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资料来源：谋学网（www.mouxue.com）实变函数-[福建师范大学]福师《实变函数》在线作业二- F# ^! r9 `* y7 \, M
试卷总分:100 得分:100* K! {3 z- s& D* j
第1题,不存在这样的函数f在区间[ab]上增且使得f'x在[ab]上积分值∫fdxfbfa
! j+ \0 ]9 c/ q% v8 dA、错误% m4 x l* `* c8 B- [
B、正确+ c" `# y5 I! j0 }# b6 k
正确资料:, Q! Z& T" |- H: g& }5 Q7 f( m
; \2 o5 D7 p1 s& C1 L
) f6 _& A( A) J4 C
第2题,可积的充分条件若存在g∈L1使得|f|=g
3 M: D) O- q2 C9 PA、错误
* J/ Q2 J# O7 M5 |' k6 IB、正确* v& T# Q$ j# R0 |, O6 T
正确资料:
3 z) S; ^3 n, j8 v( L1 P% } j+ M. `- c8 J7 ]1 I
! O4 n, [3 {- H$ d- P第3题,对R^n中任意点集EEE'必为可测集7 V- N; w. M) S- E# R( @ |' x: W
A、错误9 e7 V/ R4 j( }# g. h1 \
B、正确" e0 }9 U( W& V" S$ k3 m1 O9 M" G
正确资料:
' `) g8 j' D" w) f
1 l2 m3 ~ z g6 ~
" M5 t, z7 T) }9 W3 P+ {8 q p第4题,当f在0+∞上一致连续且L可积时则lim{x+∞}fx=0
7 ^7 \1 x) t& ~, V- L8 F, N& GA、错误
+ X! V) E- C0 |/ E6 s$ }+ V1 ?B、正确' V3 o6 G. Y' f9 K) D$ U: y
正确资料:
$ B1 K+ ^7 }. l0 R, U& c1 `
( d" O: b+ W4 m: B. V) j
! {" T- d. \/ g资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,若fn测度收敛于fg连续则gfn也测度收敛于gf
# N) u( c! M' ~# o, zA、错误4 H) L0 z' Q! r# |
B、正确
2 G- e. n! T6 Q0 e, F4 `正确资料:
! s0 b- ?. c: p1 g! ^% U9 M7 i6 T( b
; c& G. H6 B5 \9 E8 j P* Q' a" ]+ d# m% z% ~* V& i4 K
第6题,有界可测函数f在区间[ab]上L可积的充要条件是f在[ab]上几乎处处连续
) h$ X6 T. @; X' YA、错误0 a7 T7 E# L0 ~$ | [- j5 O
B、正确5 F- E; Z+ x/ K" h/ k* P2 @
正确资料:( @0 ?6 j+ W1 q3 v1 g+ s
3 ]$ C" S- o3 Y# Y, P
9 `$ S4 V' p0 ~) r1 w第7题,增函数f在[ab]上几乎处处可微
" j: s: a0 G5 e. T$ FA、错误8 b5 w6 i2 v7 n, k7 w% v- ~
B、正确$ G# G4 w- X3 B7 B; [
正确资料:8 _& F& k$ O/ u' ^. W$ S3 P
0 |( ~3 q5 B+ Q4 i+ e6 M. }: @& ^2 r, U
第8题,若f∈L1[ab]则几乎所有的x属于[ab]均是g的L点) q2 N! p5 K [7 `4 V0 m0 U
A、错误7 p+ n0 i4 ^ w2 p; K5 P
B、正确% g8 F. ~) C+ t9 Q: v
正确资料:
, N# V6 ^. e0 G( f; @
" h1 z) S! o- Z0 D( [. N% \3 Q w) C! C K7 }9 x4 ?; \+ ?1 M
第9题,f可积的必要条件f几乎处处有限且集Xf≠0有sigma有限测度0 c* Q6 P6 W3 `- u' e! C: W1 Y
A、错误3 A/ Y) I: d% N3 w) K4 f. a K7 `
B、正确5 y( j1 z+ L2 l2 @
正确资料:5 A& O' P5 n2 T
- t7 F0 T# \2 ?: B) u; A- k, |
' e7 H6 s( l/ P8 S1 C' i
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,设fRR可测fx+y=fx+fy则fx=ax8 g% u4 L1 R& v% C, |0 ~
A、错误* `8 [7 o. a* z
B、正确
4 u) T' P6 ?5 Q" u1 Y正确资料:- S0 Y$ r% b1 E- I
9 L/ {2 i/ u: y( H0 o
