22春西南大学[0158]《高等代数》课程作业资料

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1、在矩阵运算中，任何两个矩阵都可以进行加法运算。
4 F- O( S6 X0 K$ p6 f  c" p. A.√
# o! |! V- R. Q( x. B.×??


* M8 q3 m( v& ^0 P! _# c' \
2、A,B为两个n阶矩阵，则A+B的行列式等于A的行列式与B的行列式之和。
. A.√
. B.×??


( `$ E& X3 T+ k6 C( P/ f
3、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。
. A.√??
. B.×



4、设A是矩阵，A的秩等于3，则A的列向量一定线性相关。
. A.√??
. B.×



5、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。
. A.√??
. B.×

9 y8 ?: P' [7 K% p; ?5 {, Q4 U" l
  _0 y& E  F* h! l  b( _
# v* [( K8 T) K# `' ^5 E6、设A是n阶矩阵，如果A可经过初等行变换变成单位矩阵，那么A是可逆的。
. A.√??
. B.×
8 S+ o; d" u3 F' a3 I

+ L3 O* O' F; z% j0 p9 I9 b0 c: L
4 Q1 }" W' R7 w* S% d7、在一个n阶行列式中，若有某两行的元素相同，则行列式的值等于零。
3 p2 m4 y7 D% e. A.√??
  Q5 [( w3 j! N* |  [2 b8 r3 S. B.×

# o* y9 _' t4 H# B, Y1 c+ c
% e' E( W/ q. ?; K* @
- N: k9 n; |0 T# H- w6 o8、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。
$ x. h& t* l! ^, k+ K. A.√??
. B.×


8 @8 R+ Z5 m) o  H+ [- _; V) |: g8 j
9、设A是5阶矩阵，A的秩等于3，则A的4阶子式全为零。
. A.√??
2 c6 }6 E) ?" z( c- R. B.×
4 R: _1 B* e. K7 @. m# A
- N) E! g: w5 N5 H
+ B5 m* [& W' `8 t
10、矩阵
8 H# ]9 ?3 V/ c3 q9 \, q) W. A.√
. B.×??



9 C) ?1 ^3 B, C" N4 C( o: E11、在一个n阶行列式中，若有某两行的元成比例，则行列式的值为零。
7 k$ S/ R* y4 _! L: j. A.√??
. B.×
1 c( D1 p* o) k5 D
0 [8 [4 s+ B8 {( _1 l

5 {3 f* w1 |/ h3 @12、一个n阶矩阵如果能与一个对角矩阵相似，那么它一定有n个互不相同的特征值。
. A.√
! b; V: K7 W8 A; @% Q: Y: K- u. B.×??
; Y- q+ P; W1 K5 c) D6 z

: }4 V7 g! O& O2 D$ W7 ~8 s# ^
. u' [  p0 F! X8 O0 W& S* K3 T7 P13、在欧氏空间中，两个单位向量的和向量一定不是单位向量。
. A.√
. B.×??


' V6 k6 M- t& m
* b' n0 \) O! ^9 A* E( F% E14、设V是n维线性空间，W是V的m维子空间，是V的基，则是W的基。
. A.√
. B.×??
7 x& ?1 P8 }7 a7 g' c
! S7 i# b8 D9 M5 R

7 o6 S7 d) _6 Z" s3 p% T15、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。
/ p/ O9 U& u. F( H8 }. A.√??
5 j6 e1 L1 q7 f4 G' L, Q8 c" f. B.×
7 U, M. r3 G9 L/ K/ r5 P


# R! @6 ~7 j6 A1 Y16、设A，B为n阶矩阵，r(A)表示A的秩，则r(AB)=r(A)r(B)。
1 K* w! K. a% G. A.√
; p1 _" S) o+ U" }. B.×??

! \, v. j- l* ~) r" a* n9 K6 ^# ~2 j
, V  q. p8 q  `- [; v* P" Y# j  o
# x# {5 N# _- e8 e  O. I, R17、根据Eisenstein判别法，多项式在实数域R上是不可约的。
. A.√
" a5 w& a4 s7 W( z, \5 W, U* j. B.×??
' H/ M1 b; g0 n5 c7 U


18、根据整除的定义可知，零多项式只能整除零多项式。
" W0 ?; V6 E. E6 `) o. A.√??
; \6 X1 J3 i& C6 t7 K& X. B.×

$ y9 H; Y, D5 b7 B

; h4 e; e3 h% T3 }: v# j# f, A19、一个非齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的解向量。
8 k. ^4 b* d/ A7 Z: g4 ]* v. A.√
$ t' n# q: K9 h$ v! [& K9 t. B.×??



