福师11春学期《实变函数》在线作业一

久爱奥鹏晓林

一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）V 1.  可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
( h, ^9 c: I$ d$ G# S* P" HA. 错误
B. 正确
, |# X2 f& z  K1 h) \) w      满分：2  分
2.  若f∈BV,则f有界。
A. 错误
B. 正确
  p! M: @, Y3 _9 c1 i/ {8 }      满分：2  分
+ p  E1 o  N. s3.  对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
3 P4 _# P  s* s/ [A. 错误
B. 正确
+ u+ W# w, q% }8 V  E& J% ^4 v# b      满分：2  分
4.  L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A. 错误
* \" ~$ ^, R$ N3 O2 r9 w4 j& m9 I2 }0 xB. 正确
, H# B# [. q' q3 B2 z) N& p/ w      满分：2  分
5.  若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A. 错误
+ A, Z4 H+ B; y; KB. 正确
  b5 E3 T6 v6 t      满分：2  分
6.  若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
7.  L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A. 错误
! p! l* p3 d* M+ Y$ Q1 K8 p4 GB. 正确
      满分：2  分
8.  f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
7 _# W- t. Z- c3 P1 I& N# r      满分：2  分
5 ~' i; t9 D0 _7 V/ }) G+ j9.  测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A. 错误
B. 正确
/ P! e4 N0 F; q* ^4 x      满分：2  分
" w* ]) p, v/ b, E+ b, p6 D10.  若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误
B. 正确
6 A% |; P6 c7 \      满分：2  分
11.  设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
1 Y" g( j3 h3 i2 T9 a% NA. 错误
+ \6 P' O- u7 I: l+ Q; N0 {B. 正确
      满分：2  分
5 V# |- v- |2 `: ~2 l! Y- ^12.  函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
! g1 g$ c$ `& ~* i8 C0 b7 GA. 错误
B. 正确
# L* d) D/ k, c' l4 r' n      满分：2  分
13.  若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
% E9 S! x: `5 k# Q8 W3 {B. 正确
4 W7 X, {+ p4 `, q      满分：2  分
# d2 [$ I, H- a& v* N7 b: e* L+ p14.  增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
* L" f2 ]! Z" T' Z2 FA. 错误
/ q5 ^$ |* S% ~8 `/ zB. 正确
% c* L7 A* m, b! `4 Q# o      满分：2  分
2 l. c) u- U3 H+ s, D15.  不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
+ Q9 l% o% M7 y$ u8 d' [A. 错误
' Z. W8 p7 {1 o, xB. 正确
5 \2 I$ f7 s4 F4 A      满分：2  分
& h  F0 ]2 o* e+ y  S1 ]$ y/ u9 q16.  一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A. 错误
B. 正确
4 L0 C% w1 o! t* H1 w7 H; w) J! O+ V      满分：2  分
, I' `2 l1 n2 p2 K: e; ]$ P  ]4 O. L17.  三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
& M+ p" C! X6 n/ y6 aB. 正确
- E$ I. j/ c, R! S9 O2 S      满分：2  分
: ~4 }, U2 Q4 i% j$ M18.  可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
# x0 N$ C& y+ P! h+ g  f* n19.  若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
/ a# d1 Z2 j( S% |" |" A4 f. NA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
20.  设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
$ b5 P: F! i5 y( Y+ e, @1 f: hA. 错误
B. 正确
0 ^4 m" {4 m4 Z0 @      满分：2  分
21.  若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
" r* g5 m; C8 |4 Q* N$ N5 AA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
22.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
. H9 \. G, y+ ^$ s( X; ?( VA. 错误
B. 正确
" Z3 Y4 H9 ^7 D  _0 G' z0 `4 |      满分：2  分
; }" X2 x+ C  d23.  存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
8 ]3 V: B2 @( t3 J; u! r0 KA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
# q% {4 G$ L  q  q5 t0 O9 V' S" B/ K* |24.  若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A. 错误
. m9 s+ p. A1 m6 JB. 正确
      满分：2  分
% _9 P: V9 `/ A. Y# X25.  若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
5 @( F* R2 r5 wB. 正确
      满分：2  分
9 ]6 `+ J6 ~2 S: J/ [26.  若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
' u) C, _5 U, M( ^27.  增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
7 L6 z. v# p4 y- [( o4 {! tA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
28.  函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
( ]4 |6 v. S; X! A) A7 U# \& A, TA. 错误
6 y1 q/ u( N" e% z) G+ @. z; u  ~B. 正确
      满分：2  分
; L. E4 C2 v7 E0 w, s29.  f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
A. 错误
; U. k: W# p# Y. V' ^B. 正确
* {. A4 l! l! r! g3 E      满分：2  分
30.  f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
3 g3 E- ?2 X. p+ d" W3 m      满分：2  分
31.  若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A. 错误
B. 正确
+ x6 z6 Q7 j& ^* _% L/ O      满分：2  分
1 j% F/ D2 [' I, ?& J$ K& m32.  当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A. 错误
4 ]* a- w$ z* F4 W) ^3 n1 k2 PB. 正确
      满分：2  分
33.  若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
9 U. l0 V* c8 ~5 S! r* D  ^7 ^# U; ]2 p1 u34.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
' F- k3 J# ^" G( I  i35.  f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
. f/ s# A, h8 |. P/ k* mB. 正确
      满分：2  分
36.  闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A. 错误
& |; Q8 u2 M* g& E) X) d2 uB. 正确
      满分：2  分
$ m" y( c1 x# j, p1 l; v37.  f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
; f+ I) b1 Y3 W- ^7 R- |* OA. 错误
B. 正确
( m. t8 o6 T/ o+ ]) m' f8 D      满分：2  分

