吉大11春学期《计算方法》复习题

久爱奥鹏晓林

吉大11春学期《计算方法》复习题

1、用Doolittle方法对矩阵A分解进行LU分解，并由此求解方程组Ax=b，其中                                   

2、用矩阵的LU分解算法求解线性方程组  
        X1+2X2+3X3 = 0
       2X1+2X2+8X3 = -4
      -3X1-10X2-2X3 = -11
3、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组
        X1+2X2+3X3 = 1
       2X1– X2+9X3 = 0
      -3X1+ 4X2+9X3 = 1
4、用高斯消去法求解线性方程组
         2X1- X2+3X3 = 2
        4X1+2X2+5X3 = 4
       -3X1+4X2-3X3 = -3
5、用无回代过程消元法求解线性方程组
        2X1- X2+3X3 = 2
        4X1+2X2+5X3 = 4
       -3X1+4X2-3X3 = -3
6、用主元素消元法求解4题的线性方程组。
7、比较4、5、6题的消元过程，三种消元的不同点是什么？能消元的条件是什么？
8、对于线性方程组                     
       mX1+ X2   = 1
       X1+mX2+X3 = 2         
       X2 +2X3   = 3           m≠0
写出Jacobi迭代公式, m取何值时Jacobi迭代法收敛？说明理由。选择一个合适的参数m，选择初始向量X（0） =（0，0，0）T，迭代一步。                             
9、对于8题的方程组将m选为3，用Gauss-seidel迭代法求解方程组的解。
10、对于线性方程组                     
       mX1+ X2   = 1
       X1+mX2+X3 = 2           m≠0
       X2 +mX3   = 3
（1）        写出相应的Jacobi（雅可比）迭代法和Gauss—Seidel（高斯—塞德尔）迭代法的迭代公式。
（2）选择一个合适的m的值，使Gauss—Seidel迭代法收敛，选择初始向量X（0） ，计算出X（1） 。
11、对于给定的方阵A，若 ，则矩阵I-A是非奇异的。
12、证明，当 时系数矩阵为

的方程组Ax=b,其雅可比迭代和高斯——赛德尔迭代均收敛。
13、对于线性方程组

写出Gauss—Seidel迭代公式, k取何值时Gauss—Seidel迭代法收敛？选择一个合适的参数k的值，选择初始向量， 迭代一步。  
14、给定方程组

请问如何加工方程组，以保证雅可比迭代过程收敛。
15、已知节点x1,x2及节点处函数值f(x1)，f(x2)，构造线性插值多项式p1(x).
16、设f(xi)=i(i=0,1,2),构造二次式p2(x)，使满足：
        p2(xi)=f(xi)(i=0,1,2)
17、设节点xi=i(i=0,1,2,3),f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-7,f(3)=26,构造次数不超过3次的多项式p3(x),满足
            p3(xi)=f(xi),i=0,1,2,3         
18、对于上题的问题，构造Newton插值多项式。
19、构造三次多项式P3（X）满足：P3（0）= P3（1）=0，
P3′（0）=P3′（1）=1。
20、在19题的插值条件上，另加上p4(2)=1,试用构造满足插值条件的四次插值多项式。
21、利用Doolittle分解法解方程组Ax=b即解方程组

22、利用Doolittle分解法解方程组Ax=b即解方程组


23、根据一阶差商f [x, x]与一阶导数f’ (x )的关系，构造差商表，进而求满足插值条件的次数不超过4次的Newton插值多项式N4(x)

xi        -1        0        1
yi        2        5        26
y’i        -2        8       
24、已知函数表
x        0.32        0.34        0.36
sinx        0.314567        0.333487        0.352274

用线性插值及抛物插值计算sin0.3367.
25、求次数不高于3次的多项式，使其在 ， ， ， 与 的值相等。
26、证明25题的插值多项式 就是
27、用高斯消元法解方程组


28、用Doolittle分解法解27题的方程组

29、用雅可比迭代法求解方程组

30、用高斯—赛德尔迭代法求解29题中方程组的解。

31、  已知函数表：
x        0        1        2
f（x）        3        4        1
   
用Simpson公式求           的近似值。
32、已知函数表：
x        0        1        2        3        4
f（x）        -4        -3        0        5        10
   
用复化Simpson公式求积分的             近似值。
                        
33、P1（x）是一次Lagrange插值多项式，满足：P1（x1）=f（x1），  P1（x 2）=f（x 2）证明：对于x1≤x≤x2  ，有
| f（x）- P1（x）|≤（（x1-x2）2/8） max |f〃（x）|
                               x1≤x≤x2      
34、f（x1）= f（x 2）=0，M= max|f〃（x）|，证明：
                        x1≤x≤x2
   |f（x）|≤（x2-x1）2 M/8    ，x∈[x1 ，x2]
35、设 ，试利用插值余项定理给出 以-1，0，1，2为节点的插值多项式 。
36、列出函数 关于互异节点
的拉格朗日插值公式。
37、证明 ， 其中 是插值基函数。
38、证明恒等式
   
39、求作次数 2的多项式 ，使满足插值条件
， ，
40、求作次数 2的多项式 ，使满足插值条件
，
，
41、设 ，求作次数 2的多项式 ，使满足插值条件
， ，
42、 给定线性方程组Ax=b，其中A= ，b= ，用迭代公式

求解Ax=b，问取什么实数α可使迭代收敛？什么α可使迭代收敛最快
43、求作次数 3的多项式 ，使满足插值条件
，

44、求作次数 3的多项式 ，使满足插值条件
，
，
45、求作首项系数为1的4次式 ，使满足插值条件

46、求作首项系数为1的4次式 ，使满足插值条件

47、构造一个收敛的迭代法求解方程X3-X-1=0的唯一正根。合理选择一个初值，迭代两步，求出x2。            

48、用迭代法求方程
         x3-x2-1=0
在[1.3， 1.6]内的一个实根，选初值x0 =1.3,迭代一步。
49、对于线性方程组                     
        KX1+ X2    = 1
       X1+KX2+X3 = 2
       X2 +KX3   = 3
50、        写出相应的Jacobi（雅可比）迭代法和Gauss—Seidel（高斯—德尔）迭代法矩阵形式的迭代公式。