4 Y( `" `5 H4 ^7 `" L6 b20、设是线性空间V的两个子空间，若。
. A.√
( S. B. I2 W3 R. B.×??
0 D7 x2 h4 E2 j


8 `; l. A; E2 R+ d; h2 B; o9 W' ]21、设W是线性空间V的子空间，。
. A.√??
. B.×
  ~1 Y% m- n! x) U4 p

. d+ ?, T4 {. X6 `+ ?! r( Q1 C
22、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。
* \* u& }% @9 ?( I. A.√
5 z/ l; ^( j6 X9 D/ d/ l. B.×??

4 L$ t  k* ]; A4 V1 H! ^
3 s3 B4 i9 ]: D, A* u
% p9 ?9 ~9 |8 ~23、在一个n阶矩阵中，若它的行向量线性相关，则它的列向量也线性相关。
: _$ C% i9 N, z% H. A.√??
. B.×
" p$ I1 G8 y% P" k5 o. ^  X/ f
2 {& M- h1 S! s2 S9 l

  R; W+ y( b" M7 d4 f: X: s24、在一个5维线性空间中，两个2维子空间的和空间一定是4维的。
. A.√
. B.×??


7 |! b+ @6 H! K, x# a7 U! o) t
) j. L; C: q: I# M* ?25、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。
; U/ Q9 W2 S' ~1 A0 `# B1 L0 X) s. A.√??
7 w% {; e' T# w% ^1 Z4 ]7 j. B.×
" N/ l+ W4 C: q8 d1 _
* |0 o1 B% i0 m2 q! z

2 _& {- c( q) E+ U( ], m26、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。
# @4 {3 C3 U% C& i. A.√
) C1 x+ [2 B' z4 W0 T. B.×??
& l- k" Z6 a/ n- P$ H) M

/ v0 W( G& Q* a5 b9 J
27、若2为n阶矩阵A的特征值，3为n阶矩阵B的特征值，则5为矩阵A+B的特征值。
. A.√
; a' }8 [  g: x# x- |. B.×??

, S4 s. C8 S$ S* }# \2 k
8 H$ v* ]( m) m, C9 o+ S
28、在欧氏空间中，正交变换把正交的向量变成正交的向量。
) }4 u* N. e( u. A.√??
. B.×

# Z0 G% y( }( K

29、若向量组线性相关，则
. A.√
7 B+ u$ D9 ~* p. F. B.×??
9 G9 b% l" ?' @; J5 {' N

9 i/ v5 w' U1 f/ I
0 z; X8 i# h) m  L0 l! |  y30、设为一个向量组，由于，所以线性无关。
. A.√
. B.×??
# I) M8 o( W- ~- n2 J& @; ~9 p5 \! i/ j

5 I5 q3 Y4 ]. u( z4 ?4 p0 u0 e
1 P) v/ k# E8 I; `9 ~. z31、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。
- m7 b- j1 l/ b. A.√
! y5 E% [$ b' T; l) e. B.×??
* S3 b+ v% A9 k+ _& V3 o% O, ^
# c* D; G3 R3 q! q  a" W
. V) _6 |. N1 F
6 T* U) {# B( f5 b" G32、设A是线性空间V的线性变换，若有非零向量，则A不可逆。
  T+ r$ O$ ^" i6 _  y- k$ ]. A.√??
. B.×
; V+ \' E0 s5 v8 X6 O3 d
( N: {, k$ n  ?6 b$ x# X) {

33、由代数基本定理可知实数域上n次多项式一定有n个实根。
8 N% o! @  f$ l  F7 X8 ~6 c. A.√
7 y& `3 t, @0 o$ [. o5 c9 Z. B.×??
7 S3 f6 f  [" b& Z3 l+ C$ ?5 e


+ O$ f/ d! X& `" B( w; u34、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。
/ Y* E& @1 H, x: f; g+ b) n. A.√??
" c  r0 \$ ~* H! m/ ]) v. B.×
1 F1 ^3 C( }* s& h# R4 k

  Y, F: [8 N8 w2 R7 B4 m
35、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。
$ o1 o5 d2 {7 a: n. A.√
. B.×??

