西安交通大学14春学期《线性代数》离线作业

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第一章  行列式
本章要点
1.行列式的概念、性质与计算；
2.克拉默法则.
本章目标
1.了解行列式的定义，理解行列式的性质；
2.会利用行列式的性质及展开法则计算低阶及较简单的 阶行列式；
3.理解克拉默法则.
本章重点
1.行列式的基本计算方法；
2.克拉默法则.
本章难点
高阶行列式的计算.

作业题
一、单项选择题
1.行列式 的 元素的代数余子式 (   )
(A)  0         (B)  4          (C)            (D)  1
2.设 是 阶行列式， 是 的元素 的代数余子式，则必有(   )
(A)                        (B)
(C)                                (D)
3.设 则方程 的根的个数为(   )
(A)  1     (B)  2    (D)  3    (D)  4
4.设2阶方阵 ，且已知 ,则行列式 (    )
(A)  5    (B)       (C)  10     (D)   
5.设 阶方阵 的行列式为零，则线性方程组 (   )
(A) 必有唯一解    (B) 必有无穷多解    (C) 必无解    (D) 无解或有无穷多解
二、填空题
6.已知 则
           .
7.已知行列式 的元素 的代数余子式 ，则其元素 的代数余子式           .
8.已知齐次线性方程组 有非零解，则 与 应满足的条件是      .
9.范德蒙行列式           .
10.设 为 的元素 的代数余子式，则
          .
三、判断题
11.判断下列命题或说法是否正确：
(1) 设 、 为同阶方阵，则有 .
(2) 设 、 为同阶方阵，则有 .
(3) 设 为 阶方阵 为常数，则有 .
(4) 设 为 阶方阵， 为 阶方阵， 为 矩阵，则行列式 .
(5)  .
四、计算题
12.计算下列行列式：
(1)        




(2)  




(3)   





(4)  





(5)   




(6)  






13.试用克拉默法则求下列线性方程组的解：
     







14.取何值时，齐次线性方程组 有非零解？





五、证明题
15.证明：  .






16.设行列式

不用具体计算，试证明 的第4行元素的余子式之和等于 的值.













第二章  矩阵
本章要点
1.矩阵及其运算；
2.逆矩阵；
3.初等变换与初等矩阵；
4.矩阵的秩.
本章目标
1.理解矩阵的概念；
2.掌握矩阵的运算；
3.理解逆矩阵的概念；
4.理解矩阵初等变换与初等矩阵的概念及二者的关系；
5.理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩的方法；
6.了解分块矩阵及其运算.
本章重点
1.矩阵的运算及运算律；
2.逆矩阵的概念及计算；
3.初等变换及其应用；
4.矩阵的秩的概念及计算.
本章难点
1.伴随矩阵的概念及性质；
2.矩阵的秩的概念；
3.分块矩阵的概念及运算.

作业题
一、单项选择题
1.设 是 矩阵， 是 矩阵，  是 矩阵，则下列运算无意义的是(   )
(A)       (B)        (C)         (D)  
2.设 、 为 阶方阵， 为 阶单位矩阵，则必成立(   )
(A)           (B)  
(C)                     (D)  
3.2阶矩阵 的伴随矩阵为(   )
(A)         (B)         (C)         (D)  
4.设同阶方阵 、 阵满足 ，则必有(   )
  (A)  或                 (B)  且
(C) 当 时必有       (D) 以 为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解
5.设矩阵  ，
则 (   )
   (A)         (B)        (C)        (D)  
二、填空题
6.                  .
7.设 的伴随矩阵为 ，则               .
8.设3阶方阵 的行列式 则               .
9.设 阶可逆方阵 的伴随矩阵为 ，已知 则              .
10.若矩阵 的秩为2，则                .
三、判断题
11.判断下列命题或说法是否正确：
(1) 矩阵乘法满足交换律，但不满足结合律；
(2) 方阵 的伴随矩阵的 元素为 ，其中 是 的代数余子式；
(3) 同阶可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵；
(4) 同阶对称矩阵的乘积必是对称矩阵；
(5) 设 、 均为可逆矩阵，则有 .
四、计算题
12.设 ，求 .





13.设 ，求 .




14.设3维行向量 ，已知 ，求 .




15.设 ，求 .




16.设矩阵 满足 ，其中 ，求 .




17.设矩阵 满足 ，其中 ，求 .




18.设3阶矩阵 、 满足 ，且 ，求 .




