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福师《线性代数》在线作业二8 ^; F( @! @ Q5 X2 F
试卷总分:100 得分:100
& C( B% w8 F7 C7 O一、单选题 (共 10 道试题,共 30 分)
, i9 T6 S) ]% t0 m/ _1.设A为三阶方阵，且|A|=2，A*是其伴随矩阵，则|2A*|=( )．# @5 U4 u1 Z. I9 G% s5 K1 P
A.31
. u F; |1 D& z* b* {: I$ dB.32
9 s. P p0 s! p1 ?6 CC.33
. q }% q9 k) Y7 yD.34
* P& K) Q( K4 [答案:
$ C4 e7 |3 _; f8 J- `% H
5 Z/ m6 J+ ?. k* L |. a2.设A是上三角矩阵，那么A可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（ ）
. Y8 u2 o2 p- z+ V3 t, M, o0 i5 i' yA.全都非负
, X# |1 n7 P& }% A: Z" i. NB.不全为零1 j9 I1 J4 v* J- E! K% w3 a. H
C.全不为零
& X) O5 j/ A5 P$ O7 N& ^D.没有限制
2 x, D$ n0 V0 T8 a' k答案:5 I7 M+ y$ K" Y
4 X) i& |% o) r
3.设3阶对称矩阵A的特征值分别为2，0，-3，则（ ）
: L0 p1 o" s: T& h! bA.|A|=6& K7 C9 H2 `! M/ P
B.|A|=2
. i9 ~9 f$ b. x4 D* Z! SC.|A|=3. E7 ]% m$ p) u) Q& |/ E9 {- X
D.|A|=0% @( t [/ _: H% ^2 i2 w7 I. h" l2 _
答案:! f0 N. m/ Q7 _6 ]8 i! l& r( j2 l# l
1 d# d" F3 X; {& j/ l
4.设三阶对称矩阵的特征值为3,3,0，则A的秩r(A)= ( )& |; C# k( i2 [% V4 R9 ?) M$ ^
A.2
6 {- i6 G. j, u$ mB.3
8 J. w! V/ j, W; _C.43 S) g- d: B1 _9 k
D.5
% R% u3 W1 X- J5 I. b$ j' y0 q答案:
& H; ~& S1 h: K/ l- y' x2 P/ J. o7 |. @8 G% z2 R) {
5.设A为4×5矩阵，则A的秩最大为（ ）
8 t/ R3 t2 b8 s. d) e; v UA.2- t6 `6 x3 m( }9 t& t* F( O
B.3: G6 v1 P3 K% z9 l# a
C.4
. m6 G+ Y, K$ pD.5, X B$ k4 y8 D& h
答案:% i3 q9 _7 i+ N! W; W; g3 b \
% V$ R' O" [; r: O& m# u' X
6.若n维向量组X1,X2,...Xm线性无关，则( ) ~+ g( G2 X* G5 q" J/ _3 X
A.组中增加一个向量后也线性无关- q# P$ p- z' H- B
B.组中去掉一个向量后也线性无关
; \$ a5 {1 A6 ]C.组中只有一个向量不能有其余向量表出( \' d) h; |- ?& }. a7 h# s
D.m>n/ I- K; M' c* l6 a8 O/ b
答案:
' W; Q- y$ o* g9 F; ~# }
9 U: [& `; `- Z9 p, ?; {7.若矩阵A，B满足 AB=O，则有（ ）.
8 Q m3 u; F% m* HA.A=O或B=O) O2 {1 p, ~' m% {; d, H* S0 \: U
B.A+B=O! [- V; l0 [9 u$ f, }
C.A=O且B=O
8 d4 K5 @7 F3 y6 jD.|A|=O或|B|=O
1 W- o# o; R: O' e- v/ }+ V答案:' b" w/ h" q# N# |$ V5 G
* L- @* R9 N# h) ?
