东师2011年春季《量子力学》辅导纲要（3）

久爱奥鹏晓林

《量子力学》辅导纲要（3）

第九章   散射

主要内容：
1．为推导李普曼－许温革方程，必要的数学准备是复函中的留数定理。
2．通过与经典散射过程及散射截面的比较，找出量子散射的根本特征。例如，低能钢球散射，经典截面是 ，而量子散射截面是球面，即 。
3．能够自已推导李普曼－许温革方程及分波法相移，如此才能深刻地理解这两个方法的用法及适用条件。进一步通过典型例题，学会解题方法。
4．应理解到，这两种方法都是近似方法，都有其适用条件，应根据不同物理条件，使用不同方法。
要点：
1. 量子散射和经典散射的本质差别，这可由低能散射更清楚的看出；
2．李普曼-许温格方程的推导及意义，玻恩近似；
3．分波法的计算步骤。
重点掌握：
1．几个概念。
入射粒子流强度 ;微分散射截面;总散射截面 ；弹性散射；非弹性散射。散射振幅。
2．李普曼-许温格方程  
相对运动的定态薛定谔  将坐标原点选在A与B的质心处，质心看作是相对静止的。在质心坐标系中，相对运动的定态薛定谔方程为
                 （1）
其中， 为相对坐标， 为折合质量，势场 ，是中心力场， ， 。                                          
散射波的渐进行为。 时，  。方程（1）的球面波解是
                              （2）
其中， 称为散射振幅。方程（1）的渐进解应有如下形式（或说是解的边界条件）：
          （3）
   
微分散射截面
                 （4）
在边界条件（3）下，求解（1）的Green函数满足如下方程
                        （5）
                 （6）
   （7）
此即李普曼-许温格方程。
    3．玻恩近似
（7）可用迭代法逐级求解。将（7）右边 用零级近似代替
              （8）
可得一级散射波函数，称为一级玻恩近似，这里 是 方向基矢， 是入射粒子的动量，沿 方向。再逐步迭代，可得高级近似。
              （9）
                              （10）
        玻恩近似成立的条件
                 （11）
时，玻恩近似能够是一个好的近似。具体分析如下：  
（1）        如果入射粒子能量很低， ， 设 的力程 ，大小 ，（11）化为
         或              （12）
（2）         的力程 很小。这时
   或   ；    （13）
（3）        入射粒子能量足够高。这时被积函数由于相因子的快速振荡而相消，积分值将变得很小。这样，如果玻恩近似在低能区成立，则在高能区也成立，但反过来，却不一定。
4．分波法
分波法是处理散射问题的一个严格方法。但由于实际上不可能计算全部分波，所以也是一种近似方法。这种方法适合于低能散射。设势场都是中心力场。
   相移和散射截面
   假设散射势场是中心势场 。这样，散射是绕 轴对称的，与 角无关。相应的薛定锷方程和渐进条件分别是，
，（14）
                     (15)
由于角动量守恒，平面波分解中的各个不同的 分波将各自独立散射，每一个分波都满足（14）和渐进条件(15)。即  
                 (16)
式中 ，  为化简(16)，设 ，(16)变为
                       (17)
散射振幅决定于方程(17)的解。为与渐进条件(15比较，考虑(17)的渐进解。 ，由 的有限性可知，应有
；                                (18)
时，(17)变为
                                        (19)
由此得到
     (20)
将(17)求出解后，确定其渐进形式并与(20)比较，就确定了重要的位相 。将这样确定的 代入到以下两个公式，就求得了微分散射截面和总散射截面。
          (21)
                                  (22)
    这样通过将平面波分解为不同角动量的球面分波，从而求得微分散射截面的方法称为分波法。
讨论
A. 由以上推导可看出，入射波中的第 个分波经散射势场作用后，产生相移，由原来的 变成为 。 由方程解在 时的渐进形式确定。
B. 显然 时， 。设无散射的第 个分波的一个确定位相位为 时， 。相应的散射波中第 个分波的这个位相为 时，如果 ，则 ，说明 是吸引势，即 ；如果 ，则 ，说明 是排斥势，即 。
分波法的适用条件。分波法适于低能或作用半径很小的势场。
5．光学定理
总截面 正比于弹性散射部分向前散射振幅的虚部，即
                                    (23)
这是一个普适规律。其物理解释是，总散射截面是入射波减弱的量度。而这种减弱是入射波和向前散射波(二者同方向)相消干涉结果。向前散射波振幅越大，消掉的入射波振幅也越大，入射波剩余振幅就越小，因而被散射部分（包括非弹散射和吸收截面）就越大。
6．全同粒子的散射
质心系中两个自旋为零全同粒子的散射，其入射波和散射波都应是粒子交换的对称态函数。其入射波相对运动态函数是
           (24)
  其散射波相对运动态函数是
              (25)
这里考虑到了 交换时，相当于 。因此
   
