福师10秋学期《实变函数》在线作业二

久爱奥鹏晓林

福建师范大学
7 e( S+ u2 d! G2 |- N  @' R福师10秋学期《实变函数》在线作业二
: h5 L3 _$ D8 j* j5 P. D& Y单选题
7 l( N& Y) f7 K  A( n* }4 y0 `1.下列关系式中不成立的是（ ）
$ G# x' W3 k# j4 i  vA. f(∪Ai)=∪f(Ai)
. H/ L! @$ P1 m+ w2 R2 ?. u, c  }B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
  v. R0 h+ T( w& K' [; w4 ~( g; e资料：B
( ~( M% v+ [& t% v; u9 K2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
8 p" z4 |. O; o. W5 L$ @7 XB. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
资料：D
1 U* e; Z- {% C% K3.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
& j3 X) N/ |  w+ F4.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
) o/ I- X+ C9 H8 tA. |A∪C|=|B∪D|
B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
5.开集减去闭集其差集是（ ）
/ a( X8 E$ z1 qA. 闭集
B. 开集
" y" h' E  u- t  FC. 非开非闭集
' V1 a& T2 J$ S8 `( K4 p4 ~D. 既开既闭集
; K" |! Z3 H& d% n" a" \* ~多选题
: }; a. y6 t. n: ~% l1 _' [. S1.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
" f; f7 K8 h  _* TA. f^-1(f（A）)=A
2 V. O( E) C$ LB. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
2 @% L; s6 e6 i( P7 E2.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A. f在R上处处不连续
8 Q7 w3 T% c$ g6 Z0 DB. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
5 n" j$ ~+ [* A0 L& A% y; YD. f不是可测函数
' `# N! x/ k& |) Y1 X2 M3.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
" V3 h* P( ?4 PA. 广义R可积
+ E6 R9 E1 K/ I' ^8 aB. 不是广义R可积
: N% S8 I/ D: B9 P: `* ZC. L可积
* }2 V0 C" d- N! b1 pD. 不是L可积
4.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
, S# v8 k, ~% x; z" T( ?A. f+g不可测
B. fg不可测
6 G; u! F: L6 V4 k" `C. g^2可测
5.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A. 有界函数
B. 可测函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
3 \: w' ^' {$ U* s2 c; p# }+ G6.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
: D+ V9 E. c( ]' RA. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
7.若f∈AC[a,b]，则（ ）
" L& _7 p) r& p, q# S: CA. f∈C[a,b]
, T( B4 n# I& y5 Z/ RB. f∈BV[a,b]
6 N; r7 ?9 y1 J4 R, y' {# DC. f(x)=f(a)+∫ax  f "(t)dt
' U. ?3 G' m# V$ uD. f∈Lip[a,b]
8.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f,g)有界变差函数
$ \' v1 }/ h) f: P: W/ F判断题
. k2 u  J6 |, G) |  N+ ]1.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误
B. 正确
2.f∈BV，则f几乎处处可微，且f"∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
9 ~$ V( j3 X/ X: S# m' _2 M9 ^3.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
8 u- v4 z  q; ^6 _# `A. 错误
B. 正确
4.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A. 错误
. `( }1 g, h9 HB. 正确
5.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
, Y' R  x2 {' W, g" s0 @0 rA. 错误
B. 正确
) g8 |9 f$ H! n5 q6.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A. 错误
B. 正确
* X3 d' P& t1 Z* S, {7.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
1 }$ n; a% y) h4 q5 t' jA. 错误
2 F4 p! N8 d7 ~B. 正确
8.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
. K  P. e9 q6 Z' ?8 M: dA. 错误
$ K* G, e+ ^0 G& V& aB. 正确
9.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A. 错误
' q" M. m1 Q& [1 T# }B. 正确
6 w$ T$ U( ?3 p+ F; \  z- |; J* D10.f可积的充要条件:|f|可积。
A. 错误
4 Y& T7 g, k  T" d) ~+ e' pB. 正确
- z3 B9 o8 _" C. {8 b- Y11.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
  a. _- ~. J$ C' @8 QB. 正确
12.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
0 s' o! a4 @  `! b3 HA. 错误
) [7 z6 L; X2 v6 ]. WB. 正确
7 O' y6 r2 O4 B2 ?  B13.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
7 R" S" E# v% I8 vB. 正确
( V6 r; v* b, p0 n& Z6 U$ ^14.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.
! n8 ]1 R  p9 }5 P1 H- O/ WA. 错误
B. 正确
15.f为[a,b]上减函数，则f"(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
1 {, {4 J6 c, h/ SA. 错误
! `$ Q7 |5 ^- N. qB. 正确
1 I- K! \! `& Y! R+ m) C# k16.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
! ]9 p" {. Z- _A. 错误
B. 正确
: m0 D3 P" D1 \: @1 x17.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
7 x' o( C  N8 U. h3 D: c4 AA. 错误
B. 正确
& G% @  F$ y2 a; e2 F5 @" {4 ^18.零测度集的任何子集都是可测集.
A. 错误
- F7 ?6 L7 M2 t8 b- EB. 正确
: i0 q, G  g. p) W. W19.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
$ X1 Q% _3 |# s. ]5 ^7 iB. 正确
20.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
B. 正确
21.若f∈BV,则f有界。
A. 错误
B. 正确
22.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A. 错误
! M; S& P- x8 KB. 正确
% B" q, q/ K; @5 ^9 ~: [23.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A. 错误
B. 正确
" b: `1 }6 [# O. M. J* |+ V24.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A. 错误
B. 正确
25.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A. 错误
B. 正确
26.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A. 错误
B. 正确
; P0 {. ]4 m1 n  C" Y27.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A. 错误
B. 正确
28.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
' @: `0 @- N- aA. 错误
B. 正确
' c" W- S- ^! x& [/ ^29.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
6 _' y- w6 w7 i: w- o* z& Y/ F$ v: \30.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A. 错误
B. 正确
' g4 K( {, u+ V/ ~! L0 ^, Z; |+ d31.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
* w& N7 l5 N1 @- j4 Z6 PB. 正确
, P+ s9 a2 y/ m2 Q1 l6 J& e! N32.测度为零的集称为零测集.
: D- `# _: E- |) e5 P* nA. 错误
B. 正确
& O. p  g; k+ x33.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
B. 正确
34.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
5 N  {# u* V# f+ C3 L# PA. 错误
4 l9 _% ]0 e( T# qB. 正确
35.f在[a,b]上为增函数，则f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
/ s; F0 T. n) k8 }A. 错误
B. 正确
36.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
  M: g% \; j$ V$ G, q1 cB. 正确
3 l, R  \- J8 `* M37.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
* ^  F: C! e$ F5 Y: a; t. rB. 正确