22春西南大学[1245]《几何学》课程作业资料

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1、设i,j,k是两两垂直的单位向量，则(? ? )
. ?j
1 f- P: k; X, r8 W4 }) y  T. ?k??
& L2 R  N: E: S4 ~$ Y/ m. ?0
. ?i
) d0 _, A- |& k% I6 @


; M5 M7 P( G) q& Q3 A2、已知向量a=(1,1,2), b=(2,2,1),则(? ? )
. Q* _) s8 s, q6 w. ?0
9 w- v" {2 J9 p! t: a- R. ?6??
. ?1
: X" p3 c2 ~% U9 W9 f- i. ?2

: p; W$ u, M, V, z8 c2 M
9 T. W/ f2 H" W' i! Q8 G8 f: q6 v
3、已知向量a=(-1,2,1),b=(0,1,1),与a,b均垂直的向量是(? ? )
7 D' ]" d# H! t/ \. k/ W. ?(3,2,1)
. W4 [5 i* m* D9 j. ?(1,1,-1)??
. ?(1,2,3)
. ?(-2,2,1)



4、点(2,1,0)到平面3x+4y+4=0的距离是(? ? )
5 e% _3 @! n4 W# X6 h: v% ]. ?1
- l) _: o7 J" j9 Z& H. ?3
. ?0
. ?2??

& J/ Z$ @0 p/ d) r

1 R  r; L) Y3 `/ l% A5、直线y=2x上的无穷远点的齐次坐标是(? ? ?)
. ?(2,0,0)
1 O# O" ]( J+ k: T/ A& i* l$ U) Y* v  g. ?(1,2,0)
. ?(2,1,0)??
. ?(2,-1,0)
0 u4 W! x! i; j

- b# h2 C6 C: ?7 ^1 I
) Y- C3 A- y# s9 t6、已知共点四直线a,b,c,d的交比(ab,cd)=4,则（db,ca）=(? ? ?)
. ?2
. ?-3??
: b( v7 e9 W$ b! H. ?1/4
' r8 x; L  {: e9 w2 y! ~. ?3
0 q) x( `5 z: E( x3 E
2 M7 V5 ~- j8 ]; g9 M
" {( [7 ^( u; k0 X  i
7、下列命题叙述正确的是( ? )
: y  R: E3 t7 Y; U. ?单叶双曲面上同族的任意两直母线必相交
3 [2 {' {6 ~* x) `. ?单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面??
, N1 J" p& W* V: `  T& `& F4 s4 C. ?双曲抛物面上异族的任意两直母线必异面
* {) H' v6 O9 N. ?双曲抛物面上同族的任意两直母线必相交
( [5 b+ f+ t% N# L8 \6 W
- A8 e( c7 T2 u. ^1 ]# C- s7 _

8、不属于仿射几何研究的对象是(? ? ?)
$ i3 Q" a- D1 `8 B. ?平行性
) P" G* I1 {+ G0 V. ?长度??
. ?单比
. ?同素性
: E' q- y7 c+ v% I) a& R2 C
) K9 P$ F; `3 L2 ^

9、已知3向量a=(1,1,0), b=(2,0,1), c=(1,1,1),则混合积(? ? )
. ?-2??
. ?1
. ?2
' K! \7 ~2 M3 k, B' S. ?-1
9 ]$ w8 M% s" O" D0 l/ _3 P


10、下列曲线属于无心二次曲线的是( ?? )
) X3 q, a: x7 g- d7 j. ?椭圆
3 c* l4 L! y0 I* I4 Z/ q) J. ?抛物线??
% p5 u  ?( M1 w5 {. ?圆
) P' u0 Z3 z- B, y0 [6 n. ?双曲线
( D* j6 |, ~2 _/ ^% c
8 t& L8 _! g. _/ W% B$ V6 ^

4 k% M. n8 g1 j+ P/ [6 Y& J11、点C是线段AB的中点，则单比(ABC)=(? ? ? )
. ?-1??
. ?0
! u7 {" @. |0 l. ?1
5 Y, \( M% A3 C6 J( [3 @) s. ?2


' L1 D( b+ u/ o' b7 ]. F" Q
& Z' R9 I' i- r12、平面z+1=0截割单叶双曲面所得双曲线的实半轴长是(? ? )
. ?4??
. ?3
6 J, k7 M  q  C. U2 I# D. ?5
: F" L/ s" _. r# \5 z. ?6
* w( t- l( j# L' N) x8 Q