$ u4 m* J1 w, V7 C第11题,f为[ab]上减函数则f'x在[ab]可积且其积分值∫fdx≤fbfa9 l/ u1 Z+ _ K" }. ^1 J
A、错误/ } L, I0 A* v) s2 s- P( }
B、正确$ t1 _2 p* x1 Z- j, H4 G
正确资料:8 ~" [6 R5 j; `* f" c! |/ y& ^
& R" \4 ~9 f$ N
) i6 T S8 y1 J资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,对任意可测集E若f在E上可积则f的积分具有绝对连续性3 H, e6 ~$ j! x3 @& A9 u6 w
A、错误0 t8 g4 r0 \; b( _
B、正确1 D0 P* o' c; ` |
正确资料:9 P0 M" k3 g% {4 V% D
( s6 n6 D$ u/ M# g+ t9 f' S# V( N8 r5 x5 E9 L; m3 A# x* g; y3 o
第13题,若f有界且mX∞则f可测
0 X8 F: B/ ~* F: T2 SA、错误
% s3 d3 y& P" O. w rB、正确$ [9 V5 A: n& U
正确资料:8 P# l6 }1 D! g4 `
- h5 n0 T6 ~* \
0 j) G0 \( U* B8 ~3 m第14题,设f为[ab]上增函数则存在分解f=g+h其中g是上一个连续增函数h是f的跳跃函数
) d1 w& t$ x9 G# w- r/ CA、错误
+ n$ q" I( b' N6 ~8 O' D1 ^8 qB、正确! [- k) ~8 Q4 j( m, I& h
正确资料:: y; x& {( d, X5 d
& g8 r9 r: V4 z
; L n/ p1 s3 |: U* b: [; B \
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,积分的四条基本性质构成整个积分论的基础而其导出性质是基本性质的逻辑推论
5 X. s7 V0 K) p/ b0 K5 ^! x: kA、错误 F- l k7 A* F+ A) B2 T
B、正确
( o8 j w: K1 A正确资料:2 p R- T3 w4 e% \
* n* ~! L4 e) e- L7 S
5 [# Y1 u$ I7 U' E' F
第16题,L积分下Newtonleibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数8 L" u* u8 [! G) u8 e
A、错误
( H c0 n2 {# M7 h6 bB、正确
9 V( a' {! y- o& v- m# d正确资料:4 Z& K C+ H9 Z {( u; D
' d3 F3 O% i2 u. i
+ `7 j3 X6 m @+ x9 C- W第17题,f在[ab]上为增函数则f的导数f'∈L1[ab]
4 C$ S4 D, p- j/ ]A、错误
6 G5 |1 X2 U ~; ~- i4 TB、正确$ X+ S. b/ @+ x2 ~( ` O' L2 H) y- E
正确资料:
* W. E1 R6 ^% X. ~( h8 F" G, z2 a9 R) M' i- ~# [: z7 T
7 L* G, Z& B& }' g* x第18题,fg∈MX则fg∈MX4 q4 N) p. L8 V3 {1 H! m# ]% g1 v O9 ~
A、错误) \& D* D: k/ P4 e
B、正确
( X' X, y; N* R. i; Y7 P3 a正确资料:" S6 v, [4 ]2 k! M& z
9 G5 M, f1 t5 F3 }3 ^, K5 k r
$ B% u/ U/ r1 n' I
第19题,存在某区间[ab]上增函数f使得f'x在[ab]上积分值∫fdxfbfa
0 y' w# m3 u$ i; VA、错误- m+ J, P" j" d5 k6 E
B、正确+ d; O8 ~) D! X' n: [+ U
正确资料:
# O% X+ r0 r% k6 W& t2 `7 J- D9 _/ q# j5 ~; x# ^( i+ }; U
9 G6 P/ `$ J) q+ W- ]* a" x' M/ }资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,若fg∈BV|g|c0则f/g属于BV0 `! ^: t1 O4 ^1 b) m1 H3 Y) U
A、错误7 E- T% r9 w; V" A9 ?5 u. v! J
B、正确
" z3 \5 x3 ?8 x- \, W正确资料:
- n2 W1 Z w0 @4 c$ F: e0 f& b6 L3 s
: I, t0 ~& S7 l5 N- |第21题,若fg∈BV则f+gfgfg均属于BV
' P+ {1 x+ Z3 E2 J1 H7 ?A、错误
" D4 Q* c6 u$ XB、正确9 a& c4 H" _* `/ I* ?
