福师11春学期《实变函数》在线作业二

久爱奥鹏晓林

一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）V 1.  测度为零的集称为零测集.
A. 错误
B. 正确
+ O$ ]2 A% @' B& G! M- X  P      满分：2  分
! c) Q1 x8 X2 ?! T' `. L2.  f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
9 Z+ R! f0 S% c4 T# D2 ^8 ]$ i- KA. 错误
B. 正确
3 J( z1 r* n% w3 ~      满分：2  分
3 y9 V2 f0 \6 Y9 ^3.  存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
1 q4 F* i- h0 ?: T$ ~& ^B. 正确
      满分：2  分
( N4 b% F5 x' J9 W6 D4.  函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
6 T! |( u1 l8 b- l5 w" _B. 正确
( O  B$ ^* h/ [8 @      满分：2  分
5.  集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
* t$ g  u& ]9 ?& i; f0 A/ }7 MA. 错误
: v, ?/ z& {* @B. 正确
) j) D0 O- S  U+ L, k      满分：2  分
' s: J, e& @3 s5 s9 W) W# L6.  增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A. 错误
4 x  B6 a# {6 W, J3 D+ U! NB. 正确
      满分：2  分
7.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
$ E0 r& R/ p  `7 S" m/ l: O: RA. 错误
! N( d( Z3 s0 `; TB. 正确
      满分：2  分
. [0 l: y  h% P8.  若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
  ]" H5 B- h+ K4 M& q8 @/ w2 K% mA. 错误
B. 正确
5 V2 t$ `7 C" q+ i1 S5 c      满分：2  分
9.  增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A. 错误
B. 正确
" _; J& O) N" [4 K      满分：2  分
10.  f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
0 g" C1 }; m6 O/ Z; _3 HA. 错误
" @9 ?. O1 Z! u. l; O( ~! _# e  A2 rB. 正确
* ?, t, y0 h* w$ I7 L. T# X      满分：2  分
11.  可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
- {% D0 x! l* r+ D/ E% t6 j      满分：2  分
12.  f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
13.  f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
1 Q: m- G4 W' HB. 正确
      满分：2  分
14.  有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
' ^! h& g$ t0 S& |( XB. 正确
      满分：2  分
15.  设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A. 错误
3 X+ k0 d4 f% K! N6 [$ y. Y- k; kB. 正确
      满分：2  分
. N) k9 O1 t+ ^$ d16.  一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
% l: K- O& Q1 U! w2 _A. 错误
B. 正确
) u6 v% P5 z+ K2 e# t      满分：2  分
# k: J5 `# q) |3 F# x: b) I17.  不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
6 F5 Y/ k/ T, Q: T# IA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
18.  若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
A. 错误
B. 正确
6 V# \# e$ I" n8 W' G4 t      满分：2  分
19.  f,g∈M(X),则fg∈M(X).
/ R) I/ u% X/ X0 Y3 u; VA. 错误
7 _+ ~0 c* e0 `$ ^, OB. 正确
      满分：2  分
20.  若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
" e8 y, n$ I% a8 I9 P) f) Y3 Y  N6 eA. 错误
( u3 [& c9 W( U& F! E- k# j1 YB. 正确
7 {2 T1 \' s; s5 n: p# [0 b5 L      满分：2  分
21.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
( e9 m- l% c% o: H& _+ u7 k# lA. 错误
B. 正确
: u( f5 ]) j/ I! e! C2 S      满分：2  分
$ W( e& Q+ D9 n7 M22.  若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
23.  对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A. 错误
B. 正确
( ]! [1 g& k; ?( v- M# F: J      满分：2  分
24.  若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
7 Q0 h! y* h# A# z; w6 GA. 错误
; X, i! n8 ~9 N# f5 ]: wB. 正确
; ~( j; S" d  ]) T      满分：2  分
25.  f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
+ u6 K  s2 K! m: v; |A. 错误
8 e' S) R: [' C( _( M6 J4 _9 lB. 正确
* O* A1 w- n" @/ U' @      满分：2  分
26.  若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
& @; a6 Q& I- {$ `( n  B2 M/ h& H' TB. 正确
5 S3 J4 J/ N" h      满分：2  分
27.  若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A. 错误
# j( {  I* @/ i! bB. 正确
& ]4 K* q5 W" p6 m9 n0 b& ~      满分：2  分
  ?, l" w  t  m+ O, ~8 S1 f) r9 x28.  绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
8 Y0 X+ l& H3 u. g) kA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
29.  积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
8 j+ \& n. V. k$ k30.  L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
0 h) x$ X0 O0 |* g# h3 z* Q1 YA. 错误
B. 正确
  b1 `4 [$ `$ i' [2 ?$ d# _8 ], s      满分：2  分
31.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
32.  三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
  ~0 j/ v) c3 o( @8 tA. 错误
+ @- _, c# n+ W. S9 l$ RB. 正确
5 G3 I; p0 R8 k: k      满分：2  分
33.  设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A. 错误
: ^3 q8 |+ @) R0 wB. 正确
! d. c3 a. A9 ?6 y5 h      满分：2  分
34.  可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A. 错误
B. 正确
: `% }6 N3 Q1 U) |9 l: u      满分：2  分
35.  连续函数和单调函数都是有界变差函数.
' G5 E2 |0 N  m) E" lA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
  D7 @3 z1 Q$ d1 y: _36.  f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
$ h, M. X& L1 s' R/ |      满分：2  分
37.  当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
2 B1 k) N& p( F: m- }A. 错误
B. 正确
- e  z; U' r4 F3 u* a1 t      满分：2  分