多项选择题
& k/ ~+ T# P' q! P2 P13、下列关于二次曲线性质叙述正确的是(? ? ? )
. ?无穷远点关于二次曲线的极线是二次曲线的直径
  [9 R# i5 h2 q. ?二次曲线的中心的极线是无穷远直线??
8 c1 q  q) b& i5 o. |+ c) V! ~. ?渐进线是直径，其共轭直径就是它本身??
: P8 R. i& _6 c+ e- ~. ?彼此平分与对方平行弦的两直径是一对共轭直径??
3 t1 `5 H7 R" V8 [6 C0 r$ A) H

/ l1 G# e6 J; x* ?) u1 H
) m7 B. ~, y" V: C14、下列关于二次曲线奇异点的性质表述正确的是(? ? ? ?)
. ?二次曲线无奇异点
. ?二次曲线的奇异点可以只有一个??
; ]! ~5 U% s: q7 g* s. ?奇异点一定在二次曲线上??
: o, X2 c9 n7 k6 K7 `. ?二次曲线的奇异点可以有无穷多个??
' J. N% ?4 U$ A& o

资料来源：谋学网（www.mouxue.com）
15、抛物线无共轭直径
; n) Q8 L/ D& {8 k. A.√??
2 e" k9 H* S* ^$ @) Q3 G3 p. B.×

( d) A6 y; }. q9 @% S
9 S. s% r: u6 l1 m
16、射影几何里的不变量一定是欧氏几何里的不变量
4 r3 J2 ~' C* ^: Z. A.√??
. B.×


1 ^& g' n/ e7 v! I% Z2 Q$ U& v$ ]3 S
$ w$ C" y9 Y$ `  w5 ?17、双叶双曲面是直纹面
. A.√
0 Y. Y. f, V' A. B.×??
; l, T7 j6 _  Q
+ M6 r& ~, X+ S  y
9 G6 G) K- d7 b1 b! X% Q! K
6 b' ~2 x8 P8 J; T4 U$ n18、两向量的外积等于两向量为邻边的平行四边形面积
) p4 V4 z" I; l8 S  m1 h- Q, b. A.√
. B.×??


' E- z5 d& ~) j# N
( n: |$ c0 d. e19、二次锥面是旋转曲面
. A.√
" e& b3 h7 l* L. [. B.×??
4 _6 I0 l% t: p+ R2 ?$ |

+ l* H6 C2 y- F* j9 w: S. ^3 ~7 `/ V
8 b, k& M* J6 W( Q20、射影平面上的两直线总相交
4 c, U  e. P( v- f& E. R. A.√??
6 r" H4 W4 Z, Q# O. B.×

6 D9 h' w: f' t1 W- o7 |' U9 O
' ]6 Z3 a4 S& B7 D. [
21、射影变换把无穷远直线变成无穷远直线
+ f' A/ s- h: N; _5 M. D. A.√
. B.×??

2 S- A/ Z) l# r( B( d( l$ J+ z/ _
- P2 f1 Q3 e+ H# \) Y
22、圆锥面是旋转曲面
. A.√??
. B.×

# f( @9 q! \' i- |) O7 E

% F) `, P& W- W23、任何一个三元一次方程总是表示空间一平面
  B$ ]4 ?) N# p: [+ N4 Y. A.√??
- K& p- k0 D: _. B.×
* |! @+ c$ _! z: C  T- \


6 X! A3 y/ P6 X5 ~7 y; I% i" }24、二次曲线的中心不是仿射不变图形
, U6 e3 _# q3 A# c. A.√
. B.×??

1 l8 c! y7 O$ R8 a6 [
7 K# v7 F5 x% f8 I
3 n8 K1 Z  R: j' `25、平面既是柱面又是锥面
) x/ L/ a+ }7 v2 A. A.√??
. B.×

! H, ]9 {# r* y7 K  m# a
" ~' S0 v1 Q6 C- A( F
/ y7 }7 J+ Y) N26、中心射影不能把椭圆变成抛物线
2 ~9 O$ h4 L6 x3 I6 |  z. A.√
+ e& ?8 O4 Q9 J. B.×??
# R7 X7 ~" z3 a) Q6 V  E& _; u$ p+ W
% w1 ~0 k8 J& o  L3 l4 s
( g: _6 f5 \( d' y1 B% f6 ?# z; X
3 |' o% B6 g$ N5 z27、共面向量也是共线向量
. A.√
. B.×??
( A' v* l8 l0 D7 f0 H# N2 `  h# B