                                                （26）
                                                
质心系中两个自旋为 全同粒子的散射，其入射波和散射波都应是粒子交换的反对称态函数。当总自旋为零时，自旋波函数是粒子交换的反对称波函数，因此空间波函数必须是对称的。这样，
                     （27）
当总自旋为1时，自旋波函数是粒子交换的对称波函数，因此空间波函数必须是反对称的。这样
                       （28）
如果两个粒子都未极化，自旋完全无规分布，则体系有 概率处于单态 ，有 概率处于单态 态。这样，

                                            （29）
容易看出，质心系中全同粒子散射截面对于 是对称的。


量子力学总复习（以下习题务必独立认真作出！）

一 基本概念及简答
1．简述 的物理意义及其实验基础。
解： 的物理意义是 时刻在 处发现粒子的几率，实验基础是戴维逊-戈末电子的衍射实验。
2．简述迭加原理。若 ， ， 的物理意义是什么？
解：如果 ， 是体系的可能状态，那么它们的线性迭加
  （ 是复数）也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学的态迭加原理。
    的物理意义：在 态中包含 态的振幅， 是包含 态的几率。当 是某一个算符本征值时， 就是这个本征值在这个态中出现的概率。
3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角( )部分  = ,求 的平均值。
解: 由于在球坐标中 取下列形式：  ，该式除微分算符外，包含有纯虚数单位 ，而此处 是个实函数，同上例一样，有 。

4. 设 ，
A．        若 ，是否 的本征态一定是 的本征态，举例说明。
B．        若 ， 是否就一定无共同本征态，举例。
C．        若 ， 是常数， 是否能有共同本征态，证明你的结论。
解：A．否，两个力学量算符对易只是说二者有共同本征态，但是不是两者的任何本征态都是共同的。
B．否，例如 ，但是 是两者的共同本征态
C．否，例如坐标与动量的对易关系是常数，二者在任何时候都不能同时有确定值
那些实验证实了 ；
5哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？
6对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？
7.在一个状态之中某一个量的平均值和它的本征值出现的几率都不随时间发生变化，这  样的物理量是否是守恒量？
8. 指出下列体系中力学量的完全集合：
A.        氢原子(不考虑电子自旋)；B. 二维谐振子C. 自由粒子。
答： A、    B、  ；C、   
9.什么是束缚态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明。
答：在无穷远处 为零的状态为束缚态. 束缚态不一定是定态，例如：设 是束缚态，也是定态，但 仅是束缚态而不再是定态。定态也不一定是束缚态，例如：自由粒子的能量本证态就不是定态。
10．(3’)下列波函数
哪些描述与  相同的状态。
答：
11．(7')计算对易关系 。
解：设 为任意一状态，则

  
12．指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？
A. ;  B.  ;  C. ;  D.  ;
E.  ;   F.  .
解：A，C，D是正确的；答：B，E，F不正确。B中 是力学量， 是态 在 的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E，F不正确是因为左边是态与具体表象无关的Dirac符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。
13 .图a中的定态波函数对应于图b、c、d中哪个势函数？

