22春西南大学[0158]《高等代数》课程作业资料

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1、在矩阵运算中，任何两个矩阵都可以进行加法运算。
8 W  D6 ^5 @$ `0 M3 r; f. A.√
" k8 s: y' g1 i. b9 e! w: X. B.×??
4 S: j" C0 b( @

9 t4 H' q/ q2 y' h- y
2、A,B为两个n阶矩阵，则A+B的行列式等于A的行列式与B的行列式之和。
. A.√
. B.×??


, E5 [( t. ~8 i2 x9 a
3、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。
5 W3 m, Q2 y2 C5 t& E5 ?. A.√??
  c' g2 T- F* o# F. B.×
6 ]- Y, U7 n0 }1 c

! a$ R7 A: A( D; Q- t: H2 ]
4、设A是矩阵，A的秩等于3，则A的列向量一定线性相关。
7 g8 r7 C+ U- J; q! ]. B2 O% H; \' R. A.√??
" T( F% z' H5 W. B.×
3 L; _5 N5 k/ e0 j5 Q) X
, m$ L9 @; d& r: `' V
3 Y( S! v$ I1 ~' n" z# H% e, n
2 X9 r6 {7 z8 Y; @& o: a0 x& @5、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。
- [6 }8 b5 `: G2 R. A.√??
. B.×
  w3 e0 ~5 l9 @$ A) v
3 Q! t8 t( y  V" A
. t8 F4 X. q5 e4 W4 Y
6、设A是n阶矩阵，如果A可经过初等行变换变成单位矩阵，那么A是可逆的。
. A.√??
. B.×
, Q) D1 i) N) q; A
# }4 P# j5 |3 F) J5 q' P! O
0 g0 k- }4 f3 O1 a$ c3 [5 M
7、在一个n阶行列式中，若有某两行的元素相同，则行列式的值等于零。
. A.√??
( H! L- h# ?) m. p) @! l9 Q. B.×


/ H6 Y' V% }3 h( l" k% C
5 i" E. R7 `  E9 Z; x/ G8、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。
& [. I; s0 m8 T2 J" o. A.√??
. B.×

5 Q' j7 ~/ ?4 d! [  u8 V- d

9、设A是5阶矩阵，A的秩等于3，则A的4阶子式全为零。
. A.√??
. B.×


( ^& ]* i- d/ O( `# w* R) Z! ]% ]
5 k% q& {8 N6 K' n/ `# z10、矩阵
. A.√
4 N3 n& X' L$ d. s. T5 X. B.×??
, K; U) ^4 }) O1 ]* c- [( r

# s" }6 U; w; ?; Y" {) P3 V) C
% q* D: e1 v8 m1 o7 p! b! i/ T11、在一个n阶行列式中，若有某两行的元成比例，则行列式的值为零。
. A.√??
; R! @# ^: p0 ?1 Y. B.×


! j; x# R" D, f6 g7 b
12、一个n阶矩阵如果能与一个对角矩阵相似，那么它一定有n个互不相同的特征值。
: F$ }3 o# Y; T9 g4 s. A.√
. B.×??

, u- e2 k1 t0 l6 W* O9 E7 v
4 r# E* U4 b5 M; M* ^& W% t: e
% o9 h5 E; ]$ I5 X2 m13、在欧氏空间中，两个单位向量的和向量一定不是单位向量。
3 i$ I9 R- _6 w3 V' j( v) v  m+ V. A.√
. B.×??

5 w5 E/ u" I+ K! z' @

14、设V是n维线性空间，W是V的m维子空间，是V的基，则是W的基。
/ e7 ?& M. T9 V& ]  o2 Z9 [% n- C  u. A.√
/ b4 ]7 \7 i4 R8 h. B.×??


1 L2 c' i4 Y- V' d! W5 b- m
9 G9 M# l- V! _3 y+ L15、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。
. A.√??
. B.×
4 t- H) i1 J) y9 `' C


16、设A，B为n阶矩阵，r(A)表示A的秩，则r(AB)=r(A)r(B)。
9 S' o6 R7 n7 {. A.√
0 h7 w2 i, b! {: s. B.×??