二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）V 1.  在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
% R7 ~/ t2 _0 S6 u# MA. mE=0
$ g+ _% c8 H: @, l  f5 }& OB. 0<mE<+∞
; u1 ]8 i$ q1 ~" i& p0 ]- _- bC. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
      满分：2  分
2.  开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
& M* @6 D- ~  u, V) h( d$ y. H, }B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
/ o4 v$ l" k! d& M# ~( L! B      满分：2  分
$ @. U, c/ K0 B! o  q- I* N3 B3.  若f∈L(X),则
# I4 M' s8 Z& w9 W7 w0 x, a* R. AA. f在X上几乎处处连续
B. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
C. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
% Q$ {0 @- w& Z  X! x      满分：2  分
4.  若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A. |A∪C|=|B∪D|
B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
' `& v. @! t: l- ]# E7 cD. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
      满分：2  分
: z( s2 d4 z5 V1 E8 v5.  若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
' t- W7 o" i. ^, ~/ P2 x3 ?B. A为开集
C. A为孤立点集
3 u1 h9 l" W# x8 z: ~; U6 l) uD. A不完备
      满分：2  分
5 b" G1 _3 N9 t" O
5 v" V% r0 l# Z% X0 \# K三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）V 1.  若0<=g<=f且f可积，则（ ）
4 [- `( k  M/ p6 uA. g可积
1 e( B8 f8 ^0 V# Q. }B. g可测
C. g<∞，a.e.
; u5 x6 V9 G. R7 B: b' gD. 当g可测时g必可积
) _' P/ Q9 x$ z. D# y6 L( [! I9 x      满分：2  分
2.  f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A. 广义R可积
B. 不是广义R可积
$ n% T1 j! O1 l( MC. L可积
, n+ [* L  T, D+ V7 g( jD. 不是L可积
      满分：2  分
: `4 \, I9 P, q2 |0 p6 O/ v3.  A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^-1(f（A）)=A
6 \. O9 N8 L' u) m( r9 T0 Z1 G/ wB. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
      满分：2  分
2 z8 O  ?* q# J1 |4 b4.  设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
& y) n& A2 D! s9 dB. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
      满分：2  分
- i, S8 a& H' r& H7 l- u" @# ^5.  设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A. 有界函数
B. 可测函数
  \! L- `6 r% ~( Z0 V6 m; {$ G$ PC. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
9 H' N. R+ h' M0 I, Z" y# O% G      满分：2  分
6.  若f∈AC[a,b]，则（ ）
A. f∈C[a,b]
B. f∈BV[a,b]
C. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
D. f∈Lip[a,b]
1 g2 G- O8 O. [- @      满分：2  分
7.  在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
  L2 G9 G8 `2 p: z7 sA. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
' l  U4 T- }$ V: G  ^D. f不是可测函数
/ z) ]& p  h! ?      满分：2  分
8.  若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
8 s- w) |. ?% ?  SA. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
: o2 K+ B0 {' l: x3 f* BD. |f|<∞.a.e.
      满分：2  分