8.n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个 ( )1 H& }* P) h' n6 K
A.互不相同的特征值
9 }" T- G5 G! s9 X# k# ?* mB.互不相同的特征向量/ @" l2 R3 V4 C4 q9 C l
C.线性无关的特征向量5 q3 P$ Q- @% r0 O" U7 C
D.两两正交的特征向量 U3 v+ W. L% A
答案:
+ Q# n8 C0 q3 G+ F$ }: D1 }! P% s% B% w. D+ m7 C. e
9.如果矩阵A、B满足|A|=|B|，则（ ）
+ |: R1 E, Q) I3 N& G; YA.A=B
; D5 o2 a% @4 z7 O8 [( G+ nB.A的转置等于B- j& m4 o4 D8 X! K( Q' \
C.A不等于B
n3 S$ z7 N! R- @- ~D.A=B可能成立，可能不成立
& m+ X$ j1 ]& t答案:
; ~! l: c8 S) g$ s% B+ }
* G: G8 v( q( }9 b10.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若c1u1-c2u2是其导出组Ax=o的解, 则有( )．
4 O8 m; R! @3 f' F' RA.c1+c2=1
9 g( u' B( S' @$ aB.c1= c2: D9 n# K7 u$ p: s
C.c1+ c2 = 0
& f8 k, m4 P; Q2 q" ~D.c1= 2c22 B* z& W L+ ]2 M3 K
答案:
" Q( p$ n0 [2 ?+ K1 E4 h) {- @; }. J; Y. n
二、多选题 (共 10 道试题,共 40 分)* I; _2 Q' P [" \" u& v
11.若A是m×n矩阵，B是s×m矩阵，C是n×p矩阵，则下列乘积有意义的是（ ）) a6 r( D$ ~3 \: m( _
A.BC
( {4 D3 O1 L/ @' n" WB.CB5 t% a0 }7 k8 p7 `5 [
C.AB
( ^4 _: z( l: m2 I" v/ F' r; I4 WD.BA f- N& s& X$ x8 j" }* Z* `
E.AC/ D6 K5 X8 `( v1 z
答案:E' R' Z( N; s6 |
- f7 Z7 T6 l8 t12.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( )．
* U' b- d) F5 ~: N) W" nA.Ax=o有解时，Ax=b可能无解.7 X, U9 G X2 ?) m
B.Ax=o有无穷多解时，Ax=b有无穷多解.
5 g/ D+ i! Y3 K/ ^ hC.Ax=b无解时，Ax=o也无解.* ~ Y8 m. r6 ^! i& A1 b
D.Ax=b有惟一解时，Ax=o只有零解.
4 Z5 T3 {1 ^ u4 M答案:
& J& ~# l1 a: C- U) f' `, g. U- j" S. L0 J( E( I
13.设A3*2，B2*3，C3*3，则下列( )运算有意义) f1 c3 {: S' N. Q5 P( V0 R" V/ A
A.AC* O' _9 A5 m5 Q
B.BC6 U3 `1 v1 n' \& i" M
C.A+B
9 @* I* w( w/ X/ o6 @4 h+ t. \D.AB3 T( i2 R5 _) i5 T0 O
答案:- j7 F! ^# J4 Y2 `
0 @! |- |. I1 n! ?4 a, N% F14.设A，B均为n阶方阵，则下列选项错误的有（ ）
) I) O4 Q3 B( v% o. ?4 dA.若|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0
" B8 O0 X( }: E6 u) I. C( ~, bB.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2
: `; F. M4 `* `1 rC.当AB=O时，有A=O或B=O) U/ W1 \6 x% t. R o, |
D.(AB)^-1=B^-1A^-1
1 q* y; |! N+ \5 _答案:
4 n& Q! e7 v+ G# J( U. ~3 q( q% n9 J
15.设A,B均为对称矩阵，则下列说法正确的是（ )+ n- v' {% h' x! m s+ z
A.A+B必为对称阵
}( |, U' K4 q2 z; Y% fB.AB必为对称阵
# K* x3 v, c5 q2 Z" c& b' _7 sC.A-B不一定为对称阵' K6 z$ v* _' c' D8 n# k& Y& }3 T
D.若A+B的平方为零矩阵，则A+B=0
! V \6 N {7 A; f e [% P3 V答案:+ }) Y1 D/ N. x/ k
- |9 S" B& g* i2 Z" ~" n% f3 H
16.n阶方阵A可逆的充分必要条件有（ ）+ b/ g5 d8 g/ }# U
A.|A|≠0
) B- u$ c2 P1 T8 O, MB.A的特征值都不为0
. a4 y* U2 J c/ j( r, ~' KC.r(A)=n
4 }# w2 N0 f' x8 r% WD.A的列（行）向量组线性无关。
5 a3 Z$ c2 n P* w+ F答案:BCD3 s- }( g( W i2 x L6 Z7 Q2 v. Z
: B0 t1 [3 K9 M( W7 y0 i/ Y& t% V17.设A,B均为n阶方阵，则下列说法正确的有（ ）
6 G- Q( x0 e. Q! ]: f' sA.若A,B均可逆，则A+B可逆! N% n0 n% [: @8 c/ G
B.若A,B均可逆，则AB可逆
6 `$ {0 ^, n: u% [5 M# O2 hC.若A,B均可逆，则A-B可逆5 L% l. z3 L; \, m- }5 ` I# S
