的一个不可测集则其特征函数是
9 E+ M4 y" n- w  T( r  ?! W9 hA、是L可测函数
B、不是L可测函数
C、有界函数
  W! b# B( Q& p2 g, xD、连续函数
正确资料:,C
$ e3 z8 l: g6 I+ C
# v* k/ }# o8 a: r+ ~+ n
第48题,若f不可测g可测则下列正确的是
; ]  Q% `+ V9 Y5 h! xA、f+g不可测
B、fg不可测
+ q0 u7 W+ p7 M* e% M* fC、g^2可测
D、|g|可测
) H; D# M1 m4 c0 j) S3 |# s$ V正确资料:,C,D
( M# Y% C; s" n) s( Y" v9 ?
" M3 g% S: K8 z' e. f5 k
第49题,AB是两个集合则下列正确的是
) e" y0 E- C2 U* I; l4 kA、f^-1(f（A）)=A
B、f^-1(f（A）)包含A
: U  |4 z9 A4 v5 d* e- {C、f(f^-1（A）)=A
D、f(A\B)包含f(A)\f(B)
, H( H4 V; M5 N1 ?. _1 K' c! x正确资料:,C,D

; |& s- N5 T  F0 z: d
# _0 z8 E' V# ?+ V! n3 O资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g则
A、fn测度收敛于|f|
5 Q0 x. D3 O4 J  \( Q& aB、afn+bgn测度收敛于af+bg
# j* {* s0 @( y1 |C、(fn)^2测度收敛于f^2
D、fngn测度收敛于fg
正确资料:,B

" d* j+ H2 G! x, J/ e, o: X% p8 R
& L4 ]: D% L& e; }

/ |$ ]! s- p: b2 g! L
; V; p& j; Y# c6 b- u' d& B
5 D$ e2 s# {! i9 ]$ y' H
/ u9 B' z; ]& h) W9 I, `: F' ?3 b; I- H


5 P7 M% Q3 S& ?$ U5 X
, j1 r2 C( A8 @

) Y& T% _& n; ~; m2 L6 u
2 a6 B" l- h" V