22春西南大学[0158]《高等代数》课程作业资料

admin

资料来源：谋学网（www.mouxue.com）
$ @+ P) ~6 m1 _1、在矩阵运算中，任何两个矩阵都可以进行加法运算。
1 \0 j2 g) b* [. A.√
& `& M& Y) j( R$ U% M. B.×??
& N- x6 G# f" v; Q

. X9 H" v  o1 [2 F
# A. G$ ~5 ~9 e3 D1 c5 J5 v2、A,B为两个n阶矩阵，则A+B的行列式等于A的行列式与B的行列式之和。
. A.√
; r, v( S: o8 i1 s. B.×??
# }6 H; e- i. i# B/ z0 }8 v
8 A2 ?% s/ d5 A: L+ V% e

- R% l* N3 N4 N5 F/ i% X, s" P* u' ]3、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。
4 f: [6 E5 x. f* Y. A.√??
. B.×

+ j# X. e- ^% z/ p

0 ?& ^8 R+ @* z* Y8 J4、设A是矩阵，A的秩等于3，则A的列向量一定线性相关。
. A.√??
. B.×
0 \: \* j4 U; J6 c" P


5、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。
7 J% h$ t9 ?3 M& Y; [' f- N# B. A.√??
5 J- ?7 ]7 g5 u: \: t. B.×



6、设A是n阶矩阵，如果A可经过初等行变换变成单位矩阵，那么A是可逆的。
. A.√??
. B.×



, J9 X0 F- H+ S* i) H7、在一个n阶行列式中，若有某两行的元素相同，则行列式的值等于零。
" l% {/ ]" O- I) W. h, u5 e. A.√??
+ ?6 I0 ]8 z+ ^. B.×
3 e5 x3 F3 h3 W& M

1 |3 G' M# Z( e9 E9 r7 K' o
8、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。
7 d! y0 ~. {# V6 Z9 ^) F6 C1 Q8 K. A.√??
/ Q: @! |2 t; X( M- R* |! o. B.×
, H7 I7 j- Z! c( V8 S2 ]
) |+ w/ y5 K( T, [# r
" P2 v0 O4 o  ?; d$ T1 q
4 v( J1 Z# Y) K1 D7 H+ k9、设A是5阶矩阵，A的秩等于3，则A的4阶子式全为零。
. A.√??
7 D3 M  E. p  B6 q6 n. B.×


: \7 l& K* g7 P# N( M
10、矩阵
9 H5 J7 G" Y' C1 `. A.√
. B.×??


6 q# {' M0 f4 d! ]
. z$ E6 F& @: w, l/ U# r11、在一个n阶行列式中，若有某两行的元成比例，则行列式的值为零。
. A.√??
' J% {4 x% |% N0 H/ y. B.×
) w  l: D7 k* B7 e
1 V) C" Y, Y0 {1 c5 N: [; T
7 R. I! t* q7 d8 M6 c- l, N3 r2 s
8 o5 }; K/ D+ G0 N: u: I8 s12、一个n阶矩阵如果能与一个对角矩阵相似，那么它一定有n个互不相同的特征值。
8 H. k6 m# z6 z" g$ ]- U. A.√
. B.×??
; W6 S% y/ e/ D0 S* V& K# `


13、在欧氏空间中，两个单位向量的和向量一定不是单位向量。
. A.√
. B.×??

' |# Z6 F: n# K. c+ S( N5 W- \

/ ]+ K' y# h/ `# F& D  z, @8 o3 j14、设V是n维线性空间，W是V的m维子空间，是V的基，则是W的基。
. A.√
. B.×??
, l6 r: O6 r4 B! r& _) Z+ l

9 D9 _! Z4 G# Y1 J: n" a
: i- V* _) L9 E  H; p- W4 f15、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。
. A.√??
. B.×
2 a7 X- N$ B* r0 b; L% l# I6 a
% h* X3 L% Q( u& l# f
, D/ N5 k: e$ h% m3 h
16、设A，B为n阶矩阵，r(A)表示A的秩，则r(AB)=r(A)r(B)。
. A.√
: m; h( a# H3 M6 @& _. B.×??
! ]1 h' E# e- k+ w5 C9 Q: P1 r, h
# e" C8 q  G$ l# m5 c/ S

17、根据Eisenstein判别法，多项式在实数域R上是不可约的。
% J* x( p; \, g! k# \  v6 d. A.√
4 w) F" ~" c3 O8 m4 w8 E; C. B.×??



