福师10秋学期《实变函数》在线作业二

久爱奥鹏晓林

福建师范大学
8 V7 o9 b, }; ]' `' ^福师10秋学期《实变函数》在线作业二
单选题
1.下列关系式中不成立的是（ ）
. r" M5 o/ h4 e" LA. f(∪Ai)=∪f(Ai)
% w" e9 B6 q% c% v2 y+ G6 g* XB. f∩(Ai)=f(∩Ai)
' J% A% @/ \# J  y: AC. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
资料：B
. b  d# o( Z* w0 s% b5 H2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
1 ?4 l- q" n0 F4 W( NB. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
5 G" u0 K; e/ W资料：D
3.若A为R^n中一疏集，则（ ）
: r7 N! c, \0 P/ x' h0 i$ _A. Ac为稠集
8 @, o+ O/ V- |# W0 n" W  zB. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
, B7 t8 C" W5 a4 s* I8 d4.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A. |A∪C|=|B∪D|
% y5 n: u  X1 f# G, ]- JB. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
( s0 ?( J# ]* @' `D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
: q$ t5 O; Q4 ^: q. R5 M5.开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
8 z' }  M% K4 p2 r2 c& A  rB. 开集
C. 非开非闭集
- w* {& e! A  K5 m6 ?4 wD. 既开既闭集
多选题
1.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^-1(f（A）)=A
1 I$ `8 g: v* R- e& fB. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
# l4 I7 L/ X; `) y) I& E2.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
- l0 K( b9 Y& X, y2 z1 ~% LA. f在R上处处不连续
% _0 v5 d8 X; ?7 q3 BB. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
; B8 ]9 H9 s7 ^' {1 v5 xD. f不是可测函数
$ s" l2 Z2 Q1 ]& [+ }- i: D1 F3.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
" {4 y8 L! d. ^& IA. 广义R可积
B. 不是广义R可积
. o2 g: g# d+ k9 h4 EC. L可积
D. 不是L可积
4.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A. f+g不可测
/ v/ w; g( d7 i9 _5 M9 C& UB. fg不可测
C. g^2可测
5.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A. 有界函数
B. 可测函数
- h; {# f# J4 @6 ]1 k1 {& C- CC. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
6.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
: w  U) s/ G& `- ZA. f可测
2 r+ j6 o7 u9 iB. |f|可积
% O0 L' J- S! p3 M/ L, |C. f^2可积
- F; k4 o0 u& v" k' D0 X9 P/ M# z# L2 xD. |f|<∞.a.e.
7.若f∈AC[a,b]，则（ ）
+ K  ~+ z) @; w( E  J( i/ mA. f∈C[a,b]
B. f∈BV[a,b]
C. f(x)=f(a)+∫ax  f "(t)dt
' ^1 c7 A+ X+ i$ D' |+ ID. f∈Lip[a,b]
8.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
% V0 t* h0 z1 O0 O+ P. SD. max(f,g)有界变差函数
0 [2 e2 K1 T% T! u1 A判断题
# q+ l8 G7 Y, `* d; y1.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
& w$ C& V. I( d$ y  G- n8 vA. 错误
B. 正确
2.f∈BV，则f几乎处处可微，且f"∈L1[a,b].
