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资料来源：谋学网（www.mouxue.com）实变函数-[福建师范大学]福师《实变函数》在线作业一
0 S6 c! o8 ?/ {8 B& T( `% P7 h+ v试卷总分:100 得分:100
8 d( X8 A8 x$ N A j. C第1题,f∈BV则f几乎处处可微且f'∈L1[ab]
; U( |6 j. Q/ O, V8 EA、错误% z0 y* S. v# m' U3 d2 C
B、正确
5 G( W5 [0 B' v* F! _正确资料:& X# L* d- O* I1 D$ H. b, J
( o. T1 H5 L! m, ?+ p: f! v( i5 P- O; p
第2题,当f在[ab]上R可积时也必L可积而且两种积分值相等# R- @" m6 `; [
A、错误
7 x$ t0 \' Y, E! Z6 ]: r5 HB、正确
( {8 _1 G5 k9 F; V' L( l; x9 z) f正确资料:
# u! h" m+ h) L, Y- d% e X0 T ]6 u- b* K
- h$ q* A9 ? V- C第3题,若fg是增函数则f+gfgfg也是增函数
* R) Q# \9 U F) a+ yA、错误. y' Q" Q- f5 W0 ]+ F$ ^' W
B、正确; b+ Q, s7 p6 |5 Z0 t) x
正确资料:) C3 F+ J ] X: q j
6 K6 T) y* e8 x! P
, e0 T% t8 b o3 w- c第4题,若f∈AC则f是连续的有界变差函数即f∈C∩BV( V0 `( f2 z+ W8 i7 r8 d
A、错误9 r- P" w# d! n# M9 k: X8 E d
B、正确8 v) t0 A$ }5 D$ i, X
正确资料:% m6 u3 {9 P9 Y' F+ }! e
, c4 _" _6 h4 l0 v! ^
/ T" U \3 i8 [; {5 Z1 E资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,若f有界且mX∞则f可测
) L3 p( K' \! C$ l; L, xA、错误2 R# w L8 e, W& H3 c9 H
B、正确
% \! {. \; ]9 V) q6 C: o9 a3 q' a正确资料:' z' n/ s1 C$ J
! |8 P A, [# c
) H5 }4 h7 ]; {7 W
第6题,增函数f在[ab]上几乎处处可微
& O2 K8 l. d: p5 `/ x2 G7 LA、错误
8 ~( y* z, x7 I" P0 VB、正确
& }2 J5 B: N2 V+ v正确资料:: r: A s1 l4 o9 p6 `
1 D. S$ r. ~( l% E) R* _/ h
3 [& N. j+ I8 }9 H( a( p第7题,若fg∈BV则f+gfgfg均属于BV
; F2 a: B2 M! J( y( uA、错误, f8 B% b7 W! Q9 W3 T
B、正确0 I: _% ?0 U) K7 E/ R* W
正确资料:
( F2 y) v- v; Q' U0 S" n
0 Q/ f; t! O4 L D& }5 e; `# g7 U+ `# C5 [
第8题,对任意可测集E若f在E上可积则f的积分具有绝对连续性
9 M/ u3 s+ N1 J- t+ a$ GA、错误/ S9 F% r* `( b+ a1 E6 t
B、正确
1 @5 Q- q# `0 W7 w7 R正确资料:
* r+ t3 l; H7 [# \" l7 v6 `* A$ \; G, C( E/ ?4 d# V# y! [3 v
7 F$ Y- Q% D; R9 ^, M! L0 t6 X) {
第9题,若fg∈BV则|f|f+ff∧gf∨g属于BV
8 [, f3 S- H# ~3 f3 |* \A、错误
" l" ~* ]) C3 i, t' K/ h: UB、正确
7 p' j% G6 h/ G* m7 R" n正确资料:6 P/ o8 v E6 S* a* k6 ?( j