19.设矩阵 的伴随矩阵为 ，矩阵 满足 ，求 .




20.设矩阵 的伴随矩阵为 ，矩阵 满足 ，求 .




21.设 ，其中 ，求 .




22.设3阶矩阵 的行列式 ， 为 的伴随矩阵，求行列式 .




23.求矩阵 的秩.




五、证明题
24.设 、 为 阶矩阵，且 为对称矩阵，证明 也是对称矩阵.




25.设 阶矩阵 满足 .证明矩阵 可逆，并求 .




26.证明：矩阵 与 行等价的充分必要条件，是存在 阶可逆矩阵 ，使 .








第三章  向量
本章要点
1. 维向量及其线性运算；
2.线性组合与线性表示；
3.线性相关与线性无关；
4.向量组的极大无关组与秩；
5.实向量的内积、长度、夹角、正交，正交矩阵与施密特正交化方法.
本章目标
1.理解向量的概念，掌握向量的线性运算；
2.理解线性表示的概念及其与非齐次线性方程组的关系；
3.理解向量组线性相关与线性无关的概念及其与齐次线性方程组的关系，会利用定义、有关性质及判别法判别向量组的线性相关性；
4.了解极大无关组与秩的概念，会求向量组的极大无关组与秩；
5.了解向量空间、子空间、基、维数与向量的坐标等概念；
6.了解实向量的内积、长度、夹角、正交等概念，理解正交矩阵的概念，会利用施密特正交化方法将线性无关向量组化为标准正交向量组.
本章重点
1.向量组线性相关与线性无关的概念及判别；
2.向量组的极大无关组与秩的计算；
3. 维向量空间 的基本概念.
本章难点
1.线性相关与线性无关的概念及判别；
2.向量组的秩与矩阵的秩的关系；
3.向量空间的基本概念；
4.施密特正交化方法.


作业题
一、单项选择题
1.向量组(I): 线性无关的充分必要条件是(   )
(A)存在一组不全为零的数 使
(B)(I)中任意两个向量都线性无关
(C)(I)中存在一个向量不能由其余 个向量线性表示
(D)(I)中任一向量都不能由其余 个向量线性表示
2.设向量组 线性无关，则下列向量组中线性无关的是(   )
(A)         (B)
(C)     (D)
3.设向量组 线性无关；向量组 线性相关，则(   )
(A) 必可由 线性表示       (B) 必不可由 线性表示
(C) 必不可由 线性表示     (D) 必可由 线性表示
4.设向量 可由向量组 线性表示，但不能由向量组(I): 线性表示，记向量组(II): ，则(   )
(A) 不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示
(B) 不能由(I)线性表示，但可由(II)线性表示
(C) 可由(I)线性表示，也可由(II)线性表示
(D) 可由(I)线性表示，但不能由(II)线性表示
5.设向量组 线性无关，向量 可由 线性表示，而向量 不能由 线性表示，则对于任意常数 ，必有(   )
(A) 线性相关        (B)  线性无关
(C) 线性无关         (D) 线性相关
二、填空题
6.若向量组 线性无关，则 满足         .
7.若向量 能由向量组 线性表示，则           .
8.若向量组 与向量组 等价，则 的秩为          .
9.若实向量组 线性相关，则            .
10.若向量组 的秩为2，则             .
三、判断题
11.判断下列命题或说法是否正确：
(1) 若向量组 线性相关，则其中任一向量都可由其余 个向量线性表示.
(2) 线性无关向量组的任一部分组都线性无关.
(3) 向量组 线性相关 的秩小于 .
(4) 若向量组 线性无关，且向量 不能由 线性表示，则向量组 线性无关.
(5) 已知向量组(I): 线性无关，且(I)可由向量组(II):  线性表示，则 .
四、计算题
12.求向量组 的秩.



13.试将向量 表示成向量组 的线性组合.



14.设向量 ，问 取何值时， 可由 线性表示？并求出此线性表示式.




15.设有向量组(I):
，
(1) 取何值时，(I)线性无关？并在此时将 用(I)线性表示；
(2) 取何值时，(I)线性相关？并在此时求(I)的秩及一个极大无关组.










16. 取何值时，向量组 线性相关？何时线性无关？





17.求下列向量组的秩及一个极大无关组，并用极大无关组线性表示该组中其他向量：
.




五、证明题
18.设向量组 线性无关，证明：向量组
线性无关.