$ x- W/ d9 M0 @+ n( @  u% u二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）V 1.  若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
B. A为开集
' u( D8 j/ h* g) U' O" U. VC. A为孤立点集
D. A不完备
9 Z: m5 H  b2 Q      满分：2  分
2.  fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
8 b9 C' E2 R2 x' N- o* QB. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
+ P' M9 M  G: x) o3 H, ?# ~      满分：2  分
- U( \$ {( k( Z# G8 E3.  fn->f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f
0 }: r8 K# f" q) KB. fn几乎一致收敛于f
# `7 K1 U# D8 TC. fn一致收敛于f
+ C7 E/ B2 @  s3 }. q1 ED. |fn|->|f|,a.e.
/ I  u# ]" e+ T( k% u7 v+ q      满分：2  分
4.  在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A. mE=0
# o- ^8 R" Y- @B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
' ^5 Z. I6 ?% c4 p) q5 y; _2 G9 F6 @# VD. 0<=mE<=+∞
      满分：2  分
5.  开集减去闭集其差集是（ ）
/ A3 j9 k) w% U  D" E2 G+ f* _A. 闭集
B. 开集
/ m. G$ V, M5 c  b4 ~C. 非开非闭集
: c" l" `' p$ U* Z3 D) x/ p  P& WD. 既开既闭集
      满分：2  分
0 c1 l/ S! @5 m6 H; c3 p6 G
三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）V 1.  若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
      满分：2  分
- o3 ~! _3 P0 c$ A! U" L1 W5 i2.  设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
+ }) d. C) Y' c, H$ m) K* l, \5 K& xC. 有界函数
3 Y: a% w! Z( Y. B! M# LD. 连续函数
      满分：2  分
* `$ K: V; k( W3.  若f∈AC[a,b]，则（ ）
A. f∈C[a,b]
) \: n0 M4 T$ v9 u5 J1 n- NB. f∈BV[a,b]
C. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
, Q0 ?* H- a3 X; `4 s8 CD. f∈Lip[a,b]
      满分：2  分
' G2 g& }# W0 l* ^7 S/ i4.  f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
, }( @2 ]7 O2 D) H$ u$ |4 qA. 有L积分值
$ G! }# t7 V4 c+ Q; cB. 广义R可积
C. L可积
2 m& f' p& H6 d  O8 K. m5 \D. 积分具有绝对连续性
      满分：2  分
9 C8 \$ L) G: D; X5 g1 V5 F5.  f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
- v& J7 R, V; tA. 广义R可积
B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
      满分：2  分
9 g$ S8 D# P" ?( G" s6.  若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A. f+g不可测
B. fg不可测
2 v$ U. k7 }) dC. g^2可测
. [4 @) P6 g7 `# o" A& j1 B, Y% {D. |g|可测
  s- l* B9 B4 \8 R3 F4 v/ I      满分：2  分
4 F! O* I- F0 t$ U) P+ ~# V& j7.  若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
3 d# I  f1 W$ j( M% z7 FD. |f|<∞.a.e.
      满分：2  分
8.  若f∈BV[a,b]，则（ ）
1 }0 _9 q5 {8 z/ @# Y5 [A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
$ T5 L, @+ |/ FC. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
) b5 U! b( l. R# l& GD. f至多有可数个第一类间断点
' H. u$ l7 t/ g" i7 x4 a9 k      满分：2  分