8 b  c3 j7 o: L9 K, G1 @/ f# m
+ S0 ~6 {/ E% d( @( ]1 W
) q* m* R; V- v% ~' `  ]/ _17、根据Eisenstein判别法，多项式在实数域R上是不可约的。
. A.√
/ W. S) u+ h0 p  w( F, w, I& T( t. B.×??
+ D" e" _# v" y- d3 D
3 c3 e$ ]0 B! i, \
9 D# g& X4 ?0 w  g
18、根据整除的定义可知，零多项式只能整除零多项式。
. A.√??
. B.×



19、一个非齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的解向量。
. A.√
! p+ p$ ^, e5 `2 \4 p1 I. B.×??
# |6 E: d6 \: h* J; N
6 i  G+ o6 y9 {% f" W
. t' o" q& z0 m: J% [4 Z% N, G
- L+ }7 G: f3 i/ c20、设是线性空间V的两个子空间，若。
9 n. {$ G) l% f3 A5 c& g  s7 s. A.√
, m! ~9 l! b  Y1 U. B.×??



: W% k  [& u8 r  {( t21、设W是线性空间V的子空间，。
& N. P6 j2 l9 x. A.√??
4 y" U9 m- F3 }. B.×

/ }- _* I: e( Y' G6 I) v$ ?) u
/ w, \# z/ |4 j& s  I/ O/ S
2 C! A/ J$ o. N1 e22、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。
. A.√
. B.×??
/ r& C4 C9 J7 J) d2 s# c) Q

' i+ M9 q8 T8 h8 U. \) ~' m
23、在一个n阶矩阵中，若它的行向量线性相关，则它的列向量也线性相关。
# m7 k( F' y; }0 u( r. A.√??
4 R* \1 H% ]+ J) O% f) R/ u. B.×

- z8 |( m; X9 e" l4 l  w8 D' I
) n) O- h7 w7 L, l$ p
; g& N$ L: G: O, W0 k8 C4 l24、在一个5维线性空间中，两个2维子空间的和空间一定是4维的。
, d" L! K2 i; V) d( g. A.√
+ J& u/ T3 B. M% V  I. B.×??
/ Z( B. j0 k+ |3 f  u

+ z6 J/ v8 ?; ]0 Z1 E
3 ]5 `9 y" W0 l( I9 Y: t; C* @25、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。
+ }: \, \; r3 b& w. A.√??
" z3 c) z# L, P+ F0 r: A4 h7 p. B.×
# n: a" W) W( S5 c9 Z  B- w5 M0 v
; i8 L' G  E; u& Y- a
& }9 ^" [7 y3 {3 _; @# T' U
26、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。
. A.√
, G- u7 o! o- J; B) T% M. B.×??

0 |2 C) a7 j6 v/ |) s" t: v
$ S. U" G: u# G
) v; g, {1 p% ]27、若2为n阶矩阵A的特征值，3为n阶矩阵B的特征值，则5为矩阵A+B的特征值。
. A.√
. B.×??
: m3 [; }9 N' d+ l
9 j9 M5 L" q1 U! |+ I

+ F3 q3 f1 O3 v2 n1 P28、在欧氏空间中，正交变换把正交的向量变成正交的向量。
* m+ o- c, o7 _3 w: n# D" _1 C- U8 y8 L. A.√??
. B.×
4 M) U9 h) Y; C' X

0 c, K( A/ [( @  }! R/ F
29、若向量组线性相关，则
$ v& x5 a: Y2 ~  \% z  \6 |. A.√
) B/ {  x* ^) i3 _: n  \. B.×??



30、设为一个向量组，由于，所以线性无关。
. A.√
+ M( L# j6 N  L5 |- P. B.×??



31、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。
+ i  B* C1 Y7 S8 p9 @. q; v. A.√
& l9 ?3 f! E" s0 l0 _/ G. B.×??



32、设A是线性空间V的线性变换，若有非零向量，则A不可逆。
. A.√??
. B.×



2 y/ q$ _$ W* i33、由代数基本定理可知实数域上n次多项式一定有n个实根。
% ?) `7 D! F- Y. A.√
+ F: v# @3 U- j+ e3 B! s0 |8 F2 w. B.×??



