福师10秋学期《实变函数》在线作业1

久爱奥鹏晓林

福建师范大学
0 a4 q0 z  o; E% D, G福师10秋学期《实变函数》在线作业一
单选题
1.若f∈L(X),则
3 H! d, P) l/ D; t1 qA. f在X上几乎处处连续
* }! P/ a! r+ o( xB. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
& ^% x& M1 d' q, c$ ~( {$ D7 r4 {5 cC. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
# `- P6 O0 m- \5 {资料：B
5 o+ K% D- c3 L3 a) ^2.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
; j( F. w8 T+ ^& C8 X! {: d6 w) I0 IA. 连续函数
* ~, p* }; m+ n4 ~B. 单调函数
; I2 T6 ^& q& N+ RC. 有界变差函数
* T! x4 W& R2 i0 FD. 绝对连续函数
$ C5 w; s# `0 `7 |! p  T  j+ Z( M资料：C
3.fn->f,a.e.,则
7 @3 w3 r5 f9 H5 `A. fn依测度收敛于f
  }- d& |2 n$ k0 K6 }B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|,a.e.
  p. x; U8 B* ~7 R5 T资料：D
+ T! Y& L# D: A0 R$ W, [8 z4.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
+ s, k8 a8 P! H2 v  u3 nA. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
5 ^: |- C' Y& z3 |5.有限个可数集的乘积集是（ ）
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
% y8 {$ l5 i8 L% }多选题
' Q7 t5 P2 a9 u8 M7 N1.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
; u2 A7 D3 j, r! Z& p' N. v2 U8 NA. g可积
B. g可测
7 s, n0 {2 }& W: i# B. w9 _C. g<∞，a.e.
+ D/ Q2 _# _+ l* M- }/ i! ?$ T2.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
" ]* v2 h- V$ K  b' b3 RB. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
3.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
. n& f" b5 C+ QB. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
C. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
4.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
9 R* {; t0 a/ p% Y5 W1 T2 E6 }; YA. 有L积分值
) W, M, D/ C# C# s0 I5 IB. 广义R可积
9 h5 c0 N! N; T6 H6 R5 _C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
& T8 z: W9 @. Q. q5.若f∈BV[a,b]，则（ ）
6 V+ W# u3 x  H8 ?0 ?A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
, F8 ]! w/ L  c, {" U( C3 oD. f至多有可数个第一类间断点
) ~% f  \/ A7 e9 N: ]  h) K6.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A. fn测度收敛于|f|
: R' ^5 W8 R1 F2 N. CB. afn+bgn测度收敛于af+bg
  R7 O$ I6 c( o* k9 ?9 u# `C. (fn)^2测度收敛于f^2
; L! }9 [5 Z! T6 l; |D. fngn测度收敛于fg
7.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A. m(A)<m(B)
% `1 P8 E1 r, @5 ^5 `B. m(A)<=m(B)
9 d2 ^8 b5 L- \' I* KC. m(B\A)=m(B)-m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
8.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A. 几乎处处可微
9 S4 S. v% T/ a# M* |! z& t: [8 H8 TB. L可积
C. f"可积
D. 区间[a,b]上积分值∫f"(x)dx=f(b)-f(a)
3 p. J/ Q# [9 _, u9 u判断题
1 q& V% I: L' j$ M* A4 v, \1.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
9 K; l  X# D7 g( N9 i* n  q( vA. 错误
B. 正确
2.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
/ u+ a3 e: X5 X* E6 G7 X" GA. 错误
# ~) [: ?2 H1 [  K, ?# O- G: T4 BB. 正确
3.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
4 J. `% U+ i- S3 e5 p6 V8 GA. 错误
B. 正确
2 E5 y: m- _" h" t. w# k- ]' ^+ C1 G1 G7 v9 v4.可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
4 O7 o4 S1 J1 X, D5 l( ], ?. a- x1 N5.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
3 I5 [9 o1 U" c3 CA. 错误
B. 正确
6.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
, Y7 A+ n" m( u7 ?3 ~2 I% `$ eA. 错误
$ n8 S$ X* i/ Z4 b" a: FB. 正确
7.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
. i; p) |9 ^) K4 k. c* uA. 错误
B. 正确
8.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
) K  u0 P+ Q' ~  K- Q7 G- s$ s/ pA. 错误
B. 正确
9.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
) ]0 }' C- X4 j: t4 xA. 错误
/ f; b% w7 l( D4 l0 O* x5 C" xB. 正确
; A1 c; r9 i6 r+ ~10.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
11.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
) M" |0 U  ~. w* }7 SA. 错误
B. 正确
& U" W( C6 c  d4 ~12.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
+ L- A" S$ R3 W( w1 s/ LA. 错误
B. 正确
+ {2 z2 Z7 I# f9 _/ l) z, N13.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
# Y* f0 ?: l5 Z0 K2 pA. 错误
B. 正确
" A4 A3 P7 |2 A' O; D+ S" I6 @0 m0 \14.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A. 错误
B. 正确
15.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
+ _" u; y4 }, R6 G+ s* TA. 错误
9 K# T/ _9 f7 MB. 正确
/ t5 |2 I' h) L, @: l: J5 @16.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
$ d  n; c6 b1 K1 ^A. 错误
B. 正确
: n( H$ c$ A4 r8 Q, b* ]8 E17.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
! e+ D1 ~* ~2 y; dA. 错误
! }! @9 {! T8 X& h2 F& z8 p: gB. 正确
18.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
* e1 X0 b& R, I& r+ u( nA. 错误
B. 正确
19.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
6 e) F* E' L: u4 }: M7 s: uA. 错误
B. 正确
% r0 u8 }: t( d, l  I) D; @5 [/ b20.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
9 q0 Y1 G( @  }$ Z, zA. 错误
B. 正确
21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
) u1 W3 m5 J. f7 x1 l1 sA. 错误
B. 正确
22.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A. 错误
B. 正确
23.对R^n中任意点集E，E\E"必为可测集.
A. 错误
: Y2 X. p" z5 ^B. 正确
24.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A. 错误
B. 正确
25.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
; m: u9 K1 G6 [6 vA. 错误
B. 正确
& Q7 w" W( h4 p5 _: p9 p9 ]26.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
0 _: O6 _3 t! }. z% h/ O' O' LA. 错误
B. 正确
! j8 z2 v! q; Q; G2 i' T27.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
B. 正确
28.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A. 错误
B. 正确
29.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
% ~0 ]2 v7 v% Q8 }/ JA. 错误
B. 正确
30.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
& o! ~4 X$ g/ M. LA. 错误
B. 正确
31.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
- [" U# d+ ]( I% x1 {" F' aA. 错误
+ a& z" W1 Y: m) PB. 正确
32.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
& W2 C" Y8 j2 x4 }' l$ m0 FB. 正确
3 w, H; D# P3 F1 g: @3 M33.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f"∈L1[a,b].
A. 错误
2 M. ?2 \* b+ s$ O9 |# ~B. 正确
34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
; S1 l- C; u: NA. 错误
+ {0 Y/ ?  F6 n5 P2 t1 sB. 正确
35.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A. 错误
6 x/ o& m2 k, q9 }/ bB. 正确
36.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
$ y  C* ~; _1 HB. 正确
37.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
: I( n4 a: `1 @$ sA. 错误
6 [8 h, Z& g& F. O  AB. 正确