/ x7 K0 e* |# s% B6 L. W3 b$ N* I

36、两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等。
- Y: \6 E# v, ]1 {, F. A.√
* f. k% `3 p9 Q; t* X) Z. B.×??
. M( e, G' z$ x' }+ p0 \
: \% }% p8 c! M( }; P- X* y9 F
4 z& `! F% K8 F9 D7 C5 j( h
8 s$ c! n% {. _* ?37、在线性空间中，如果一个线性变换把子空间变成子空间，则它一定是可逆线性变换。
. A.√
" S0 }$ i0 ]/ S6 D. B.×??



38、设，若f(x)与g(x)互素，则(f(x),g(x))=1。
. A.√??
. B.×


% l& r- a9 }" k% n  d
39、设为一个向量组，若，则线性相关。
. A.√??
. B.×

! h- V2 ?( A. u' F  D% r2 x
9 u. P7 r- p, ]- O$ O
40、一个3维线性空间只有4个不同的子空间，它们的维数分别为0，1，2，3。
* h, Q) G$ F' l, I2 R$ H- G. A.√
. B.×??
. r$ J, E$ b  M) X& U6 L# Z

+ {0 O4 f8 o8 r" ~3 l0 h
41、在线性空间V中，若向量线性无关，线性无关，则也线性无关。

. A.√
+ O% h- V# X$ u  E5 n3 R2 {. B.×??
# G0 ]1 p1 e, q9 y8 ^7 h
! n: t' l- p8 g9 ^5 @6 W
. Z7 t( x# n8 g6 c" k( r( t) c" ^/ c2 w
42、若A，B为n阶对角形矩阵，则AB=BA。
, A8 x3 N. v* W2 K' Y) y- ]. A.√??
. B.×
4 ~6 b( N# s5 I" w9 b' `/ }/ _0 i& V
0 I$ H3 W+ e- F" c
9 H6 _' m1 {9 r  f4 [主观题
43、四级排列4321的逆序数是?? ? ? ? ?。
! j2 M% p! |: S: G. C" r参考资料：
6



44、设A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|=?? ? ? ??。
参考资料：
54
0 ?0 |" i/ t6 O: J9 ~& R

2 ^: o7 `1 v0 A, T- n* O. O3 C  Z
45、若是正定二次型，则d满足的条件是?? ? ? ? ??。
参考资料：

" P& z/ X. Y3 I1 D2 S0 W


46、设3阶矩阵A的特征值为1，2，b，若A不可逆，则b=?? ? ? ? ? ? ?。
参考资料：
0
8 K. ^9 c( O, g( o% z! Y. D" X
+ F! _1 [  |5 Q6 j. ]' B& I: ?: S

47、在向量组中，，则的秩等于?? ? ? ? ? ?。
参考资料：
# d8 F6 r% K) h1 W; E# a4 x& x, q2

* v: c. m, ~4 I& Z
! W! }" @; N+ D  [6 x
48、设A是n阶矩阵，|A|=5，将A的第一行的3倍加到第二行得矩阵B，则|B|=?? ? ? ? ?。
2 t4 v0 ?! o. D参考资料：
5



49、在1，2，3，4构成的所有四级排列中，有?? ? ? ? ?个偶排列。
参考资料：
12
- k  W5 }  S) N3 g
: E/ N1 }& Q/ \

