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《近世代数》期末考试A卷
! `7 w4 [+ A3 K% `8 B1 C0 P' _姓名： 专业：8 s8 O4 E1 a: u/ i- H% p
学号： 学习中心：
% s1 _& F5 p- }+ r成绩：9 L, X8 {% Y) ?& r2 S6 ^
0 x0 n* z! N) w5 G' ?
一、资料来源：谋学网（www.mouxue.com）(共20分，5个小题，更多资料下载：谋学网（www.mouxue.com）4分）( \7 ^9 x" T& D- y. H1 r
题号 1 2 3 4 5 得分& Q) x' n+ B4 w, _0 J/ V
答案
1 n0 D3 D3 F+ ?$ T. I5 M
. l* I$ O; r$ d/ M1. 对称群 中置换（1345）是偶置换 （ ）* |4 T9 Y9 {5 L7 q$ @6 U
2. 群中指数为2的子群一定是正规子群 （ ）2 G) l/ e( |8 V, P
3. 已知 是有限群 的子群， 和 分别表示 和 的元素个数，则 定能整除 （ ）
6 x/ G, U9 g' H( ~5 @# q* q' c4. 设 是有单位元的交换环， 是 的极大理想，则 是域
/ V7 i& R" g. [ （ ）3 q3 Q* {- Z' C8 A: U7 |
5. 环中极大理想的和还是极大理想 （ ）
. q, w! W5 [$ p6 f. y二、计算证明题（共80分，4个小题，更多资料下载：谋学网（www.mouxue.com）20分）4 W' g" { |) F' l2 W- @) u* f7 d9 e
题号 1 2 3 4! w1 {7 C$ I; {
得分 ) }/ [- j V q3 S( q, C1 l! J3 q, Z
1.设 是整数集，规定 ，证明： 关于所定义的
1 A- g, P; J8 J. v- n1 F' d 运算构成交换群; _! G9 A1 }4 `& w0 y1 p
, q. f3 U' c6 ^; J) O. C
: R. A4 w. L& y+ [
, _: K" I5 `; x2 n0 ~: E/ T+ N! v. R h4 }9 E
/ n3 V+ W9 o6 W A( H* s5 v s
9 x* O) ~: y1 B9 P3 u- O
# [9 b8 N3 e1 z# B% \
3 n' C# C3 {0 N( l4 U; s2.设 是交换群.证明: 中所有阶数有限的元素的集合 按 的运算6 E2 S5 M) f: `$ r4 y, ^# `
构成 的正规子群
' T3 k7 ?( w# l" f4 {: J C1 e
. x1 p; p9 }3 \
7 w2 l1 W# O3 w8 Y7 i, J1 S- M* u& c- l; _3 ^/ I
& S" |+ y2 ^ S8 \
3. 有一队士兵, 三三数余1, 五五数余3, 七七数余2. 问: 这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)
" o3 j% v+ P3 B' k7 H4 j2 Y
7 d% H: @+ L X+ U1 @4 v W5 V& l1 n: `
: z( U0 z+ ]' f2 {) I- o$ ?
8 t: I' V$ ~- Y4 M) a& w- ?
) w% h8 X- `3 [. y: s. Q4.求出模 剩余类环 的所有理想和所有极大理想。
: F3 C) S, s/ w3 E5 T
0 J* a: r) W y9 T F' d8 U `+ L% s u1 x
3 s% w2 b! P2 V+ J4 @& f0 v. J* ~0 E) h& P
7 W' W) V8 f# H5 @, O- v
2 k4 G. I- h \5 W
8 w+ L% ~8 q/ z* s; W% @2 i8 p
9 {8 T3 M0 p# N0 c2 W* |+ V. s
6 g; W- p( k/ k' X0 r8 K g
3 T. D# }0 b2 T" P/ d1 s; `/ k
- _* @- {5 B) Y: f) q4 [3 _# ~/ ?+ f. Y
M7 d' E( C. l; x, f5 ?
5 h5 C) Y [% K- `) Q: M7 g6 i& U) w, l: i
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发表于 2023-12-2 18:50:37
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