z! U3 \$ K+ k8 c, M- o4 n ^9 u
& `3 l: x7 a7 M% y; ?5 W) s资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差
V1 }4 ]% }( |) FA、错误
% I# W) ]- \( u8 cB、正确( F( b) T# h/ @- D
正确资料:& p: |( |( b$ w. {/ X
$ ^' j5 S5 B. J4 F8 i. g
| N. I! ?7 ^ j& J5 H
第11题,测度为零的集称为零测集
* ~8 Z7 _3 R* \/ pA、错误; b) |5 ~9 X% ]2 @
B、正确5 J3 U {1 Y. H
正确资料:
: G3 i; X: V1 i! F, @8 \+ f
9 E `: p1 `5 F6 i1 j+ V, b2 F D! R% Q7 A
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,存在某区间[ab]上增函数f使得f'x在[ab]上积分值∫fdxfbfa' U1 h; a) t W0 v
A、错误
( ~! q) H, F: x/ X }/ }2 GB、正确
c+ [6 N# k3 e2 x* r2 x# O正确资料:
9 R3 @7 E8 a( g" \- K- T+ Q' a5 S3 \
& L+ }+ n0 G6 _第13题,有界可测函数f在区间[ab]上L可积的充要条件是f在[ab]上几乎处处连续
. _4 o7 O P; I& x/ _A、错误
2 J" `* ~1 r h, c; d9 aB、正确
9 f" Y+ U. o5 l/ l3 X+ P0 ~) x/ f正确资料:
. B5 L6 S# Y% @7 @) l
% {7 q7 T% `! X4 l% u* }4 b! P" m/ G1 G
第14题,若f可测则|f|可测反之也成立
2 P+ o+ V0 Q5 f. Z8 jA、错误/ x8 n3 j/ g/ _; I
B、正确" ~7 F+ a9 T9 @& @6 ?! @9 ~
正确资料:3 Q8 O. q! ?. @5 r9 Y5 k
6 J2 K' f2 \9 d4 O4 u0 u- c& y( x. E. u& k. y
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,f可积的必要条件f几乎处处有限且集Xf≠0有sigma有限测度
3 V6 `( Q, j) w4 P/ AA、错误
; D" U/ ^ s' I; }+ u- H; gB、正确
' D {; a( n1 j$ W! [. i; T; q正确资料:7 b, _4 F5 c, c/ U0 E$ L5 X
! D+ l* Z, Z& t9 \! |5 v( r$ g" c# S
第16题,若fn测度收敛于fg连续则gfn也测度收敛于gf
# A+ `; @/ U0 _# BA、错误% q8 E/ K7 e7 y9 I; I
B、正确
# ` v/ ^9 N# e) G& y正确资料:$ Q7 G5 {4 Q3 K, z: X: F* q
8 T$ o2 i$ p( o
3 K% k" s: J' Y$ ~. k8 W1 |$ E. U第17题,函数f在[ab]上为常数的充要条件是f在[ab]上绝对连续且在[ab]上几乎处处为零
# E* {8 r/ L. @4 b$ J7 \6 bA、错误
3 }. d1 Q5 R# U5 X. R9 N& C5 m' bB、正确
2 U1 B% c8 f% J: @, q9 I( X正确资料:
2 w/ ~5 Y4 h/ \
; D" o; m! s& P2 J
; S2 p& }+ x+ c7 H+ Q第18题,有界可测集的测度为有限数无界可测集的测度为+∞2 U1 B% H7 ~! l/ h9 ~
A、错误
1 @# I- a6 E+ o2 ]" Z% Q& R% M* EB、正确3 R$ A& q: J3 G) b- D, _" b' |
正确资料:
2 L; T: x+ D) y5 m, F! f
9 C6 V1 y0 g" n- u1 G, R$ \$ Y, |) L2 ^
