福师10秋学期《实变函数》在线作业二

久爱奥鹏晓林

福建师范大学
福师10秋学期《实变函数》在线作业二
6 ~1 o; ^1 c! r! @! f单选题
1.下列关系式中不成立的是（ ）
4 d$ K# C! W% F+ cA. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
/ \8 X' N1 Y; l! G. D# f  n资料：B
" q* ~) f7 W( b0 o2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
$ g8 G1 C" C) i4 MA. 充分条件
; {: ~' q3 L0 ?& G+ z8 V: aB. 必要条件
8 P' l" j  A# e: H+ \7 SC. 充要条件
D. 非充分非必要条件
9 H6 S# ?6 {: }) x, {% S资料：D
. {& [" s) S4 J6 W0 \3.若A为R^n中一疏集，则（ ）
  y0 F0 ]# @8 W1 ?" r+ y2 \9 a) gA. Ac为稠集
" {# T3 T5 U  ^  ^  ]$ l) W" YB. A为开集
+ l- i* Q- e% D/ S4 Y! L! Y0 zC. A为孤立点集
9 W6 G$ ~' [: \% p& |D. A不完备
1 Q( @; C% n& p; j7 W% q* c3 }4.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
/ ^9 g: s& M$ B* _9 h2 A  HA. |A∪C|=|B∪D|
* L& @. q7 W! y! ?B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
" W% |3 k4 _9 o1 W0 E; {D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
; s7 O3 M+ h: v5 E/ }3 G: G5.开集减去闭集其差集是（ ）
, g+ H3 H. [, @2 `$ g4 ZA. 闭集
B. 开集
  D. {) ?6 e. I' a2 j0 i8 {C. 非开非闭集
5 f5 Y6 Q3 Y* x0 P0 P6 LD. 既开既闭集
多选题
1 s0 h$ k7 z6 Z* G. e- ?- Z1.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
/ }9 H- O5 ?, R6 d* O  h& c9 LA. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
2.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A. f在R上处处不连续
: G6 ?8 N9 x0 `9 h1 ~' GB. f在R上为可测函数
2 w& `5 I5 G6 jC. f几乎处处连续
/ F  L% l6 E9 ZD. f不是可测函数
5 K1 t4 w$ k, t/ L: s- J: g3.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A. 广义R可积
B. 不是广义R可积
C. L可积
- @  k6 b0 T, n, _* lD. 不是L可积
% r- R- L1 Z3 H# ~  v4.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
- R- x  i, \% GA. f+g不可测
B. fg不可测
) ^4 o7 S2 t4 O. C4 B! ~C. g^2可测
/ F# ]' G. c5 y1 U  C, V5.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
8 E/ g1 M& W; l7 oA. 有界函数
B. 可测函数
% ^8 ]  i6 m3 ~C. 有界变差函数
- x" U# a' q2 e+ R, J. dD. 绝对连续函数
6.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
8 [1 ]- U3 M  p4 a8 d0 _A. f可测
B. |f|可积
; m# u( J+ Q, j  @C. f^2可积
6 P; c: Q( r$ {) r; d: QD. |f|<∞.a.e.
7.若f∈AC[a,b]，则（ ）
9 f1 z  x' v5 R7 l* YA. f∈C[a,b]
B. f∈BV[a,b]
! n$ l) {& d' q6 _9 W: G" N' kC. f(x)=f(a)+∫ax  f "(t)dt
D. f∈Lip[a,b]
8.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A. f+g有界变差函数
* k' j) |/ r' }; R' o7 A; I/ rB. fg有界变差函数
) c3 j$ J2 N" f/ p. ~C. f/g有界变差函数
+ h* l' m8 e, k( ^$ P1 M4 c0 {D. max(f,g)有界变差函数
判断题
# P% b( F, W! {8 i' l3 W5 \5 f' A, K1.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
+ m" y! u* g3 d0 Z& ]A. 错误
7 K7 C; d3 u: z, y$ l% o8 fB. 正确
2.f∈BV，则f几乎处处可微，且f"∈L1[a,b].