正确资料:9 g0 l) f3 U# U a% }
5 j( H- x! O; d0 u$ s6 ~$ G
, |. \) B5 {+ T4 k' {
第22题,若fg∈BV则f/gg不为0属于BV, g M$ }+ ]2 P) t3 J' O
A、错误3 [, ~) q4 H: q% \! @
B、正确
/ S' N6 h2 V6 A G1 d正确资料:/ d) ?9 |! r6 x* C: y8 B
/ N ]6 A% H2 l w" e* _
/ p/ j& `5 W/ ?第23题,f可积的充要条件是f+和f都可积
$ ~! p! `$ e IA、错误6 r/ H9 Q. b/ r1 j. v: F! }' q$ [
B、正确5 G. c: o$ u' B: b6 g- w( t
正确资料:
5 Y% q1 J0 Z+ F6 ?" V) T
1 Q1 B" t/ }* A( u# H# d- x
$ S# C1 R I' }! z9 g$ J6 q% ` y第24题,若f广义R可积且f不变号则fL可积
/ U" a* |, ^0 LA、错误
( b; }8 ~. Y- z2 \/ MB、正确
. ^9 U9 q: r- O) l4 y2 w* t正确资料:
. e$ R4 U4 Q& z8 w; C
) h. B2 n" U7 s
* M `6 D u; x资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,f∈BV则f几乎处处可微且f'∈L1[ab]
' C6 f3 j& p. ZA、错误
/ i4 P- F* Q6 T' @B、正确$ ?: d7 R# E; z* c1 m
正确资料:, W5 L/ y$ L1 t& b1 N
4 F7 c5 t1 Z" \/ p" F9 B( A
/ ^0 I3 o4 g# ~# C
第26题,测度收敛的L可积函数列其极限函数L可积. d' M( P7 J: S4 b: S, d
A、错误/ l) o7 j5 S5 N6 O+ u
B、正确
( ^- n! w: y1 K" |6 ^" x正确资料:5 A0 V j$ \5 E" B3 f
- g3 o+ O9 b+ m
" @' X, E8 L) ^& W: C9 `) B9 n第27题,若f∈BV则f有界. \$ d* u6 F/ Q. g) T2 Q3 f& w
A、错误5 N6 R" K$ Q( z2 ?
B、正确
) |0 T4 L3 D* z0 }! K& x正确资料:
8 w0 D% I9 |" Y
" ]3 f, M k1 F! I- `: ]! y9 r6 y j. b/ C
第28题,若A交B等于空集则A可测时必B可测: v" j6 b* V. t8 L7 ^- E7 U
A、错误: e% s. n' r- g/ ^2 ~
B、正确
/ _" S4 S1 m& t6 e6 T正确资料:& U- ]" w4 {1 R% }( }
4 P# [- }+ M: B" }! v
* e* O$ {- T9 |' x' l4 a第29题,一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数
6 r6 ~ x" I, c- U% k9 j# K/ [A、错误
( d8 O9 G5 p( kB、正确' ]# ]: a0 K$ S, m
正确资料:
! X m* f2 L" j& F- I4 ?