第19题,当f在0+∞上一致连续且L可积时则lim{x+∞}fx=0
1 }+ x' | I1 T) kA、错误% f' m* w5 h" v1 ~, |
B、正确
$ G9 h& j3 W8 N9 V L正确资料:
7 U* r5 |( H! U& q
& j$ o- K, v7 S6 _2 D; [6 H8 S" O( K) G5 p c* k* W
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,若f∈L1[ab]则几乎所有的x属于[ab]均是g的L点8 y1 }2 R0 X/ O4 f
A、错误, X( W) H# H; E) D" U9 {
B、正确
$ l4 v( a+ L7 J8 {正确资料:7 J" z2 K4 _. O8 f0 x
3 n( A! Y" l! G: M+ x' L
$ G& B* j# f- C5 q0 f& x第21题,利用有界变差函数可表示为两个增函数之差可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数几乎处处可微而且导函数可积5 j5 u/ H9 W5 e
A、错误5 R* ^3 [3 E* x2 R
B、正确
' S* Z2 m) h9 L2 `正确资料:
+ u M b$ w3 w" f' a* Y: ]4 B' z0 _' ? I% Z
; ~3 [+ l$ ]' W! h& E
第22题,三大积分收敛定理是积分论的中心结果5 o8 i j8 |9 d& C9 X) Z
A、错误2 ^6 X/ _7 P3 R. n8 b3 g
B、正确
0 G7 O/ C; [: I3 S7 o5 @正确资料:
" a) q8 n R% j3 B
6 h) h0 w' Z& T0 v( v, b$ ~4 r! f, k; \& F, Z" l! G
第23题,f在E上可积的充要条件是级数M[E|f|=n]之和收敛
$ w' \; R3 `6 D3 c+ ^9 h1 G& eA、错误
' a+ V4 {, p9 e* O2 QB、正确
. s, r3 b, H, K正确资料:
' U+ `; I! p. a! F+ c7 W% L0 @* H/ M& }/ D6 s( ^7 B, z
, V |! L" N `9 I/ A" ?
第24题,若f广义R可积且f不变号则fL可积2 y5 S5 W% N5 S7 B% x6 {7 Q+ V
A、错误3 D3 s5 {1 }4 {0 ^
B、正确
5 ]$ v9 a. w* A8 y- \) N4 o正确资料:- Z5 c9 B, v( H7 K/ a, h0 e) y
# L- s! q: c8 r+ F( d; b
" e5 L/ ~* h5 D1 e1 a, l: P" L资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,无论Riemann积分还是Lebesgue积分只要|f|可积则f必可积) {' L* C" F! `3 f$ v8 X( _5 z
A、错误! _* V8 f% A+ A! h
B、正确7 ^# {, |- N* s% o, B$ Z1 W) ]. M% w
正确资料:
# k. z' m! q: h% `; Y$ i1 ?, m0 s! }* E
( p7 u. U0 V w& Z( @' I& K. f2 I9 C第26题,g的连续点是L点但L点未必是连续点
! q# [4 C/ g uA、错误
. f9 g m' ~. h' R' C& }B、正确
i7 A: _5 @; s; r" G$ @& P3 j; k$ X正确资料:. F+ i/ u% v5 Z& q% M& C: B
- {& S# {* ^( Z6 o, t+ s/ C! ]4 M. H6 H$ L+ t+ M% d- ^7 o
第27题,连续函数和单调函数都是有界变差函数
) n9 f8 u2 w5 a; _* A$ P0 @A、错误# p. ?- ]4 s- ]% J
B、正确
6 {; N; e1 x, \, M, a# @正确资料:
: K/ O- I" @' R: ?