. W: |2 a( V: ]/ G! |; t2 W) R! U34、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。
/ Y5 [( K$ E# n7 @. K# j( g. A.√??
. B.×
, ^- `. }* X2 p7 m6 d. G8 B


" `( @5 Z& P0 ]' `2 A% M3 i+ U35、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。
4 z( F" m' e/ J. A.√
5 R0 k) x( E+ ]. B.×??
# Z0 ?4 j8 Z9 x! w
3 j. N& r/ B/ G) Q
; {) q$ n+ }! s) O) B
36、两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等。
. A.√
. B.×??
" X8 t5 N8 d" g: L; ~8 R) o5 v
- P8 r& B; w$ v4 x2 C8 P
/ E: t. Q2 E2 F2 m4 i+ e2 ?
37、在线性空间中，如果一个线性变换把子空间变成子空间，则它一定是可逆线性变换。
- d8 T+ Z% D7 x7 J$ j* b' d0 }  A. A.√
. B.×??



38、设，若f(x)与g(x)互素，则(f(x),g(x))=1。
! d) B; i* \1 h( ~' }( I9 H. A.√??
" f; Q! L- W0 \; p5 F- f% B. B.×

$ ^! e1 `1 C: q% M; S
& ?7 e" M' d# W, S  e6 k# \# X4 {
! Z" t" [1 I* j( ]- d0 j39、设为一个向量组，若，则线性相关。
. A.√??
4 V" l1 t9 t- |: Y8 J" d. B.×

  s% K! \. z# L& D6 |8 f
+ w( l: N0 F' P7 |$ ~+ R
40、一个3维线性空间只有4个不同的子空间，它们的维数分别为0，1，2，3。
9 F' w" K( I  ~4 i4 ?. A.√
. B.×??
+ M* f1 Q2 x1 M! B
# g1 D) d7 `5 n9 g
! p8 p( {6 S* c" }* {" Q: I
41、在线性空间V中，若向量线性无关，线性无关，则也线性无关。
3 E3 D" v) T( F' W4 O! @) w
8 T; Y# |+ W% o" z( J) h  p( @. A.√
. B.×??



0 z3 A5 `% T' g9 l. ^42、若A，B为n阶对角形矩阵，则AB=BA。
! M+ c+ k$ m6 O' I. A.√??
  S2 d* a4 F4 o# `. B.×


. E: ~) m) h6 A主观题
+ f  Z9 @3 n4 M9 Z: f9 R6 H43、四级排列4321的逆序数是?? ? ? ? ?。
参考资料：
' J, L! ?( y: r+ \6
* l4 m! g7 ^' z( k4 L6 Q

2 j( j% h/ X( I, S1 }* B" m
  q* }& ]8 K2 x# p3 k4 D! I44、设A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|=?? ? ? ??。
参考资料：
54
( @: Y/ s2 h' }& ~

% [, U) i; I( q% y6 E" A) m
6 O% e0 y! ?0 [4 E! b& b45、若是正定二次型，则d满足的条件是?? ? ? ? ??。
* b8 H1 n! F# {参考资料：
& G- p9 |* h7 j6 z. j

4 m) I( E7 }5 l% q+ G$ g# O/ n

2 H: r) {0 A& X* @46、设3阶矩阵A的特征值为1，2，b，若A不可逆，则b=?? ? ? ? ? ? ?。
2 \' [8 J) x1 y# S" H参考资料：
0
# K. D2 E' T; [3 S7 H
5 b4 c" _! z4 A
$ S8 e$ c4 M! L+ |
; g' F0 w. s& N0 o- M. c47、在向量组中，，则的秩等于?? ? ? ? ? ?。
参考资料：
2


/ C( `, w8 t- P* y8 n6 n, ^
48、设A是n阶矩阵，|A|=5，将A的第一行的3倍加到第二行得矩阵B，则|B|=?? ? ? ? ?。
参考资料：
, b3 _! p( D& Y, ?! L5
% q; q2 D+ s6 j8 W& }
: k' Z! h3 C4 d( Z* q0 g
; }. e: o1 x* F  }2 r
$ w! r# l9 p! H9 x( F* u3 E  l49、在1，2，3，4构成的所有四级排列中，有?? ? ? ? ?个偶排列。
参考资料：
4 k- h" @, A6 R; X5 S12


% w* c: i5 \4 N( x3 V
7 _2 `( s- h$ D- j: P4 F: f50、设A是矩阵，B是矩阵，若AB可逆，则m，n的关系是?? ? ? ? ?。
4 p+ D3 M6 D! U# T  m% n参考资料：
- P$ X: h; ~+ ]# L4 }) Y