          图a
   
              图b                     图c

             图d  
答：为d中的势函数。因为b,c中的波函数必然在大于 ，小于 区间也不为零。
14.   和   是否相等？为什么？
答：不相等。因为 是动量 的本证态，而 是动量 的本证态，实际上 与 代表同一个态。
15判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？
；  ；  ；  。
答： 是算符， ， 是数，
是矢量。
16波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在 和 点不连续。
17为什么既不能把 波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’， 也不把 波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？
答：自由粒子的物质波包必然要扩散，与实验矛盾。所以不能‘把波包看作粒子’；另一方面，戴维逊-戈末实验表明电子的波动性不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象，单个电子就具有波动性，否则每次只有一个粒子，但长时间的衍射干涉就不会有干涉花样. 所以不能‘把波看作由粒子构成的’。
18设 ， ， 。试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。
(1)  ;   (2)  ;  (3)  ;   (4) 。
解：
（1）  ，
       ，即 为厄米算符。
（2）  ，  
        不是厄米算符。
（3）  ，
         ，即 不是厄米算符。
（4）  ，
        ，即 为厄米算符。
19指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？
A. ;  B.  ;  C. ;  D.  ;
E.  ;   F.  .
答：B，E，F不正确。B中 是力学量， 是态 在 的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E，F不正确是因为左边是态与具体表象无关的Dirac符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。
  
20在一维谐振子基态得经典区域之外，粒子出现的几率也不为零，这是否意味粒子的动能可为负值？怎样解释这一结果？
答：不能。因为
21确定 ， ， 哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。
答： ， 是厄米算符，
22如果 ， 且 ，   都是束缚态，则

证明：
这里考虑了 是束缚态，因而 是有限的，及 。同理可证
如令 则 ，由此得 。
23什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？
答：若 ，则A为量子体系的一个守恒量。其主要特征：无论体系处于什么状态（定态或非定态），守恒量的平均值及其可测值的概率分布不随时间改变。
    若哈密顿 不含 ，则 的本证态，即能量有为以唯一确定之值的状态为定态。其特征是，定态中任何一个物理量，无论是否守恒量，其平均值及可测值的出现概率都不随时间变化。
24已知 ，求证   
证明：用数学归纳法证明。
当n=1时，  
      假设当指数为n=k时，也成立。即：  ，则当指数为n+1时，  
成立，所以      
25已知 ， 为厄米算符，则 也为厄米算符的条件是什么？
答： ，若 为厄米算符，则 ，即  ，即 反对易。
26若一个算符与角动量算符 的两个分量对易，则其必与 的另一个分量对易；
解：（1）设  由角动量对易关系 可得

27设   
且已知以一维线性谐振子的能量本征值 ，本征函数 ，及 的宇称为 。试写出能量本征值及本征函数。
解：在 区间， 与谐振子的势相同。而在 区间，由于 ，应有 。因为 的宇称为 ， 为奇数时，必有 。而 为偶数时， 。由此可得满足波函数标准条件的解为