Z" q, m3 v, l/ n+ C6 u8 [, X
4 G) [3 u: ~- u/ @* H第28题,绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数
. H, \% ~' p, J, h- [A、错误& l' G7 ?- X2 X! V3 |1 ?6 n
B、正确( i% e1 X9 O+ J; ?# s; z }
正确资料:
! j2 ?% s( X- f) }+ f! {( n2 z! M6 f& e! j
& q6 G6 S! w; D
第29题,f为[ab]上减函数则f'x在[ab]可积且其积分值∫fdx≤fbfa
& @4 l4 D: r) gA、错误
7 Z, L3 t8 @# h$ q( p" r$ tB、正确
4 h# L5 j7 T- O n8 N9 p2 W, o正确资料:
# k0 Z# F' G3 d0 E, R. U0 S/ T j7 Y+ l; T0 _: C
0 W) ]: C. W% w# ~( T资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,设fRR可测fx+y=fx+fy则fx=ax
1 q+ `) a/ @8 I- x' }6 a5 uA、错误# E `" g! U% H: R8 r
B、正确
8 ?" H( }. Y) J正确资料:. G" M& D! E+ c. R$ \+ m6 _
% T: [6 M( D M3 |& O" Q: C& C# C- [
6 i, ^; }$ C+ U) ~5 y第31题,R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并
' T5 c1 v+ W( A* l& C5 b) @ gA、错误
! C' W' L% o4 H6 i8 w% vB、正确
: `( `+ B, g( Y( ] y: ]* Q) v6 L正确资料:9 X7 M# e- b6 r' n, \7 y
, U" S3 s6 I1 @2 `; N# {( m ~ a% I: {7 @. B0 ?- e
第32题,若fn测度收敛于f则1/fn也测度收敛于1/f. J" \1 E/ Z! R3 @4 K1 O
A、错误
7 c" C& a) e0 W* F# _B、正确
; L8 f/ E( g9 [' C0 }$ O, U正确资料:3 d3 y. s: ?& L+ ]
2 H5 b* a" k h. V- e" B* f) b! ^
+ O) H& K" w" P# E$ {$ g; ~" `第33题,可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集5 V7 k+ ^+ i$ j9 G$ v9 g
A、错误" R- F* o0 i" q0 A' `/ Y7 b
B、正确" w+ U% s! ]$ J* u/ q/ n- z
正确资料:
3 Y* u( u" Q# R2 p! M* v
8 ]& j/ m& n; Y
5 Y ~6 ]9 I2 e; \) I" c第34题,函数f≡C∈[∞∞]则f可测
- C6 s; W+ t3 OA、错误+ m! d8 A8 G* X
B、正确
# H3 H0 y7 [' t/ V# E正确资料:
- `" q1 g5 {' O. b# z/ z6 b. I! d
8 Q2 U" O! C+ X: [% A. a
7 c9 A3 ]+ C) l4 a& @第35题,有限覆盖定理的内容是若U是R^n中紧集F的开覆盖则可以从U中取出有限子覆盖. v% z( ^6 @" _0 b7 V3 x
A、错误
; o! x, x: z3 t+ {/ i3 ^2 p- _( kB、正确- K- v9 k1 W2 n, n
正确资料:
; q5 l/ W/ q, d$ C7 N2 m! C* v v* t8 i- z& o& ~1 h% M% f
$ L4 C+ k& S7 k* C第36题,函数f在区间[ab]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[ab]上的不连续点集为零测度集
5 w O' m; f3 c* k0 O7 }8 x! yA、错误2 i3 o9 u5 e u* |
B、正确
+ C8 x* ~! W4 C8 |正确资料: c4 q; D$ v' j d# Q
$ F" M4 A' O( O* m L4 c5 ]
$ d B( E+ D3 k7 B6 u: ~* z5 j( |: ^0 J
第37题,fg∈MX则fg∈MX0 ?% ]/ Z7 a/ V1 c. o
A、错误7 d- v9 d& r& x+ ]" T
B、正确