18、根据整除的定义可知，零多项式只能整除零多项式。
. A.√??
  X5 n3 I0 A& i* ?. z9 ?# B. B.×
: ?1 r: Q! {  T
7 Y/ O8 M5 w6 ?! N$ E  z( \. d5 i
# P1 a4 d8 T$ O, p! B/ p0 ], o; F
19、一个非齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的解向量。
$ v* a& z% G7 S, Q) ]. A.√
6 Z0 h' l) Z% e: T6 X. B.×??

/ y8 s4 p" C, \
) U! F: X3 R( A
20、设是线性空间V的两个子空间，若。
. A.√
+ F: B8 _9 f& I' ^- Z4 |  k. B.×??
: U1 ~  h& x# ~% _; Q: ?

/ i& o' Z" S4 |5 q" m" a& V* e
* O. H# ]. a9 T7 H2 T2 R9 d# W21、设W是线性空间V的子空间，。
' s* l6 B/ t# L. A.√??
8 w* j; q! Q/ O& Q% j. B.×

2 w3 U- b. O2 j% N

22、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。
. A.√
. B.×??

* K$ a3 a8 T; ]3 W0 B

; \8 \7 e$ t" n7 j2 J23、在一个n阶矩阵中，若它的行向量线性相关，则它的列向量也线性相关。
. A.√??
' [7 o8 N- [: u2 V. B.×



24、在一个5维线性空间中，两个2维子空间的和空间一定是4维的。
. A.√
. B.×??
3 D9 m! G5 ?3 F0 }$ R
" k) h: c; y# }8 G  M5 m, O/ ?2 S

0 U9 u/ m; x2 h# r5 l" A5 r; N25、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。
& y. p5 W: U7 h. A.√??
1 ^! I) [; d8 o; [- A. _9 v. B.×
# I& k6 V' p" [1 |& x8 L9 ^0 P1 _
. ?* y* X- R6 O: U7 O) E! R
7 }! a0 G9 J/ p* O0 \: N. B1 _
26、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。
. A.√
) X1 A9 N- W. M( L% ]& Y. B.×??
+ L# h( I( {4 F2 z* H5 ^4 F; b5 X. o
& v% {8 ]" t/ T' T
% Z8 ~, s4 P2 j/ p. F! R
27、若2为n阶矩阵A的特征值，3为n阶矩阵B的特征值，则5为矩阵A+B的特征值。
. A.√
4 q% R4 t5 A2 Z1 N. B.×??


, y1 x- u% \3 q: C. L
28、在欧氏空间中，正交变换把正交的向量变成正交的向量。
. A.√??
. B.×


+ e$ }1 i) f5 C$ Q! u
29、若向量组线性相关，则
. A.√
. B.×??
5 j$ d9 G5 Q/ P6 P  l7 d
" D: {+ H, i0 T) P, \

. F! N- J( p& x. E! _! h. k30、设为一个向量组，由于，所以线性无关。
. A.√
, e, |) _; j/ [" X. A. B.×??
& x( _  w5 O/ p


" G* j" x& c6 n8 x& d7 u31、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。
. A.√
. B.×??
7 Z. @$ E& ^* t4 L3 W
& Q; k' t4 o5 R' o* H
6 I( y$ r6 j# h  z% F* Q
32、设A是线性空间V的线性变换，若有非零向量，则A不可逆。
. A.√??
. P0 O% R% n# m( a! f" y. B.×
4 u. N9 T7 @( s6 ^* |+ Q
7 J7 y3 C  w; T+ |

% Z0 w  I* O* g33、由代数基本定理可知实数域上n次多项式一定有n个实根。
' p: E9 c5 O) ~) x5 k6 b1 {+ ^. A.√
; N3 H& V3 D3 k* z& m. B.×??