, ^6 X8 ]4 P! H% q* k! W2 s& s& l& V% N2 n; O
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,利用有界变差函数可表示为两个增函数之差可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数几乎处处可微而且导函数可积
( b- P1 w& N3 vA、错误) j- e' ?8 T9 t
B、正确
0 Y( I, A) M9 `5 ]" w D- H a正确资料:
1 z% o1 n4 t) Y1 N" a& Z/ p$ u5 v( C4 }
" h/ e' Q% a0 S
第31题,集合A可测等价于该集合的特征函数XA可测 X* N3 e4 ~, e$ i; i) n
A、错误$ }; N! A T/ x! w% O9 ]3 q& [/ ?
B、正确& z6 Q4 P1 Z! ^* }
正确资料:
% B; w3 ?5 Y4 a
7 h2 ~' f4 `/ A( r; U8 l9 d9 {* b* m; q% R- M4 Y% }
第32题,f可积的充要条件|f|可积
' c1 Z9 s t* y6 b6 w6 uA、错误3 v! V: Q# a. v6 l# e1 Q' T
B、正确
: G6 B' ^# H( b# z( o& E正确资料:: I. U6 r6 U2 `; F! g' b
- S% l+ ]) w; a" f l R y4 C, U F
/ B2 T5 G6 u' L! \2 _- c2 `第33题,若f∈AC则f是连续的有界变差函数即f∈C∩BV5 D# l7 a7 I/ T: O. K# E9 I# D3 d
A、错误
7 C3 Z6 p4 Q5 LB、正确
$ w& N) Q) U: V0 @) K( o7 g正确资料:% Y8 b6 B$ ~. l. D! C" }+ `
1 v7 d8 [; S% C3 I
, Y6 B- E: c# ^4 Q* c8 G0 Q第34题,三大积分收敛定理是积分论的中心结果$ q& [! q J L" A7 f
A、错误
. o- F& t: M* ^8 v7 r# C! EB、正确
$ d9 U/ o, t! U% c正确资料:: x# ]8 R; V% m
- E9 w$ e }, f9 f
# U) B( T# S4 h6 b0 \' V! R* d" v& B( n) _第35题,L积分比R积分更广泛且具有优越性 Y# k; Q0 @$ D' b( f9 }
A、错误
4 S7 x# t* C% ^# D. [4 DB、正确& u% [9 R( ?+ u( y5 q! p5 `9 y. J
正确资料:3 g; }4 M% R5 B1 K
6 J5 D4 ]2 R% E1 w; J) `* z, g
$ g8 S2 C+ D3 D( D7 S, }第36题,若f有界变差且g满足Lip条件则复合函数gfx也是有界变差
; P5 S n$ q5 e' N, FA、错误
3 n! g' w; F4 s2 o. X" b1 A! h" LB、正确
$ A- ^% A' d: o% X1 O5 t正确资料:
0 r. u! d# V& `& P
+ Q' k W$ c, q' q' U5 v& ^$ L2 \. j* Z; Z
第37题,若fg∈AC则|f|f+ff+gfgf/gg不为0f∧gf∨g均属于AC8 g& z& Q- V/ `, W S& x
A、错误1 [& _; h! b1 j+ K A, J/ ?9 z
B、正确
% O' S# O( S9 B$ V2 F, w正确资料:' ]6 h5 e c1 t0 r* Q I" G
9 {7 i8 R9 ?5 ?1 \/ h
* H! d7 ^6 s- d5 q) K5 C+ J第38题,有限个可数集的乘积集是
* x7 X3 H! E8 J4 [A、有限集* j8 K/ @/ C: v; o. A: l8 l
B、可数集
, X1 P% @ p4 j" ~" HC、有连续统势的集
; x2 {$ J( Z, qD、基数为2^c的集% h8 E+ l. C: l; a' R1 m
正确资料:
4 V1 E8 n7 b8 C+ ]- z% L E( B/ O
) O* w' S/ b' u3 T3 ^+ K' w6 i. E( i; `- U7 d/ K( w" z% T
第39题,下列关系式中不成立的是