28 在 上的平均值为零，即
证明：利用（7.3.2）式、（7.3.11）式及本征函数的正交条件可得
         
同理可证 的平均值为零。
29(1)全同粒子交换算符 是否对易?有无共同本征函数?
(2) .不考虑粒子间的相互作用。有5个单粒子态，4个全同粒子。下列情况下，体系有多少可能的状态？
A.粒子是全同玻色子; B. 粒子是全同费米子; C. 不考虑粒子的全同性.
解: (1). 不对易,但有共同本征函数,对于全同费米子,是全反对称波函数; 对于全同玻色子,是全对称波函数.
(2). A.  ；B.  ； C. 。
30 已知 ， 为厄米算符， 也为厄米算符的条件是什么？
解： ，若 为厄米算符，则 ，即  ，即 反对易。
二、质量为 的粒子，在阱宽为 的一维无限深势阱中运动，若 时，体系处于 态上，式中 ，   ， 已经归一化，求
   （1） 时， 的几率
    （2） 时的波函数 ，能量的可能值与取值几率，证明你的结论
     （3）粒子处于基态 ，
A．        求粒子动量分布
B．        当势阱突然变为 时，求粒子仍处于基态的几率（只列公式，不必计算）
解：（1）由于三个本征态的本征值都小于 ，所以无论什么态都不能大于 ，即几率为零。
      （2）三个可能值分别为 ， 和 ，它们相应的取值几率分别为 ， 和
（3） A．将 向动量本征态展开，即

C．        因为阱宽度突然变为 ，粒子状态还来不及变化，

所以粒子仍处于 态，而由于阱宽度变为 ，新的 的本征态已变，设为 ， ，则此时处于此态几率为

三、有三个全同粒子，每个粒子可能有的单粒子态为6个，试问
1．不计波函数对称性，该体系有多少可能态。
2．粒子为全同费米子，体系有多少可能态？
3．粒子为全同波色子，体系有多少可能态？
解：1不计波函数对称性，总公有63=216种可能状态
2．当全同粒子为费米子时，各态为反对称的，各单粒子态至多一个粒子，有 种
3．当全同粒子为玻色子时，各态是对称的，共有 种
四、在 本征态 下，求证
      1．
2．计算 ，
解：1．解：


2． 由






五、设
      1．求 的准确本征值。
2．若  ， ，求 的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。
解：、1．设本征值为 ，求解久期方程
           得到



2．将哈密顿分解

根据微扰论，第一级本征值近似为 ，所以均为零，而第二级近似为

所以近似到二级为 ， ，
六，设固定于 的电子处于沿 方向的均匀电磁场B中（不考虑空间运动），电子的内禀磁矩与磁场B作用为

初始电子处于 态 求： 时刻电子状态。
1. 解：设 则

初始条件为




方法2



七.求 的本征值和本证征函数。解：设其本征值为 ，本征函数为 ，则本征方程为
      ，
有非零解的条件为
   解之得  
将 分别代入本征方程解得  

八、粒子在谐振子势场中运动，在能量表象中， 时，其状态波函数为
                ，
     1．求能量平均值，可能值及相应的几率
     2．求 时刻的波函数
解：（1）首先将这个波函数归一化并对能量本征态展开，由 可得，
      
由 ，可得能量可能测值为 对应的几率分别为
（2）用 来求得平均值为  ，或

    （3）而 时刻波函数 。
九、 ，   
      求：
A．  的准确本征值
B．求 的近似到二级的本征值（用微扰法），
解：A．设本征值为 ，求解本征方程
    由  得到  
    B．将哈密顿分解
        根据微扰论，第一级本征值近似为 ，所以均为零，而第二级近似为

所以近似到二级为
，
十．有三个全同粒子，体系6个可能的单粒子态，试问
    1．粒子为玻色子时，体系有多少可能状态
2．粒子为费米子时，体系有多少可能状态
解：1．当全同粒子为玻色子时，各态是对称的，共有 种
2．当全同粒子为费米子时，各态为反对称的，各单粒子态至多一个粒子，有 种
十一，已知一维谐振子

的本征函数 及 的本征值 ，试求
      
的本征值及本征函数
解：将 配分成与 相类似的形式，

由 作用得到的本征值为
则本征值
  本征函数
十二．质量为 的粒子，在阱宽为 的一维无限深势阱 中运动，当 时，粒子处于状态
                 
其中， 为粒子的第 个能量本征态。
（1）        求 时能量的取值几率；
（2）        求 时的波函数 ；
（3）求 时能量的取值几率。
十三 证明：
若一个算符与角动量算符 的两个分量对易，则其必与 的另一个分量对易；
解：设 则
同理可证明其他它情况。
十四 在 表象中，
        > .
试用微扰论求能量的二级修正。
十五．两个算符 和 的矩阵形式如下
              