19.设 是非齐次线性方程组 的解， 是对应齐次线性方程组 的线性无关解，证明：向量组 线性无关.




20.设向量组 线性相关，而向量组 线性无关.
证明：(1)  能由 线性表示；(2)  不能由 线性表示.




第四章  线性方程组
本章要点
线性方程组解的情况的判定、解的性质、解的结构及求解方法.
本章目标
1.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件、解的性质、基础解系与通解等概念；
2.理解非齐次线性方程组解的判定定理、解的性质、解的结构与通解等概念；
3.掌握用初等变换法求解线性方程组的方法.
本章重点
1.齐次线性方程组基础解系的概念与计算；
2.非齐次线性方程组解的判定以及在有无穷多解时通解的计算.
本章难点
1.齐次线性方程组基础解系的概念；
2.含参数线性方程组的求解.

作业题
一、单项选择题
1. 元齐次线性方程组 有非零解的充要条件是(   )
  (A) 的列向量组线性相关          (B) 的列向量组线性无关
(C) 的行向量组线性相关          (D) 的秩等于
2.设 是齐次线性方程组 的基础解系，则下列向量组中也可作为 的基础解系的是(   )
  (A)                 (B)  
(C)           (D)  
3.设齐次线性方程组 有非零解，则(   )
  (A)  且基础解系含1个向量        (B)  且基础解系含2个向量  
(C)  且基础解系含1个向量       (D)  且基础解系含2个向量
4.设 是非齐次线性方程组 的两个不同解， 是对应齐次线性方程组 的基础解系， 为任意常数，则 的通解是(   )
(A)       (B)  
(C)       (D)  
5.设 是非齐次线性方程组 对应的齐次线性方程组.则下列命题正确的是(   )
(A) 若 只有零解，则 必有唯一解
(B) 若 有非零解，则 有无穷多解
(C) 若 有唯一解，则 只有零解
(D) 若 有无穷多解，则 只有零解
二、填空题
6.设 ，则齐次线性方程组 的基础解系所含向量个数为           .
7.方程组 有非零解的充要条件是            .
8.若方程组 有解，则常数           .
9.方程组 有无穷多解的充要条件是            .
10.方程组 无解的充要条件是            .
三、判断题
11.判断下列命题或说法是否正确：
(1) 设矩阵 满足 ，且 ，则必有 .
(2) 若非齐次线性方程 不是有唯一解，则它是无解的或是有无穷多解.
(3) 齐次方程 的基础解系含 个向量.
(4) 非齐次线性方程组 有解的充要条件是向量 可由 的列向量组线性表示.
(5) 非齐次线性方程组 有唯一解的充要条件是 的列向量组线性无关.
四、计算题
12.求下列齐次线性方程组 的基础解系与通解，其中系数矩阵 为：
(1)           




(2)  




13. 取何值时，下列齐次线性方程组 存在非零解？并在存在非零解时求其基础解系与通解，其中系数矩阵 为
(1)              




(2)  




14.设矩阵 ，已知齐次线性方程组 的基础解系含2个向量.求 的值并求 的结构式通解.





15.求解方程组：
(1)  




(2)  




16.下列方程组何时有解、何时无解？并在有解时求其全部解：
(1)           




(2)  





17.设4元非齐次线性方程 有解 ，其中 ， ，且 ，求方程组 的通解.






五、证明题
18.设 是齐次线性方程组 的基础解系，证明：
  也可作为 的基础解系.






19.设矩阵 满足 ，其中 ，证明：矩阵 的列向量组线性无关.






20.设矩阵 按列分块为 ，其中 线性无关，且 ，向量 ，证明：线性方程组 的通解为 .








第五章  特征值与特征向量
本章要点
1.特征值与特征向量的定义、性质与计算；
2.相似矩阵的概念及一般方阵的相似对角化问题；
3.实对称矩阵的正交相似对角化问题.
本章目标
1.理解特征值与特征向量的基本概念；
2.掌握特征值与特征向量的计算方法；
3.了解相似矩阵的概念，理解方阵可对角化的条件；
4.掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法.
本章重点
1.特征值与特征向量的计算；
2.方阵可对角化的条件；
3.实对称矩阵正交相似对角化的方法.
本章难点
1.高阶方阵的特征值的计算；
2.有重特征值的方阵的对角化问题.