, M# S( b2 w) c. @0 s, R% O: M正确资料:
8 ]& K) H! z& D6 q1 O, T' I B
7 v @. ?! q0 x9 k# Q6 T
; V2 s' f6 e! y第38题,fn∈LE则fn0ae是∫Efndx0
7 }0 {) V9 L1 }0 C2 MA、充分条件4 S9 V' z6 l' H! {7 }9 F
B、必要条件% `0 A$ ?* ^2 s! [/ K
C、充要条件
% i, J$ h8 f( j" s9 i% p; @D、非充分非必要条件! F4 q' t, a, t: V! W5 U, \3 ~* P4 ^( x
正确资料:
. X" }/ j2 u# o4 |4 H2 |4 K) z# p7 H6 f7 x/ ~
8 p) L7 K* V2 L! S/ l
第39题,开集减去闭集其差集是
5 r- a# E6 Q% d% a& p% D" _* JA、闭集" o% _3 N2 q' b9 T
B、开集" J: R! U" Q5 }4 s& X
C、非开非闭集
" y) \0 x& R5 @: j c6 }, DD、既开既闭集1 w: p, H8 u) R6 A+ n N5 [
正确资料:
' v1 e# G8 T8 z5 h. @6 q8 i0 S" A: w! _7 Q( C1 O
7 ~& Y7 s( y& L/ J
第40题,下列关系式中不成立的是1 G+ j/ B4 S1 S$ S. O# \/ N, D+ m
A、f(∪Ai)=∪f(Ai)& C% R9 r; ]4 ]5 Q5 l
B、f∩(Ai)=f(∩Ai): n) V/ z' I, m n- X6 x
C、(A∩B)0=A0∩B0" q5 | H. E: o% L% |
D、(∪Ai)c=∩(Aic)
& b2 w4 f- ^* i d正确资料:2 Z4 [5 \2 `5 i
3 S- s) H# l7 p2 h( {
/ b3 W* c$ s( v8 o0 E1 m第41题,fnfae则
+ G+ ~4 s" f& o+ ZA、fn依测度收敛于f
, p. u0 m% |! @2 yB、fn几乎一致收敛于f
: E9 T2 u9 F" l& S* K) S( ~: R f* tC、fn一致收敛于f
9 T- } l: L$ O7 k3 ~D、|fn|-|f|,a.e. n3 l9 l/ I* G0 P
正确资料:
& s0 Q$ g4 h( s" F9 H
" x: v1 h9 P, k/ X# z }% j
; [0 }. U$ y5 j; w1 {6 r: q% @第42题,设gx是[01]上的有界变差函数则fx=sinxV0xg是[01]上的
1 Z0 v, r/ D) t4 A$ W, xA、连续函数
8 M0 o* C& Y C) J( m; j% ]9 ZB、单调函数, [& x: i7 k* S! n- ~; B' a( {
C、有界变差函数, z0 \* M3 `" q* P! _2 g
D、绝对连续函数4 Y7 i" y' f/ u7 y- m' l
正确资料:9 f' Z8 L) q. H% J
' g+ q- F0 R% W; G1 T
: {$ W# ?) L7 t* H: ?7 r6 c2 d: p第43题,若f∈AC[ab]则
6 e9 R! d2 A6 X% HA、f∈C[a,b]
) l4 K& w# O" T! g. v% YB、f∈BV[a,b]: I7 M4 y& ?# a4 |
C、f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
7 ]3 F* Q. c# G; M2 {5 s Z8 G5 z2 ZD、f∈Lip[a,b]2 S0 h9 X6 B4 V/ M) \
正确资料:,B,C( o+ m9 H0 c5 ^7 z6 b
% i3 z+ E% ` g2 p( p: m7 M( u8 _/ w* t2 @5 j% X' T- Y1 [
第44题,若f∈BV[ab]则
( Y5 ~ n5 S9 r: y4 ^. BA、f为有界函数
# i1 u( q |2 X) \* J9 b# lB、Vax(f)为增函数
7 \! C4 t( V2 f8 O* ]) HC、对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)8 b- @8 x( H. m! |4 j6 V' u
D、f至多有可数个第一类间断点# G. Y0 a# V7 W) ]
正确资料:,B,C,D5 H6 J9 j' I( V" D' s+ y) N6 S) Z$ z# W, G
( r9 o/ ]6 i# G! i, L! _% V
' a6 @# J" M8 j. @4 [; _第45题,fx=1x∈∞+∞则fx在∞+∞上