. I7 Y& U* s; V
/ c! a6 E) j, K" g28、无穷远直线是仿射变换的不变图形
. A.√??
. B.×
; |; u: V4 M& m$ r8 Q7 w% F$ j
& Z7 z" L8 s( _5 d, a% ]0 u, r

29、共线向量一定是共面向量
! B+ a& H' U6 S: c* U. A.√??
( e8 |2 L$ J5 l6 S5 K% {9 c. B.×
: ^( R% {+ p3 K1 L

. Z4 L: F9 v0 W$ w) ?5 `
$ I' l& w- V, C6 E' X0 v30、两向量的外积的模等于这两向量为邻边构成平行四边形的面积
3 c/ V& k6 ]: n0 ~& b; S. A.√
% Q& u% c) s  K: Q& Y: b. I. B.×??
) Y' n8 [( c* m. b3 |

. i% t- l; u6 O2 C9 e/ K0 y主观题
31、向量a=(1,1,0),b=(1,0,1)的夹角是_______
参考资料：
" R" W- M( b. _9 S

5 g- ?# K! H( p  Q! H
" x1 W5 U5 S3 r) d& d; }
32、设有两向量a,b，如果,,,那么_________
参考资料：
2 z6 i" _) x/ e
6 L# X6 a: P* m5 _& N8 E5 f


33、两平行直线与间的距离是________
' }- u% {' W$ ~3 A+ X- v; }- z参考资料：

( D  M; X* h$ @4 g, W% t, d$ z  R

  I% k+ H# P" c
& B7 G: i4 b# _) o3 @& Y34、渐近线是直径，其共轭直径是 _______
参考资料：
7 p! Q; _# P. T. {7 W
* U0 C% G2 Y2 @1 d6 Y
  ]% g, B% D+ o7 P; F6 _

2 {  w9 l! D; a" u7 R8 ^4 ?35、通过原点与点(6,-3,2)且和平面4x-y+2z=0垂直的平面方程是________
参考资料：

  ]1 J# |2 A/ `. y1 v9 m0 l


+ d# \- O/ x* E, y36、曲面与y-z=0的交线在xoy面上的射影曲线为_________
3 f! C, K; y) w4 s参考资料：
" E" K5 T. s. f. Z! `) @  x
7 X( O/ Q2 S/ p+ F

4 w/ N. y: z4 o0 e8 b$ f
  w+ X' H6 j7 s! c37、点(1,1,1)到平面x+2y+3z+4=0的距离是__________
( O4 T2 o8 E- V参考资料：

9 j& B! T& `/ h8 d% G: `
$ F) ^$ N7 Y7 h' G1 ^
7 U* u! l) J2 T: H
4 j7 Y9 p( S% Z  v' H$ b38、已知向量a=(1,0,2),b=(2,3,4),c=(0,1,2),则________
+ v( Y+ _3 C+ I& {- N+ ]# n参考资料：




39、已知向量a=(1,0,-1),b=(2,3,0),c=(0,2,3),则有这3个向量张成的平行六面体的体积是________
2 G# K* s0 r- P, \0 d, ?参考资料：

9 Y( }& m0 Y2 \& V+ F& Z' b, t. p5 `
6 k4 m# o0 S* B, Y4 K/ }+ G' W

! x; U2 }( w. ~7 a5 h40、已知向量a=(1,1,0),b=(2,03),则________
. ]8 l; X* k- m" d  W参考资料：
7 H" x& b% |; P0 A


5 ^% C  C! u/ r
41、直线与平面2x+y-z-3=0的交点坐标是___________
- f+ ]  T! W' C参考资料：
0 o0 `) Y: o* E

/ r. D4 i, D/ c+ k4 g6 x

42、点(2,0,1)到平面3x+4y+5z=1的距离是_____
参考资料：




  S; z% o9 n# D0 C3 j/ U0 s+ [43、已知3向量a=(1,0,2),b=(2,3,0),c=(0,1,2),则________
3 _1 y) h$ |! j7 x" h( @) Y' l参考资料：
( ~  e. r& A- z5 N  p2 `



( ^# W$ X3 m6 j% w2 b44、自点P(2,1,0)引二次曲线两切线，切点分别是M,N，则直线PM的方程是____________.
% A8 q1 \* d* N参考资料：
% V" k  ^- [! @,

" T9 S( n2 ]3 Q4 P0 q3 e2 \
, z$ T4 ^; C" u4 b
45、共线四点A(3,1,-2),B(1,3,1),C(2,-2,-3),D(1,-5,-4）的交比(AB,CD)=_________
' z8 W6 P# B7 Z% M) I3 E1 |7 `) M参考资料：