9 d1 s* {/ j9 b( M! s/ s  j* }
, P* h8 R9 h7 ~3 J9 M
6 Y/ o9 g4 f0 ]51、设，则f(x)的所有系数的和等于?? ? ? ??。
4 E: g# X0 F8 o6 j参考资料：
/ Q2 T& \# @5 j9 \( U1 y$ {3



52、若，则c=?? ? ? ? ? ? ? ??。
" x3 g# e8 X. Q, I参考资料：
-1

8 s* D* ^% S3 M2 q" u

53、设A,B为3阶矩阵，A是可逆的，B的秩等于2，则AB的秩等于?? ? ? ? ??。
参考资料：
2



. N: u+ ?7 [, L) L, ^54、在3维线性空间中，向量(2,0,-1)的负向量是?? ? ? ? ??。
1 m; `, B" a# x* ~/ N5 j参考资料：
0 h' W4 I) V: U8 {- E' ~2 A: q( h3 O(-2,0,1)

- ]  G! N( [' B! U4 o7 P8 o
+ H6 Z0 q( W; q$ ?' U& M
4 X8 R3 h: ~2 P' a5 ~2 m55、设，求g(x)除f(x)的商式和余式。
: R& Z3 s6 S; v
4 K; |' h- e/ D7 y4 _4 Z: j7 V- |' _参考资料：
% Q) h- ]# B7 o) S' L7 E# B解：做综合除法：
　　　　　　1   -6   3   16
      3      3   -9   -18
" k- N( G  o+ Y; m) w" H　　　　　1   -3   -6   -2
' F6 w2 W0 T$ O. L! \5 L! [, Y所以g(x)除f(x)的商式为：，余式为：-2。……15分
/ `7 l6 G8 D0 ]5 ?3 s% d% M

! A9 y" R) e) I- ^1 k4 I# x( s

& ^( m; [9 G  |$ E

8 I, N  V% Q* y! A- v+ W56、设，为A的一个特征向量，求a的值。

参考资料：
0 G$ F) {& ~' h! T, S) m解：设是A的属于特征值的特征向量，则，……6分
于是
，……10分
8 q) L8 K. T6 E. b' q所以，解得，所以a = 3。……15分


0 V1 _3 u% F: _7 b
- W5 E2 T5 v4 W6 Y6 ~4 {6 v0 P

+ B0 E" ~+ e4 B; v! q. D57、设(1,1,1,1)是下面的线性方程组的一个解：，求a，b，c的值。

参考资料：
解：由(1,1,1,1)是方程组的一个解得：
  M1 m2 i4 F1 i，…………8分
1 Y3 ]1 H) q" U* i, F所以a = 0，b = 3，c = -2。…………15分
4 H5 J8 y4 j3 t2 a- ~! U. `( C0 G


3 S' }/ u7 c0 S$ I8 u
+ f8 f0 v5 C. G% h" E2 i) ~- T# V
1 Z$ L/ {; s: J! g58、设，2阶矩阵X满足，求X。

参考资料：
, r. W# b5 n' e解：因为，而，所以是可逆的。……5分
又，于是
。……10分
由于，所以
2 b% ~6 O) |9 n=。……15分
59、设是齐次线性方程组AX = 0的两个解向量，证明也是AX = 0的解向量。

参考资料：
: X. @/ d- X# z0 t证明：由已知条件有，……3分
  t4 M( U+ t4 m+ r所以
' r" e$ a; E! P% x，……7分
所以是AX = 0的解向量。…………8分
) e& T1 L: f& X3 }, Q% z
8 J, p4 R4 V) Z  }  f4 e9 f

/ }: ?6 e( V/ D% ~3 [
4 r6 c: H$ ?: h+ V0 l6 k; l

60、设A是线性空间V的线性变换，，证明：若线性无关，则线性无关。
证明：设，则
，……4分
由于线性无关，所以，
) w* m  R! z; P0 y5 ^8 X$ F所以线性无关。…………8分

$ E5 [$ b9 o% E9 j/ ~3 e2 A8 ^8 T
1 Z' Y, w# g% y6 |8 y& y



/ s# {/ u2 S2 {9 k# r5 {; A