6 ?0 {1 V' s! u) s% r/ L6 f/ o# u9 ~A、f(∪Ai)=∪f(Ai)
) O$ C3 o' r' p% c/ `B、f∩(Ai)=f(∩Ai)
4 P1 s2 c) ]! m5 ?3 A, m5 q, bC、(A∩B)0=A0∩B0* d) N$ j; ?, }) O+ O6 V
D、(∪Ai)c=∩(Aic)% p$ |4 j. n# M: i- r
正确资料:" t2 ^. l. G! w# ^+ H$ ]5 @; I
; D0 R. P/ d- G( c* [
, i4 W* M( b3 C8 t. m第40题,开集减去闭集其差集是0 i$ |' i8 h, K R# Z6 c6 v
A、闭集
K P: X' s$ O5 QB、开集0 |4 Q8 ?4 P/ k1 d! W
C、非开非闭集' |9 z' S' H- R3 n3 D. D) C) _" g" ~
D、既开既闭集
$ w; r4 O& o4 v6 b1 r正确资料:5 e) U, E$ T' \; @8 P# m
, z0 K3 Q( W! Q: ^' \5 K$ x1 F- u, q7 }6 j1 ~/ ~1 M/ i
第41题,在条件下E上的任何广义实函数fx都可测: q8 s# }0 M% i2 H( v4 b; x
A、mE=00 L4 k( s9 ~! e C- _0 _
B、0mE+∞
$ W* @1 h5 `4 r" X7 dC、mE=+∞
d: u3 ^2 w5 n. K5 A5 r, qD、0=mE=+∞1 F3 G2 d5 r& G4 A9 L5 K7 Z
正确资料:9 e0 Q; @& B+ c6 N8 S) x T
& [# j7 n, s, U( \% t( K) a: k3 ~0 @( g" n5 i+ J# I0 R9 _
第42题,设gx是[01]上的有界变差函数则fx=sinxV0xg是[01]上的" n. S6 T& v: u/ }- h! d1 D# ?$ a( t1 R
A、连续函数
% l5 |% |' d7 \( e5 k2 A5 s) N+ }B、单调函数0 k* u& B: ^7 I1 g z
C、有界变差函数
5 I3 Q; d# w" S' X6 \* l, W& Y+ KD、绝对连续函数
) w) i8 Y9 r6 a正确资料:
" Z# n+ Y! G& {; {, x
; \" i$ ^6 e# W, T8 J1 @6 D
$ L& d: @5 `! P: {第43题,设E为R^n中的一个不可测集则其特征函数是9 O9 \/ O! y" G; D
A、是L可测函数
' g- ?" k$ ]( b) Q1 ~B、不是L可测函数5 r2 |* G6 F! a+ g( v
C、有界函数
2 M. c0 q: Q6 X; kD、连续函数
4 A3 ]& @% T1 S3 Y8 K正确资料:,C: p/ |0 g) w- F5 _
9 X) ~3 q* h, P( b* N* v& N# N
+ H z. H4 X" P9 B
第44题,若fx为Lebesgue可积函数则
( s' C0 v3 |0 K6 Z+ }A、f可测0 H2 l" V; X0 f* p+ E1 t7 B, |) M) d
B、|f|可积9 O' Q5 r8 A) e4 I2 v8 x
C、f^2可积3 H) x$ S- h6 V
D、|f|∞.a.e.% {3 Q7 P" m D8 j2 ^. z
正确资料:,B,C2 R2 ^8 [. D6 z7 S
7 b9 b3 M. N9 B* t' |% ^
) n3 z, r2 y6 X$ {9 d
第45题,AB是两个集合则下列正确的是
7 J" ^7 \1 c( B/ h; S8 U5 WA、f^-1(f（A）)=A& ^& {7 Z% S7 z: R% a
B、f^-1(f（A）)包含A. b# ?- j) A/ v
C、f(f^-1（A）)=A) x9 ~( d% u9 b
D、f(A\B)包含f(A)\f(B)2 ~1 o, \9 Z0 V: ]
正确资料:,C,D4 v1 L* Q( C7 r7 j' }
6 B. C/ D& k" \+ |
& C' V; }( P2 K9 N, p: ^2 B6 p/ x第46题,若A和B都是R中开集且A是B的真子集则% _/ L* k, h: q) x! j `2 {8 j
A、m(A)m(B)% n1 Y+ }5 G7 z. C: ^
B、m(A)=m(B)