A. 错误
6 V! L; T7 ]% ~  n2 \" iB. 正确
6 r, {. X$ s5 v. F' M9 {" T3.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
7 A* l2 n( s# x  h1 v$ C! ?A. 错误
B. 正确
% g7 c" o+ U$ Q0 z. @4.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
! W. Z6 n1 P6 T$ EA. 错误
B. 正确
5.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
1 |7 L  }( i: L( ^: J; AA. 错误
, |5 t- N* c& v0 I1 R3 J3 {8 @4 U7 m' kB. 正确
6 X! B/ S* X# n: N6 ?6.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
6 c2 `9 Y/ r. S* E3 G4 LA. 错误
; x. [6 s4 L3 c; ^& g1 [( y6 g( Z$ NB. 正确
7.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
1 Q' n5 {! P, j# s1 `A. 错误
- ?2 ~; h( ^$ {( ~B. 正确
3 V7 o; C+ H. c# g+ Z3 A8.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
# N+ [& E6 B" }" U6 h/ [A. 错误
B. 正确
9.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
) S: e3 H, [% S* x) RA. 错误
5 `5 }% J0 b+ I% n) cB. 正确
' M4 I! [0 p  J, V. y7 A10.f可积的充要条件:|f|可积。
+ w7 K" P4 w  G* u9 V3 b  MA. 错误
9 @! }: s0 D5 _& eB. 正确
+ v, ~, ~& N0 m9 P8 ^, A11.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
7 c  C* h  p1 e! o6 F- g$ o; TB. 正确
12.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
3 Y; R" r+ t; N( h* ~" ]B. 正确
2 L5 W9 y4 i. }13.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
  n: \9 g3 H" l4 W! z. CA. 错误
B. 正确
% \  T; j  ~; q' T) \$ J: X7 }14.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.
A. 错误
B. 正确
15.f为[a,b]上减函数，则f"(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
  U. t$ R% k$ A! J6 S: d- U. e  M3 ^A. 错误
8 k' c$ f/ G# ?B. 正确
% M# m) I, A8 s# K! V. T" e16.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
A. 错误
B. 正确
17.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
5 y" U! @) s7 X' h* cA. 错误
3 U# }- t) d- zB. 正确
8 A1 z1 a0 N! w' @! q18.零测度集的任何子集都是可测集.
: V! Z3 x. D8 \0 I6 G  I* |A. 错误
/ i$ L5 U: G0 W7 Z9 }! K/ a' aB. 正确
19.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
20.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
B. 正确
: K3 U1 q% Z6 d$ e21.若f∈BV,则f有界。
# W5 z0 E. J% b. dA. 错误
; H0 p: f# ^& o" pB. 正确
22.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
" e5 A+ B# _/ U! T% E; r8 L3 ZA. 错误
B. 正确
23.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A. 错误
! x* }9 a7 e1 j6 J$ C4 P8 rB. 正确
24.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
' y4 e# l" E1 {A. 错误
B. 正确
25.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A. 错误
B. 正确
26.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
# |4 F; l2 x3 R1 p- o" IA. 错误
B. 正确
! s1 {4 L, `9 W6 @" @27.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A. 错误
B. 正确
4 K3 Z6 t" e2 A& X; O) O7 W28.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A. 错误
4 M7 @5 ]9 g% s# [# E6 ZB. 正确
1 }: D2 D& U% ?/ m' z- x- ]29.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
30.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
' r8 h, v: s! r  O8 jA. 错误
, [! k* V* P. N$ @B. 正确
31.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
/ B+ o( a' W% F1 M' a/ V4 a5 O' JB. 正确
6 a3 E$ q% c" n32.测度为零的集称为零测集.
A. 错误
B. 正确
33.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
; x, m1 f* J8 o$ T2 OA. 错误
/ _$ j9 K5 i5 u6 v8 eB. 正确
34.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
; |) P6 h1 R! C4 L, ^A. 错误
B. 正确
35.f在[a,b]上为增函数，则f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
& e0 |/ q7 p. |+ _1 Q/ B5 y5 d  |A. 错误
/ j8 m* r" R( w, Z5 G, MB. 正确
36.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
6 ?$ j5 Q5 |9 B2 U, X( iB. 正确
37.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确