华东石油2011年春季《高等数学1》综合复习资料

久爱奥鹏晓林

《高等数学1》综合复习资料

一、        填空题
1．设 则此函数的定义域是____________________．
2． ___________________．            
3．曲线 ，直线 及x轴所围成的平面图形绕ox轴旋转而成的旋转体之体积 ____________________．
4．曲线 在 处的切线方程为___________________．
5．曲线 的拐点是___________________．
6．已知函数 处处连续且满足 ，则 _________________．
7．极限  __________________．
8．不定积分 __________________．
9．  的定义域是____________________．
            10．  ____________________．
            11． 若 在  (其中 )上连续，在 内二阶可导，且_________________则 在 上的曲线是上凹的．
二、        选择题
1．点 是函数 的（　　）．
（A）连续点；　　　　　  　   （B）可去间断点；　　
（C）第二类间断点；           （D）跳跃间断点．
2．如果 ，则数列 是（　　）．
（A）单调递增数列；　　　      （B）有界数列；　　　　
（C）发散数列；                （D）单调递减数列．
3．当 时， 是 的（　　）．
（A）高阶无穷小；　　           （B）低阶无穷小；　　　
（C）等价无穷小；               （D）同阶但非无穷小．
4．下列各式中，成立的有（　　）．
(A) ；　 　　　 　 (B) ；　　
(C) ；　　　　  (D) （ ）．
            5．积分 等于（　　）．
(A) ；     (B) ；      (C) ；      (D) ．        
6． 曲线 所围图形的面积 等于（　　）．
                ；          ；
；          ．
7．  极限 的结果是（    ）．
                  (A)1；        (B) ；       (C)2；       (D)极限不存在．
             8． 已知 是大于零的常数， ，则 的值应是（    ）．
     
9．下列函数中，在区间 上满足罗尔定理条件的是（    ）．
   （A） 　                  （B） 　　
（C） 　　              （D）
10．设 在 有二阶导数， ，  ，则 在 处（    ）．
   （A）无极值　　        　          （B）有极大值　　　
（C）有极小值                      （D）有极值，无法判断是极大还是极小值
11．设 ，则当 时（    ）．
A． 与 是同阶但不等价的无穷小；           B． 与 是等价的无穷小；
C． 是 的高阶无穷小；                     D． 是 的低阶无穷小．
12．设 ，则 是 的（    ）．
A．连续点；       B．可去间断点；     C．跳跃间断点；       D．第二类间断点．
13．函数 在点 处有极限是 在点 处连续的（    ）．
A．必要条件                       B．充分条件               
C．充要条件                       D．既非充分也非必要条件
14．设 （    ）．
A．1           B．2           C．－1           D．－2
三、        计算题
1．计算极限 ．
2．设 ，求 ．
3．求微分方程 的通解．
4．设 求 及 ．
             5．求不定积分 ．

             6． 求不定积分 ．
             7． 计算 ．
8． 求 的通解．
             9． 计算定积分 ．
10． 设 其中 可导，且  求 ．                     
11． 设 由方程 所确定，求 ．
12． 设 ，求 ．
             13． 求 在 上的最大值与最小值．
             14． 设 由方程 所确定，求 ．
15． 计算  ．
16．求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积．
17． 求 的通解．
18．设 ，其中 可导，求 ．
             19．求 在 上的最值．
20．求不定积分 ．
             21．计算 ．
四、 证明题
1、如果可微函数  满足关系式 证明 ．
2、设非负函数 在 上连续，且 ，试证明在 上 ．
3.试证：当 时，不等式 成立．
4. 设 在 处二阶导数连续，且
证明：在 处 必有拐点．


参考资料

一、填空题
1．       2．     3．     4．    5．     6．     
7．          8．        9． [0，1]         10．0       11．  

二、选择题

1．D     2．B      3． C      4． A．    5． C．    6．D      7．D．
8． A    9．C．    10． D．   11．B      12．B      13．A      14．C

三、计算题
1． = = =                      =   
2．取对数
      
解出   
3．特征方程为    特征根为   
对应齐次方程通解为   
4．
．当x=0，y=0，
5．原式＝
=
6．原式=
7．原式=
8．特征方程为 特征根为 通解为  
9．原式=
10．
11． 当 时 ，
12． 是 的6次多项式，
13． 驻点

为极大值， 为极小值
   
所以 在 上的最小值为 ，．没有最大值．
14．     
15．原式=
16．解  设面积为 ．


  
17．
18．解   = ．
19． 所以f(x)在[1，3]单调减
f(x)在[1，3]的最大值是 ，最小值是
20．令
原式=
    =
21．原式=
四、证明题
1、  由   定出 故
2、令F(x)=
有 ，故 广义单调增加，所以对一切 有 ，即 ．于是 [注]也可用反证法证明．
3、设  ， 在 连续，且在 上 所以 在 单调增，即当 时， ．
4、
当x=0时，


由此证得:曲线在x=0处有拐点．

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