福师10秋学期《实变函数》在线作业1

久爱奥鹏晓林

福建师范大学
福师10秋学期《实变函数》在线作业一
单选题
1.若f∈L(X),则
A. f在X上几乎处处连续
2 ~! U0 P! \# H) P& y/ _" jB. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
# |) I: T" I5 j0 k/ u( EC. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
资料：B
$ M- @& L9 e' }; d9 h2.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
6 o/ q9 b7 b) E) W: ^0 H4 @8 sA. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
$ X6 ?) y7 d4 c- e, k, l( ^D. 绝对连续函数
资料：C
3.fn->f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f
: `6 P% c' m7 O/ H9 [B. fn几乎一致收敛于f
1 _6 Z5 E# J6 h" YC. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|,a.e.
( V/ |( v3 J( m% K  f. h资料：D
- u; }% F' A$ U! B4.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
$ y5 L7 a9 u% e, S5 d: s" Q2 E0 ^A. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
2 R$ H4 M" |9 H" p4 v5.有限个可数集的乘积集是（ ）
. |& E/ m7 k% g: J: L" G. GA. 有限集
  Z7 g# Y% v/ X, r2 D( mB. 可数集
+ x8 d. r4 }' [8 [# a5 b  |3 vC. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
# n4 r7 X( U6 O5 ^多选题
1.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
# s2 R- `1 [# ^& ?2 U1 ~9 v  OA. g可积
B. g可测
) ^0 y! M2 P8 T8 {C. g<∞，a.e.
2.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
4 N3 _, ]0 o- ^# e  X/ U' ID. 连续函数
: U/ k  ]2 k" v  I/ y3.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
" K# B$ f- D! v1 ^- W5 r0 H1 [A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
C. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
% W2 B" w. z) A2 y, H+ e4.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
  F; O) V0 h8 V; C$ C3 YA. 有L积分值
$ H: x7 H. i. X# b2 h6 XB. 广义R可积
' q; o( b' p: w( }C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
; }* m( k: k7 ]8 e) D# f7 ]5.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A. f为有界函数
  c6 L3 R) v* dB. Vax(f)为增函数
+ }, L" Q3 R) b& IC. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
9 N& r" \- {1 b& gD. f至多有可数个第一类间断点
6.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
- n  Q' v  P: f. f6 d! }A. fn测度收敛于|f|
) M0 q& W( b' LB. afn+bgn测度收敛于af+bg
7 U$ N: F0 D& f' O% ?C. (fn)^2测度收敛于f^2
4 p* D, `( P9 U5 J5 F! v) pD. fngn测度收敛于fg
7.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A. m(A)<m(B)
B. m(A)<=m(B)
C. m(B\A)=m(B)-m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
8.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
) A& L' \8 l# m2 f  r$ gA. 几乎处处可微
- o  c/ f5 \! \) H) r& B$ V$ LB. L可积
C. f"可积
2 Q# |$ Z5 Y$ M7 {, y9 XD. 区间[a,b]上积分值∫f"(x)dx=f(b)-f(a)
* q4 E. Q5 U, T  Q* @1 M判断题
1.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
  R& N) T3 S8 \; i  yB. 正确
/ Y: }# e5 i6 P2 f- J2.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
- C' o( Z4 C) P8 k, e, @A. 错误
$ o" }: p$ |/ }7 DB. 正确
0 G# B( M( ?+ `. [, ?# A5 ?% S3.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A. 错误
) l0 n: d: t& kB. 正确
4.可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
& Y6 q+ f& |9 U# |! {8 wB. 正确
! j4 }; A. l3 X) X5.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
; K# S! n7 B. W, x/ ^& O& |A. 错误
, C! o: W8 w) X* O$ ZB. 正确
6.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
7.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
1 ^1 h  V3 I& e9 m: U6 tA. 错误
6 Q5 C( M* C* D4 E$ ^5 mB. 正确
0 _8 z5 Z6 Z, r) t! V% d/ V8.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
, r' L, k  c9 A9 t+ q3 {/ XA. 错误
B. 正确
9.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
$ d! D9 j5 M* R. LA. 错误
B. 正确
10.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
1 K+ C+ O/ ]( k* R  X  C9 eA. 错误
% V) k4 G8 U& M! h6 J. r5 EB. 正确
11.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
. @+ M) E! n; q' R' AA. 错误
& X/ ^/ D( x& u6 O. c! }* OB. 正确
6 x! Q5 d& P. j' n12.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A. 错误
B. 正确
13.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A. 错误
4 _0 O0 U0 w, IB. 正确
' E/ u$ u# a. @. \8 P7 m' i. e14.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A. 错误
/ i  _4 v8 v5 ^, B+ w4 nB. 正确
15.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A. 错误
( @9 Z/ p  K. EB. 正确
6 G2 @9 x' g; x2 M16.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
$ R; E$ O5 C* x) I9 p; aA. 错误
. S: m/ \8 W, ^" JB. 正确
17.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
- e7 F& s' H7 S0 U" K9 Q* EA. 错误
8 Z9 p% k( I6 h! U/ NB. 正确
18.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
6 m0 z! M5 r. m5 u2 rA. 错误
* z# t! J$ T9 ZB. 正确
5 u8 e9 ]* _4 r+ ~4 i, q; h2 h# S19.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
* o* n* p3 }2 A: v* i20.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A. 错误
& B- x1 b  c5 P( }. y- S1 OB. 正确
6 ?" }/ |4 B2 V8 {9 z$ f8 G4 X) ^21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
. N- U; u) {' H7 {A. 错误
) i5 U' F/ O3 ]6 rB. 正确
22.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
0 E" P& @; J; E7 HA. 错误
B. 正确
23.对R^n中任意点集E，E\E"必为可测集.
A. 错误
B. 正确
4 @8 z, }6 J: J4 ^$ Z24.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
, j4 h* {1 }: ?- Q4 a: ^A. 错误
B. 正确
! U! i" S8 u2 d( W& b2 h25.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
6 j& b# L0 @$ Y; D+ M! O$ @8 h4 b; ?A. 错误
B. 正确
1 c& M: k2 B+ z" P26.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A. 错误
/ M3 K8 q0 a$ o: F8 ^B. 正确
27.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
! U* M& Q! v& @4 U; M$ Z, oB. 正确
28.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A. 错误
B. 正确
29.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
5 a& @- s# x: g. qA. 错误
) U& d6 r& J/ B3 R; `6 P! FB. 正确
30.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A. 错误
B. 正确
( ?( a% P2 t' V9 x. ^31.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A. 错误
, Z% ^. y  W1 G! ?0 M9 TB. 正确
32.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
9 w# B  V8 m6 |: P3 DA. 错误
; z4 j/ Z1 m5 {# c- T, P1 EB. 正确
33.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f"∈L1[a,b].
! p2 d% c' d0 PA. 错误
1 o. o! Y# w8 XB. 正确
34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
4 w: ]8 g2 o/ N% l2 p& SA. 错误
B. 正确
35.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
& Y$ j5 J3 a6 kA. 错误
B. 正确
8 o( z" ^2 [: E- N/ T' ^36.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
; w% {( w4 k2 i/ c" Q/ {2 j; Y% y! L, iA. 错误
2 F5 g0 p& q* ?/ E7 P6 x1 BB. 正确
* T& X8 V1 S6 L* `' u37.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
1 K% q* R  b% EA. 错误
B. 正确