A. 错误
; M' h2 r, R$ p5 c; j9 Z( }B. 正确
3.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
: L2 @$ m/ [/ p8 B4 @2 WA. 错误
B. 正确
' d* P  m9 y+ n; e+ l2 j4.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A. 错误
, v8 X1 ]3 ^3 r! Q" B/ t  D6 BB. 正确
  B$ z% ?! a/ y7 s. }0 \5.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
1 x& [+ {$ p" J- F1 ^/ }: lA. 错误
, n. t: Y, s% FB. 正确
6.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
7 `7 k1 q- C$ S! F" MA. 错误
( M# [0 X2 _/ {4 jB. 正确
7.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A. 错误
( f% K/ U& e" @5 ~9 H% bB. 正确
, L, s7 \) T# c; d# o4 x3 ^8.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
9 r' b+ Y$ O' e: W& A3 h- P3 A9.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
0 d6 D& T! ?& v  ], H) V& _A. 错误
B. 正确
10.f可积的充要条件:|f|可积。
  w; G+ Q: C: A0 o4 tA. 错误
B. 正确
9 y/ i) X; U, C! a! J11.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
2 T3 n2 \' j! W3 T2 YA. 错误
9 \, X# P) |9 s2 q5 ^% dB. 正确
12.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
2 g9 r/ b1 Y/ |+ K& C9 BB. 正确
0 W! T; A, u+ b13.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
0 e3 G% [$ a& B  }4 t6 c" [A. 错误
B. 正确
5 I; J# `. a5 n3 o8 _" h" m. E! @14.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.
( Z8 e$ a3 ~$ Q* `: dA. 错误
6 |& U% L) Z0 o0 DB. 正确
15.f为[a,b]上减函数，则f"(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
16.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
5 U5 b; L. c7 L, ^A. 错误
B. 正确
. x0 g3 P6 E) K0 p17.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A. 错误
( ]* T6 Y8 C" |6 OB. 正确
18.零测度集的任何子集都是可测集.
4 I4 S; D/ C1 HA. 错误
B. 正确
, o3 @' i6 E& a# p19.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
20.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
# D/ H& W) r! c. qA. 错误
B. 正确
( G- Y0 o8 \) o; C' U9 ^9 j/ [9 s6 i21.若f∈BV,则f有界。
5 @- y0 _, o2 ~+ J% f3 LA. 错误
B. 正确
% k2 B- n) X  `& T" m) ~' h22.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
1 Q7 C& J* W8 o  {5 j" }+ e! TA. 错误
/ a, x/ O4 K1 U8 eB. 正确
4 n: \3 _9 R; j& E23.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A. 错误
B. 正确
5 f5 H. u$ {; `# u+ V9 h& `24.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
2 |" M' ?; r4 E" DA. 错误
7 s# r1 z; R% b- x0 Y, AB. 正确
25.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A. 错误
8 ^* n2 t4 j6 kB. 正确
26.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
3 I- [5 `; H' F7 T9 R* KA. 错误
B. 正确
: R* O$ n/ c' N- |0 q7 e27.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A. 错误
( o5 n( q+ J4 ^B. 正确
% p$ I& n: `7 P1 G9 O3 r28.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
29.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
0 q; l3 ?. D" C+ U6 n% ]30.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A. 错误
( _' z3 t) Z8 a, x! H3 bB. 正确
9 {5 z1 ^0 t9 q) A9 \31.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
9 O! d5 J; t! r5 R+ C+ L4 R' o9 \A. 错误
* m' a) g0 Q1 j2 }, ]B. 正确
0 ^; r, Y/ P8 P* J: @! U32.测度为零的集称为零测集.
8 n1 ?% [, }/ z, B" wA. 错误
B. 正确
+ {2 @* e) E0 [5 W0 e33.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
6 Q0 W( U; p, c# E; X; B0 b; aA. 错误
  U- y% A# T6 O& B  i/ ?0 {7 s: T; vB. 正确
34.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
6 Q- ~! v5 z2 h  b  o# z$ bA. 错误
5 [# a8 L  X- I- X, Z  L! kB. 正确
35.f在[a,b]上为增函数，则f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
5 d* y0 H" r9 D4 l# s, s* HA. 错误
+ l( i! P' Y) ~5 E% nB. 正确
36.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
: B. W% a8 ?: N; T2 \A. 错误
, _1 z2 r5 L) S! RB. 正确
3 J5 ^8 k: e: _2 p* M7 h" T" L37.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
1 K! d. M& S6 MA. 错误
! X# A# M/ \; t, _8 G8 rB. 正确