3 ^5 C6 F1 U- F& x% I; B

46、已知交比(AB,CD)=1/2，则(AC,BD)=________
. R  F4 D5 B( G5 v  D4 q- l参考资料：
) M0 h0 e  F$ U6 ?* W3 A& k


: w3 \+ D4 P1 @
! |. O. y# V- {, q* G47、点P(3,4,5）绕Oz轴旋转生成的圆的方程_____________
参考资料：
) t5 q3 ^1 K" `) }



48、已知四直线的方程a:2x-y+=0,b:3x+y-2=0,c:7x-y=0,d:5x-1=0的交比(ab,cd)=_________
2 V! C. d* u9 l8 E. N$ ^% r参考资料：

2 U5 t) N7 x% S+ P* C6 v
$ i0 u9 z( C  t- _7 B% L( w

49、已知射影对应使参数为0,1，-3分别对应0,2,6，该射影对应参数表示式__________
+ J9 n) `: T& [参考资料：

. K( c! ]9 S# q4 b, L& m0 o; v
9 t# ~+ ?0 \0 |5 I6 J

. s# q5 o- c5 f  N& J) P6 `. j& R/ H50、设四直线a,b,c,d共点，单比(abc)=2, (abd)=-1, 则交比(ad,cb)=_________
参考资料：

! _- y# |2 e: B

& ?/ k* n7 R5 x" r; k2 E1 m1 W
51、已知二次曲线,(1)证明它是双曲线；(2)求中心坐标；(3)求与直线平行的直径及其共轭直径的方程；(4)求渐近线方程
; p0 L- y/ {0 x8 L# S' e1 U* L参考资料：
+ j# [" c. l% V# l# s7 X3 _




) f- F4 D2 f6 q- _3 s% y/ Z/ k52、已知两条直线m:?和n:,证明m和n是异面直线。
1 s7 f  L9 {, d) P' S/ {参考资料：
% ~( g- L$ O6 C
! W% k) O, `, w1 K1 \

- E5 J3 `8 n/ k! J& ?1 ?9 V53、求双曲抛物面上互相垂直的母线的交点轨迹。
3 s' o% d# q/ z( O# f参考资料：




; I0 k0 {9 @7 x1 [0 d, k
' i9 E4 o* \+ o- F8 m54、求过点A(1,0,2),B(0,1,2),C(0,-1,1)且以,为切线的二次曲线方程。
$ Y/ I8 F" k/ A& G( N9 _" M参考资料：
" V& ~' _# a* d  l; L# _4 R4 h
1 d# G7 Z6 U* o# S
$ }1 }. Z* O8 N$ D- M  f8 J$ a


55、设点A(-3,2,1)和点B(6,1,1)的连线与直线相交于点C,求点C的坐标和单比(ABC)。
3 S/ e+ Y6 `3 l! S参考资料：
5 T: r, h0 c- F6 w; B' B


4 ~* m* x+ N. v4 ~6 ]5 n
1 ^( K/ E) Z" R' O. Q4 m
6 f- x5 a& |' E5 g  u/ r& z56、求过直线a:且与直线b:平行的平面方程
参考资料：
' E' h$ ~- I4 ^0 o. U) _
. t' }+ h, [$ v3 h
  }) G6 J$ N- H. X
# Q6 T( ?- D$ S

5 A2 }  d; g, J$ c" A  [* b57、求过点(1,0,-2)且和两直线与都垂直的直线方程
参考资料：
8 ?4 e* N$ L4 \
! S; i) j. S; C; u

/ H: Y4 z  t- w
4 s4 K% v5 L! l8 U58、求顶点为M(1,2,4),轴与平面2x+2y+z=0垂直，且经过点N(3,2,1)的圆锥面方程
9 [4 q( @# f: D2 N' o; t$ G参考资料：
8 C  }7 r  Y7 S9 Q* r+ z1 K


: M- e" M7 h# l9 ^" Q( T' T  b  n59、试用向量来证明:如果,,那么
参考资料：
6 N) L6 n! x% _! S/ c5 K1 {

4 U$ L- p* D5 G4 J) M# ^% w
. J: Q) O7 A5 N
( K9 R( a  o- p. z1 [, z3 k60、如果3向量a,b,c不共面，那么,,也不共面
参考资料：

! c+ Z$ V, U% P% {4 `: T
# U2 [3 V9 i5 D6 b1 V