福师10秋学期《实变函数》在线作业1

久爱奥鹏晓林

福建师范大学
福师10秋学期《实变函数》在线作业一
4 c2 t; T* P. j$ v4 ]单选题
1.若f∈L(X),则
A. f在X上几乎处处连续
B. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
- U' H) H% T8 |$ v9 a! |& Q9 ^C. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
) @8 T- X2 [& S! R资料：B
) z/ d- R7 y3 H0 e2 t+ u% O. d$ D& E2.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
, S- t+ \% X# x! s  lD. 绝对连续函数
- O& D' f+ e, l5 U资料：C
3.fn->f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|,a.e.
1 S# K# T2 ~. |; |& g  p# m; J资料：D
4.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A. mE=0
0 I2 B: d  i: A+ CB. 0<mE<+∞
7 ^7 U5 R3 j6 H: C: o) t# HC. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
5.有限个可数集的乘积集是（ ）
! q- i8 w; e/ m2 d8 X- @6 WA. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
1 Q5 G# b( R1 m# p' P& dD. 基数为2^c的集
多选题
3 X& m" Y: v. Y1 I1.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A. g可积
6 N- P7 z" g8 r  M/ [" wB. g可测
C. g<∞，a.e.
2.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
" l& e; ~4 b8 a& L% z! qA. 是L可测函数
& e  e& g" M5 M: y" X& S2 k) @' ~( v0 oB. 不是L可测函数
  G" B* d9 A+ |6 I" F( y! O8 [C. 有界函数
. |3 z0 R7 \, ^1 d0 a! u' \D. 连续函数
- Q4 j+ {. n7 W: V& t3.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
; y; K2 o; m' D% m" }! e* M+ BA. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
C. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
4.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
5.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A. f为有界函数
/ q8 ^( I, L# EB. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
) i6 D% L( d% w; @; j8 I0 ED. f至多有可数个第一类间断点
. p7 p( g! s, O2 s+ W: l9 {1 o6.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
8 D$ c! E3 ?3 R! e# ZA. fn测度收敛于|f|
) k" b) W! h1 @& i+ T. Q; `% |, ?B. afn+bgn测度收敛于af+bg
+ I$ ~9 j, l) g0 C) v, v. O) S6 Y# N8 ^C. (fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
7.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
& B6 ]& Q- t" ?& n/ _' o; ?A. m(A)<m(B)
B. m(A)<=m(B)
C. m(B\A)=m(B)-m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
/ [! N- A, P9 W( d+ z( k8 T8.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
) t% t0 ?- f  W$ x8 aA. 几乎处处可微
B. L可积
: z' s/ E7 ~# J$ x! u% EC. f"可积
) O: h5 L# P! S8 tD. 区间[a,b]上积分值∫f"(x)dx=f(b)-f(a)
2 L2 O( }: R3 C( n7 x. d判断题
1.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
B. 正确
) x# }* _1 h" \7 b, t2.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
* l5 J) j9 Q5 S  d% cA. 错误
B. 正确
3.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A. 错误
1 X! a5 ?) t4 J6 {- Q& `4 rB. 正确
# u9 U! X7 Y; v. k" O$ N4.可数集的测度必为零，反之也成立.
* r0 Q7 A& k1 I# AA. 错误
B. 正确
" Y2 b: I2 A- R6 N9 k5.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
1 W: H/ L3 V8 Q# i, QA. 错误
B. 正确
6.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
, E7 {3 F2 K0 T& M7 {: {9 DA. 错误
B. 正确
( l/ C, t% r, s& z' ^8 s) [6 R7.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A. 错误
B. 正确
8.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A. 错误
  h7 ?: }3 l7 |B. 正确
9.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
" e$ ?' U$ ]- [' p* ?% MA. 错误
, W7 C% m5 f# X! |B. 正确
1 T& p* _* {6 V& o% f/ r10.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
5 k4 ^/ X% {* R, ^. \3 RA. 错误
1 Q! {' M. M/ B& BB. 正确
11.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A. 错误
. c7 }6 W- A+ T( z6 p' m( u) A/ c2 yB. 正确
12.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A. 错误
7 |3 G! V: J( q% o7 _) D1 `; l9 sB. 正确
/ s! x: l0 y+ B' \13.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A. 错误
B. 正确
14.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A. 错误
B. 正确
15.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
7 O" `- O* I& V; `& XA. 错误
B. 正确
1 E& N1 y, t& J: f9 I16.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
A. 错误
  V) @, W/ o' s0 W4 S& m, AB. 正确
( B) i+ J7 W8 N) R+ W2 }17.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
* `& Q. Q0 G! t; \0 O, uA. 错误
2 x  W' g1 L- f% x' y9 [$ L# {B. 正确
+ @5 W4 q  Q- `% v18.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A. 错误
/ U( Y# }; w# l9 I  H! SB. 正确
19.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
# |. z1 u, G+ D' }1 z  _7 ^4 iA. 错误
, @  ]( _4 l3 e7 iB. 正确
  u4 ^; Y5 t' {20.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
( ]& ^, ?  I# C- S9 r6 r; G) _A. 错误
& m! ?9 u! h8 `; h) YB. 正确
5 z+ L" L$ a. a& x7 _21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A. 错误
: [& H" h9 x/ GB. 正确
  _  T' L- e3 w7 o# z1 Z22.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A. 错误
4 Z8 z0 M( [$ F  r. _- yB. 正确
3 v0 x0 |# k, h1 W: |/ A6 t+ p6 b23.对R^n中任意点集E，E\E"必为可测集.
A. 错误
  R! h2 u+ Z( @6 f1 o4 Z8 ZB. 正确
) \+ L5 W; s) b2 V5 x2 G8 I24.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
( u) }$ \3 [, i; A; AA. 错误
8 `/ v/ k" U$ ~1 b# p; eB. 正确
25.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
) k( G( F. ~0 i% aA. 错误
' k' t, f* k7 N; W2 l! H$ P6 e  @B. 正确
" H7 Q' F& ^, t& M, |26.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
, q% l7 |" }; [6 `3 z/ T- IA. 错误
- U% _- R  R- q1 Y9 UB. 正确
27.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
2 N8 B# C' ~# U0 H( @  |4 lB. 正确
  T% g# Z  s2 l% U! \. v' |% f28.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A. 错误
- P$ T% @6 ?" J& F; q5 \3 HB. 正确
29.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A. 错误
2 `/ M6 @  q* `# R1 W' n7 a5 F) A+ pB. 正确
30.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A. 错误
B. 正确
6 k; {' Z- q, i3 P0 f* h6 B' j31.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A. 错误
  j! i' L: n+ _% o' q7 @B. 正确
8 l( K- L" i3 l1 q1 `32.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
  h3 ^6 s4 ?9 g' t33.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f"∈L1[a,b].
A. 错误
2 O9 `1 l! T( i: I- P" d4 h# ^; hB. 正确
, X2 U7 s: _1 t. D34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A. 错误
B. 正确
) L/ f# K: {' m' W( y" @% Q35.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A. 错误
( [" t1 g+ d  M" dB. 正确
36.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
  k$ y5 B( C0 z/ K! e. nB. 正确
37.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
. r. W' F0 u. Q" c- bA. 错误
B. 正确