0 e" q2 Y0 ?0 E6 j& }
34、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。
. A.√??
; P) ~2 E1 M/ l: d3 K5 C. V. B.×
+ n- \1 R$ S) r" b$ d# f. Q; H
# |; i: z4 j5 j/ [1 k- A' S
" A% o  g: y9 o  Z
35、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。
. A.√
* G6 C" b: r' P$ \9 [( E6 r- ]& [. B.×??
+ {) m7 t4 h+ r+ g' B. P5 ]

7 h; C  X4 B) B5 F) h9 T/ o4 U" F
36、两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等。
. A.√
. B.×??

* D/ f: _5 v+ U  q( r' _' b

7 \  D* ?( s" X! _1 B' s37、在线性空间中，如果一个线性变换把子空间变成子空间，则它一定是可逆线性变换。
/ o- T0 p& L7 b. A.√
3 h  o1 |* |6 }% K* r. B.×??

& |" k) e& ], Q" O$ H

# {' P8 S' n) R2 `" p, O; H0 E38、设，若f(x)与g(x)互素，则(f(x),g(x))=1。
. A.√??
. B.×

( A9 @/ ?; N3 h$ Z8 r. \
! T, C% |" c+ @: l6 I, L* ~
+ o, H+ T. C8 |7 D& ^3 `. \- F$ m39、设为一个向量组，若，则线性相关。
. `1 A5 U! w2 @. A.√??
2 f6 C( O$ I9 z2 K, \) Y. B.×

/ H7 w1 }% ~$ \& p: C
3 W$ r' ?1 b+ N' h
" m% I6 f0 Z7 y, ^$ a; }' b$ c9 V6 T40、一个3维线性空间只有4个不同的子空间，它们的维数分别为0，1，2，3。
. A.√
! n7 m; h& m) F' L. B.×??
. x# m" d* J1 J9 h6 |" I


41、在线性空间V中，若向量线性无关，线性无关，则也线性无关。

. A.√
9 z5 ^1 x8 B( n; `1 U. B.×??



7 R9 F) e% {% w2 n% R# U9 w42、若A，B为n阶对角形矩阵，则AB=BA。
! A1 t2 H1 a# k7 f. m. A.√??
. B.×


1 c" A) p% R( H7 i4 @- C4 G主观题
43、四级排列4321的逆序数是?? ? ? ? ?。
8 w: ^# D. V5 D0 z4 q+ E" t, z, d参考资料：
6

. N2 d8 f! A3 W7 e$ V4 Q. \

! a8 u$ C' |4 d9 s3 f# e" U* y44、设A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|=?? ? ? ??。
. ~  A% y" f$ C( ^参考资料：
. N% v5 N% g# G8 t" P, O9 J7 ?54
; K- t3 T( V1 a7 G$ {1 s8 p

+ X, H+ y$ m. u/ r- p
* Y; Q% X/ H5 c- ~( T45、若是正定二次型，则d满足的条件是?? ? ? ? ??。
参考资料：
/ c" X. d: w0 T; U1 i# V
+ X8 y% n" o  E1 X


46、设3阶矩阵A的特征值为1，2，b，若A不可逆，则b=?? ? ? ? ? ? ?。
. _, }# f. j* m  P0 l参考资料：
- M* U  o8 I4 @/ f5 |" B0

' h  C% B8 V, O; i
- c: E, u$ F0 Q- n  ~2 G& i3 v3 K
& w. ?$ R+ |3 p& H/ x47、在向量组中，，则的秩等于?? ? ? ? ? ?。
参考资料：
2

1 p8 A$ Q  y' ~5 s+ G

48、设A是n阶矩阵，|A|=5，将A的第一行的3倍加到第二行得矩阵B，则|B|=?? ? ? ? ?。
参考资料：
- s% m& t) d& K  f5


4 h8 H' F$ `: n# q* z2 g6 Z
49、在1，2，3，4构成的所有四级排列中，有?? ? ? ? ?个偶排列。
参考资料：
, ]" n9 ~/ ]( I! ]8 U& B0 e12
* [9 N( v5 U: Q8 J2 Y) n- ?
/ c, `' n) v1 V- O) v0 A
! _4 A$ p. i& C5 l
/ d0 a; b/ v5 Z) N9 Q' u3 ^50、设A是矩阵，B是矩阵，若AB可逆，则m，n的关系是?? ? ? ? ?。
参考资料：
3 Q( b7 z( b4 g