; Q8 e$ [) v/ G9 |8 CA、有L积分值% _& ]# X5 r2 `8 n* Q6 G
B、广义R可积
' Y" N. s) A/ v- m9 l& _C、L可积1 C) ]6 k- N2 P& U0 q8 i
D、积分具有绝对连续性
+ a3 H% t; i1 B4 v正确资料:,D2 k+ E D# B0 w' W& _
4 G* c$ Q# Q$ e& y4 x d
. p$ W, ^- r( |7 Z2 r
第46题,若fg是有界变差函数则
8 p/ w2 F# U \8 G6 N) F+ ?1 e8 Z8 WA、f+g有界变差函数+ G& k) @# z' J1 d7 R+ }, O$ Y
B、fg有界变差函数
! Q; I6 M( R* A% NC、f/g有界变差函数. I* E1 Q; ]' x u+ s6 A+ K
D、max(f,g)有界变差函数) k5 L" i Q6 _
正确资料:,B,D) p0 M3 ]' ?! Z2 _3 B2 I" [
* U5 X% w4 C/ I: t$ T5 \ S0 o7 a i$ u+ o( t! A
第47题,fx=sinx/xx∈0+∞则fx在0+∞上7 [4 W2 d/ a0 A' f0 \; W
A、广义R可积9 o$ \% a! q% n7 r K% A
B、不是广义R可积! W& H6 z* W, c6 Q
C、L可积* V& _( y4 R4 Q9 I1 ]- ~- B
D、不是L可积
1 ~ z, j X j, v: ?" M正确资料:,D
" Z) n* b* |$ r, u% q& Y1 {% E" a# r3 ?4 n
5 O$ y; p. \7 K! o/ k, i" W2 Q第48题,若0=g=f且f可积则2 T) s) [) r7 p4 p$ [ t
A、g可积% M, }4 x* s% n2 V4 o2 G# E
B、g可测# q# Q) |: U% |& N; A# U ]
C、g∞，a.e.
# o5 e; U7 Z; W, A9 K# xD、当g可测时g必可积9 f. j0 X* w! S. d- T0 E
正确资料:,D. y5 L- ?( l1 Q# \/ y! m
+ Z0 n1 B; u; @4 ~7 C
$ O2 F1 d& Q) V第49题,设E1E2是R^n中测度有限的可测集则
7 _4 g9 m% Q, o1 Z% c J2 gA、m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE22 {& ^$ F' r- N/ E7 s3 [: {
B、若E1包含于E2,mE1=mE2 Z8 ~7 x0 h- K7 W N8 @ F2 @
C、若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1 S5 R! k+ }0 V) @" V
正确资料:,B,C* t0 Y9 P8 d! g- U. D2 e
9 x9 Y, e* W" G& x$ j) r9 ]8 |- ?) Y, Q$ J2 @, x( d
资料来源：谋学网（www.mouxue.com）,若fx为Lebesgue可积函数则
. H. N- ]9 n: \" \A、f可测
: n% h# U2 l5 `5 u6 ]B、|f|可积: d6 K- T( Z2 }% z3 }6 o% v
C、f^2可积
7 f! s) i- l( A8 I: C eD、|f|∞.a.e.$ O. z7 L7 ?6 E- t3 U3 l
正确资料:,B,C7 f- d K5 z0 Y3 y% O; q
% f, p) ~. P- L0 y1 b/ ?8 O' b2 W& s( o9 T" |! C* i
0 F: F' o) s% A! W+ d
7 s; b# _+ | z7 |, B- r+ e0 B- N
6 J* g2 Q3 j% c( I7 t: J
+ c, d9 Q: C9 P: D, K& l8 K7 W! G
% v I7 a$ k# [( v+ K" E$ S, U) i3 z( _: S- n0 J! V
5 G R* s# V/ }6 s
0 n, f8 k5 Q% b- j& n. s
' L+ T* Q3 n+ y7 N; T, O$ j3 [( r! u; ^8 u
" ^: f! _0 k/ l; D1 k9 Z% { |
|
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发表于 2022-4-22 19:46:26
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