50、设A是矩阵，B是矩阵，若AB可逆，则m，n的关系是?? ? ? ? ?。
参考资料：
# h; j  q, U! ~



5 S5 N9 ~$ E: d51、设，则f(x)的所有系数的和等于?? ? ? ??。
8 u9 J& s; g/ P8 I# f$ q# X参考资料：
, g% s+ q8 e. t( A3


- L% V: R& b- z% D0 S1 [( u% m
52、若，则c=?? ? ? ? ? ? ? ??。
参考资料：
+ Y' D7 M9 Y8 y% v: M-1
$ {9 l6 ]3 f* r' T" a
7 E; B, U: W: A0 \! z2 ~1 ]4 N
7 u) l% ]  e9 g9 s
1 q8 b% j- }- S2 C) ]! m8 H* x: K53、设A,B为3阶矩阵，A是可逆的，B的秩等于2，则AB的秩等于?? ? ? ? ??。
- y' G* V, W. c) w5 L' u( d2 \8 w参考资料：
0 e* i2 L5 ^, m% ~2



  v7 b  D8 c8 V54、在3维线性空间中，向量(2,0,-1)的负向量是?? ? ? ? ??。
' t8 |/ B( n5 t参考资料：
(-2,0,1)

% {3 @8 o( s" |
  ~+ z5 X- n6 e# R4 ]% e
55、设，求g(x)除f(x)的商式和余式。

4 y! e3 }" x6 h+ C4 `8 O( ~参考资料：
解：做综合除法：
- e- U2 p8 n8 @% V- s0 j7 J/ b　　　　　　1   -6   3   16
! [2 Q+ p6 ]+ e      3      3   -9   -18
% U! u( K2 ^1 p- o: w# E8 x　　　　　1   -3   -6   -2
+ l- P: Y$ |6 q  E* D所以g(x)除f(x)的商式为：，余式为：-2。……15分


% n3 r6 J& t+ |" \) n


5 T4 f( {: f* q8 J3 i
56、设，为A的一个特征向量，求a的值。

; C, Z! H/ T. a参考资料：
解：设是A的属于特征值的特征向量，则，……6分
于是
% ^: h: y; U* U7 l- D, r* q，……10分
, {3 i: u1 S% ~所以，解得，所以a = 3。……15分
9 `  o: K6 l3 f+ h



+ x9 o( n& |: o! N9 m9 j, g- u
57、设(1,1,1,1)是下面的线性方程组的一个解：，求a，b，c的值。
. g* Q5 X4 c" H9 _7 D
参考资料：
2 i! {+ P- J9 ]& E解：由(1,1,1,1)是方程组的一个解得：
，…………8分
* P! i5 O9 r1 @+ h所以a = 0，b = 3，c = -2。…………15分
$ q1 r* s) a5 B; n



8 p: p" [5 \7 D' M# ~% |- w! G
* y0 W5 @1 C, l9 d58、设，2阶矩阵X满足，求X。
( O/ `& O4 P! A% {) b0 A" d
3 D* N+ |7 V: P# R1 g0 g5 J% @参考资料：
/ T/ C+ q& ]/ U* M* [# h解：因为，而，所以是可逆的。……5分
又，于是
。……10分
由于，所以
=。……15分
0 u; J4 M3 w9 D' C59、设是齐次线性方程组AX = 0的两个解向量，证明也是AX = 0的解向量。
' L- Q4 h2 C( X' S4 C
7 {# \' L/ M) b4 M3 k% m参考资料：
8 H- @, s, D; r6 Q, f证明：由已知条件有，……3分
所以
，……7分
+ P9 g0 D, t+ P+ S所以是AX = 0的解向量。…………8分




+ k7 D) b5 |- l+ T: N" M& h5 f; z' @

7 V9 z3 C6 W! `60、设A是线性空间V的线性变换，，证明：若线性无关，则线性无关。
9 {* w' D1 n9 ]1 f9 t证明：设，则
，……4分
+ X, x! Z! D0 l由于线性无关，所以，
2 G/ E3 ~$ A0 A2 O7 Z7 @所以线性无关。…………8分

5 G+ i* @! z- s; b/ H0 N


8 s9 N7 T  c' ^0 @& t
7 o/ d# u+ [" K- i9 j% U" w) n

6 Z' M, k7 Q2 w# G' q
0 U7 I+ k. J. c2 o# I% }8 b# u+ H- b