其中， 为实常数。证明算符 和 相互对易，进而求出它们共同归一化的本征函数。
解：  ，解得： 。考虑到正交归一性，得相应的本正函数是 。由这三个本征函数的线性组合可得 （其本征值显然是 ）的本征函数，代入计算得
。

十六．质量为 的粒子，在阱宽为 的一维无限深势阱 中运动，当 时，粒子处于状态
   
其中， 为粒子的第 个能量本征态。
（1）求 时能量的取值几率；
（2）求 时的波函数 ；
（3）求 时能量的取值几率。
解：
因为 是 的本征态，所以其系数模方即相应能量本征值几率。如此得

（3）        求 时的波函数 ；

（3）求 时能量的取值几率。
因为 ，能量是守恒量，所以 时能量的取值几率不变，与 时相同。
十七 证明：
在 与 的共同本征态 下， 与 的平均值为零，且当 时，测量 与 的不确定性之积为最小。（提示：用升降算符， ）
解：由升降算符 及 得，
   
显然，当 时， 最小。

十八 在 表象中，
        > .
试用微扰论求能量的二级修正。
解： 由此得
因为 ，所以 。由
得

将上述值代入 即得修正到二阶的能级。
十九.不考虑粒子间的相互作用。有三个单粒子态，二个全同粒子。
(1).下列情况下，体系有多少可能的状态？
A.        粒子是全同玻色子; B. 粒子是全同费米子; C. 不考虑粒子的全同性.
解：   位可能的状态数。
(2).当粒子是全同玻色子时，写出体系的波函数。
解：设可能状态为 .粒子自由度为 。
，3个态。

这样态也是3个。
二十 指出下列体系中，能量E、动量（ ）、角动量（ ）、宇称 哪些是守恒量。
A. 一维谐振子； B. 在Z方向均匀不变电场中的带电粒子； C. 在Z方向均匀、但随时间变化的电场中的带电粒子； D. 中心力场中的粒子。
解：A：能量E、宇称 是守恒量；
B：能量E、动量（ ）、角动量（ ）是守恒量。
C：动量（ ）、角动量（ ）是守恒量。
   D：能量E、动量（ ）、角动量（ ）、宇称 是守恒量。
二十一 设氢原子处于               
的状态上，求其能量、角动量平方及角动量 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。
解：将 向氢原子的本征态作展开，
              （1）
不为零的展开系数只有三个，即
；  ；        （2）
显然，题中所给出的状态并未归一化。因为 是正交归一的，由 可求出归一化常数为 ，于是归一化后的展开系数为
                      （3）
    能量的取值几率为
                       （4）
平均值为
                          （5）
都是 的本证态，故  的本证态，本征值为之为 ，概率为1。
                          （6）
平均值为
                           （7）
角动量 分量的取值为0， ，相应的概率为
                  （8）
平均值为
                            （9）
22．设体系的哈密顿算符为
               
求体系的能量本征值与相应的本征函数。
解：将哈密顿量算符改写为

显然， 构成力学量完全集，且其共同本征函数系为
于是

进而可知能量本征值为

相应的本征矢为球谐函数
23        出下列体系中，能量E、动量（ ）、角动量（ ）、宇称 哪些是守恒量。
A. 一维谐振子； B. 在Z方向均匀电场中的带电粒子； C. 在Z方向均匀、但随时间变化的电场中的带电粒子； D. 中心力场中的粒子。
解：A ，能量E、宇称 是守恒量。
B．能量E、动量 ，角动量 、是守恒量。
C．动量 、角动量 是守恒量
D．能量E、角动量（ ）、宇称 是守恒量。
24．设氢原子处于       
      
的状态上，求其能量、角动量平方及角动量 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。