51、设，则f(x)的所有系数的和等于?? ? ? ??。
1 R5 d; _% ?  V& b参考资料：
: R& n+ D  Y/ l3


& c' T" E: ?4 M  x" ^" g# t( F: l
52、若，则c=?? ? ? ? ? ? ? ??。
参考资料：
" e# k0 W+ ]% L-1

$ z" U9 L3 j% |' e: g
0 p  `+ d( v8 x0 ~
# Q7 j4 z9 u/ K4 _  }53、设A,B为3阶矩阵，A是可逆的，B的秩等于2，则AB的秩等于?? ? ? ? ??。
/ S, s, T+ I# @/ ]8 ?参考资料：
! O* J; c! f# H1 q; z8 K2
: J) u! l4 O# [' E) _
+ y2 n( u; H6 Z8 A. }
5 @9 x4 A$ b. i" N
5 l- j2 _) s7 x: l54、在3维线性空间中，向量(2,0,-1)的负向量是?? ? ? ? ??。
% q4 O  r6 c. [9 x+ j& ?/ w; e参考资料：
(-2,0,1)

$ J) R% a+ u) {' e5 ]7 N
9 T/ l' h# A$ H$ v* n
55、设，求g(x)除f(x)的商式和余式。
7 p6 o$ x2 y7 z8 j" V% h6 F
参考资料：
解：做综合除法：
6 ?. p: a* E: z0 a! y　　　　　　1   -6   3   16
      3      3   -9   -18
　　　　　1   -3   -6   -2
* p! B3 \- ?  Z所以g(x)除f(x)的商式为：，余式为：-2。……15分
& R% ]" I' y; H- I$ J, I; V


. d9 {* g8 c2 w1 s) n; g" o
$ }/ k+ d  r% v4 V) |+ W

56、设，为A的一个特征向量，求a的值。
) w! `! g% \- W" G! V
% S& d4 q5 X  R7 r4 r参考资料：
解：设是A的属于特征值的特征向量，则，……6分
于是
，……10分
1 u* ?/ _4 s* c, }# m- G- [所以，解得，所以a = 3。……15分



1 i7 X# J# r- S

57、设(1,1,1,1)是下面的线性方程组的一个解：，求a，b，c的值。
  B4 ^: X& X! w3 O0 S# B
参考资料：
解：由(1,1,1,1)是方程组的一个解得：
，…………8分
: L; d; L! H$ e1 ]所以a = 0，b = 3，c = -2。…………15分
  t/ D% A) U( `# I% n& P
  M& L1 P5 M: ~- J3 h) q3 z
! r# I  ~1 a4 ~/ |


58、设，2阶矩阵X满足，求X。
  r4 m/ S& w/ }" H& m
参考资料：
解：因为，而，所以是可逆的。……5分
又，于是
& c* y  x" D" M" d  F。……10分
由于，所以
=。……15分
# r& w; q( \/ U3 t59、设是齐次线性方程组AX = 0的两个解向量，证明也是AX = 0的解向量。
5 H, ]3 v% u) i% i& v
参考资料：
7 W! Y1 F$ A: A证明：由已知条件有，……3分
; _& I" y# P6 j  V" M所以
8 T) ]$ b: B2 Y5 o, ^，……7分
所以是AX = 0的解向量。…………8分

1 ]5 \4 X7 S# R0 @$ r0 i

* @6 K7 k3 Q* M* L

  o7 e6 i3 F0 f4 \% P
60、设A是线性空间V的线性变换，，证明：若线性无关，则线性无关。
证明：设，则
) y2 h* ?) S2 F& j，……4分
由于线性无关，所以，
8 {" E' w+ z9 e所以线性无关。…………8分
5 \# o' n9 g& C- k
/ Z) ?& i3 R5 m1 j8 |7 V
8 F6 {8 D% \, G
$ o! `( _; B; z( R
+ T6 t+ L# q$ v. `) a9 V& N3 e
/ l6 d; K5 O0 L! M8 @5 u
' N0 n/ t2 T1 o+ C2 y# X

( x+ I* Z; i( w