D.若AB可逆，则A，B可逆
1 s' g# y$ [5 c. k n答案:
4 H* D! |9 z9 I3 x: g% N( l1 x' z7 D8 K0 J& o& |
18.下列关于初等变换和初等矩阵，说法正确的有（ ）
7 E0 K3 M& q( S$ k& r- q0 x: \A.初等变换不改变矩阵的秩
J4 u' i, J1 SB.初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵
5 E: D$ h: h8 b1 r! Z3 NC.如果初等矩阵可逆，则其逆矩阵也是初等矩阵7 V/ [" O% Y8 m5 n/ _
D.任意一个m*n矩阵都可以经过一系列初等行变换化为一个m*n阶梯形矩阵
! k9 U& ], H6 n+ f1 }答案:BCD
* c( G" n9 ]. h) ]6 o' E% Z' W& l6 b& c
1 m( G( |9 e7 @! n19.下列关于矩阵的秩，说法正确的有（ ）.( W5 Q s6 L0 k! ^9 }) H
A.矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩
{+ V. c8 c# w9 @' W; y3 SB.矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩
$ g4 V( g4 l( A; I8 NC.一个n阶方阵的不同特征值对应的特征向量线型无关) a6 G4 Y, Z2 P4 V+ I1 Q
D.相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值" G; ^ J/ k$ V0 k- ^
答案:BC
4 n: \6 V5 X$ f5 W; c( a4 x1 N9 s/ Y j3 K. ~: r2 G
20.如果3阶矩阵A的特征值为-1,1,2，则下列命题正确的是（ ）. L n( f- x8 y9 ?, x: E& O) k
A.|A|≠0
5 c& Y9 N& N* |, O* ]- [B.A能对角化
& Z; F' v3 ?8 C# NC.A不能对角化" y: `1 @) F2 [- F e+ }
D.A的特征向量线性相关
U1 W4 Q% J F) N. S; D/ |答案:B: [' _! F2 t/ P1 ^5 n! \$ ~: u$ `
/ L& _5 ]' ~+ I三、资料来源：谋学网（www.mouxue.com） (共 10 道试题,共 30 分)
7 {0 T* U* m" p21.向量组中向量的个数称为向量组的秩。
, b( I! Q" x B答案:
9 T* ~ N: `" ^) H- E! `: b# J* ~/ _8 Z6 q( s) T6 n8 u; {
22.只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵。
# H( f. A( t, H# m答案:# }6 U! }/ }+ ]7 ] X8 Z* O/ @/ S7 i
. V8 A+ [" z3 _7 j23.设6阶方阵A的秩为3，则其伴随矩阵的秩也是3。
* X* w# n) v* h9 }1 G. g答案:
0 j. l8 F9 j, p& ~: P' q h: q$ j: ?
24.若方阵A、B满足AB=BA，则有A^2-B^2=(A+B)(A-B)。
7 G, E' G, G& x: l3 x, l答案:
5 O) x+ @; ^$ B' E6 X6 E( m( H& }8 i: {9 p
25.对于同阶矩阵A、B，秩（A+B)≤秩（A)+秩（B）。
7 f2 Z7 [9 d* F0 V答案:
6 Z4 O, q4 c& J: s8 Q3 Q
( i N. ~; o1 y26.秩为0的矩阵只有零矩阵。
/ ], q& T1 E) y: O- x* I" Z" |答案:
/ x8 B1 j6 x2 K: w2 q& r2 U2 B
- ]/ V7 l( B5 ]* u27.如果r(A)=r，A中有秩不等于零的r阶子式。
+ f7 H8 ^) Q1 N0 b. s答案:
2 q2 h' s4 J3 }& [) Q/ y% C8 P4 A8 F+ n3 c2 d
28.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D = -10 。2 I& x( W# @) u7 |/ u ~, P# Y
答案:
8 K/ ~- O0 e6 U! V+ c+ i1 X J5 P! z3 V
6 s; u8 g1 t5 [29.n阶单位矩阵的特征值都是1。
6 T; k6 H1 F- F. l' H' W6 [/ U3 E: f答案:# i! T9 ]6 h% a8 p1 k2 d5 o6 i* \
+ e- C7 B0 M1 R
30.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A^2的特征值为1，1，4。! Y* Z& O& I, f" x! x K& j# m
答案:
9 F! J" |# G- P h' Y- R; V4 j4 b' H9 c" P' e% |+ F
) @# Q5 V6 F/ V- r, {& m {7 e+ F4 z) i3 B
5 E5 S) b i# B2 c
- T. ^' Q+ b- L" F( x8 q4 x) v9 r) j+ c
: D1 h: h2 r6 T. ]. y9 ~$ T4 ?4 E
4 Z: Q$ D' G2 _; ?
& e* C5 g! C$ u# T8 U% h0 M* k2 |' r' H
, g/ z% x3 x! d. O ]7 S0 s* a. T/ D* J
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发表于 2023-8-9 23:03:16
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