6 t, U+ b, s/ `3 g# aC、m(B\A)=m(A)
' t8 x) c& z9 \/ {/ o& L7 ^D、m(B)=m(A)+m(B\A)
* P. Z5 G3 N" \正确资料: X1 f- j& i) s: w5 a5 R
& j) P2 Y8 g( c g# ~9 h8 f, U! N+ v
第47题,设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g则7 ?. L! q% b0 c3 U; Z& R
A、fn测度收敛于|f|& \/ o1 ]; U& f7 d/ U
B、afn+bgn测度收敛于af+bg& ?& i$ @7 f. ^. |7 Q1 Q, i" f
C、(fn)^2测度收敛于f^2
' |3 r" r3 K% O, Y3 W( q# uD、fngn测度收敛于fg1 o4 Z0 h% d" b! [% s) g; l# O6 S
正确资料:,B
}$ E0 l2 u; z& b2 i
2 S7 Y7 V$ R; d, f
* |) _$ m! g4 R7 @ b* o第48题,设E1E2是R^n中测度有限的可测集则, A+ n) ]$ i6 X' }2 Q
A、m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
! l0 n- `+ F* @/ b# e/ A$ P) l! Z; N8 }B、若E1包含于E2,mE1=mE2
) Q% Q& J" e3 E* {& L3 Z, M FC、若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE12 A6 o; U7 C+ C4 |7 ~( z
正确资料:,B,C+ G; l; j6 `0 H8 q! W* u9 @
- V7 I- x9 G! H& Q$ M( Q: g7 V4 k0 ]3 H
第49题,在R上定义f当x为有理数时fx=1当x为无理数时fx=0则& ?, s# t, X% z
A、f在R上处处不连续
0 e3 q. \4 w9 |B、f在R上为可测函数
" C# k$ Q; |3 u. L! q& X0 YC、f几乎处处连续
) p2 i' a; F" c0 OD、f不是可测函数% _2 v& w' B- `. Y$ z9 p% N: A
正确资料:,B) H' {8 |4 X. b4 }4 o7 t
" b2 h1 X j2 A) S8 z, _: _4 E# {/ ~3 S
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,若f∈BV[ab]则* ]2 r6 g7 K' S2 i5 I% Y% N6 R
A、f为有界函数
, j T- N3 R0 J$ ]( O2 _0 bB、Vax(f)为增函数
" h3 J2 s# o, p" D3 A% j7 f! CC、对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
* X1 M# \, v6 `6 \5 cD、f至多有可数个第一类间断点
$ v3 m$ Z" c* k8 c- e& V正确资料:,B,C,D9 k5 ?+ K. \- D* s, _; P
5 x" X- L; T* e% d0 a+ w9 [2 T: ` ]2 ?* J" R8 y5 V v$ `7 B* Y! m1 D
( e: A1 i; x0 C$ w u8 B4 r
. A. r; q! U* e- F' Y6 M, p; t
5 v. f9 U( `6 }) a
; p6 r* l) o$ }9 ], q6 f
( B4 b9 f9 ~/ ^8 `
) H; R( A+ }! i1 U, u' E" a( p8 D8 \9 Y
- r% \' i* V6 h: a
- l* z: C d+ t; x; N: B, S' [1 l" V& u9 P. v8 |0 k
; @4 r# ~7 n6 |& V* I7 Q0 N, @& F/ d
' z1 f* ]* A# T3 V% D& d @
|
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发表于 2021-10-16 15:31:50
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