作业题
一、单项选择题
1.同阶矩阵 与 有相同的特征值是 与 相似的(   )
(A) 充分而非必要的条件                       (B) 必要而非充分的条件
(C) 充分必要条件                             (D) 既非充分也非必要的条件
2. 阶矩阵 有 个互不相同的特征值是 相似于对角矩阵的(   )
(A) 充分而非必要的条件                      (B) 必要而非充分的条件
(C) 充分必要条件                             (D) 既非充分也非必要的条件
3. 阶矩阵 相似于对角矩阵的充分必要条件是(   )
(A)  有 个互不相同的特征向量               (B) 有 个线性无关的特征向量
(C)  有 个两两正交的特征向量             (D)  有 个互不相同的特征值
4.已知 为 阶可逆矩阵 的一个特征值， 为 的伴随矩阵，则 必有一个特征值为(   )
(A)               (B)               (C)                (D)  
5.已知存在可逆矩阵 ，使 ， 为 的对应于特征值 的特征向量，则 的对应于特征值 的特征向量为(   )
(A)                 (B)             (C)               (D)  
二、填空题
6.设可逆矩阵 有一个特征值为2，则 有一个特征值为         .
7.设3阶矩阵 与 相似，已知 的特征值为 ，则           .
8.设 相似于 ，则           .           .
9.矩阵 的线性无关的特征向量的个数为          .
10.设 和 是3阶实对称矩阵 的两个不同特征值， 和 依次是属于 和 的特征向量，则            .
三、判断题
11.判断下列命题或说法是否正确：
(1) 若同阶矩阵 与 相似，则对任何常数  与 相似.
(2) 若方阵 与对角矩阵相似，则 也与对角矩阵相似.
(3) 若同阶方阵 与 等价，则 与 必相似.
(4) 若 阶矩阵 相似于对角矩阵，则 必有 个互不相同的特征值.
(5)  为可逆矩阵的充要条件是 的特征值都不等于零.
四、计算题
12.求下列矩阵的特征值及各特征值对应的线性无关特征向量：
(1)   



(2)   



(3)  



13.下列矩阵中哪些矩阵可对角化？并对可对角化的矩阵 ，求一个可逆矩阵 ，使 成对角矩阵：
(1)  



(2)  



(3)  



(4)  



14.设3阶矩阵 满足 ，其中
，求矩阵 .




15.已知矩阵 与 相似.
(1) 求 与 ； (2) 求一个满足 的可逆矩阵 .





16.设 为3阶矩阵，已知 都不可逆，试求 的行列式.




17.设4阶矩阵 满足 ，试求 的伴随矩阵 的一个特征值.




18.设 是 的一个特征向量.试求常数 的值及 的与 对应的特征值 .




19.对下列实对称矩阵 ，求一个正交矩阵 ，使 为对角矩阵：
(1)  



(2)  






(3)   







(4)  






20.设 ，试利用 的正交相似对角化，求 .






五、证明题
21.设 是可逆矩阵 的一个特征值，证明： 是 的伴随矩阵 的一个特征值.







22.设 是正交矩阵，且 的行列式大于零， 是 的代数余子式 ，证明： .








第六章  实二次型
本章要点
1.二次型及其矩阵表示、二次型的秩及二次型的标准形等概念；
2.用正交变换化二次型为标准形；
3.正定二次型与正定矩阵的概念及判别.
本章目标
1.理解二次型的基本概念；
2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，了解用配方法化二次型为标准形的方法；
3.理解正定二次型的概念，掌握判别正定二次型的常用方法.
本章重点
1.用正交变换化二次型为标准形；
2.正定二次型的概念与判别.
本章难点
1.同阶方阵等价、相似及合同这几个概念之间的区别与关系；
2.用正交变换化二次型为标准形.

作业题
一、单项选择题
1.设 为2阶实对称矩阵，已知矩阵 都不可逆，则二次型 经正交变换化成的标准形为(   )
(A)      (B)      (C)      (D)  
2.若二次型 经正交变换化成的标准形是 ，则  (   )
(A) 0          (B) 1           (C) 2           (D) 3
3.实对称矩阵 与对角矩阵 的关系是(   )
(A) 相似而不合同    (B) 合同而不相似    (C) 既相似又合同    (D) 不相似也不合同
4.二次型 的规范形为(   )
(A)       (B)       (C)       (D)  
5. 元二次型 ( 为 阶实对称矩阵)正定的一个充要条件是(   )
(A)                (B)  的主对角线元素都大于零
(C)                  (D)  的各阶顺序主子式都大于零
二、填空题
6.二次型 的秩            .
7.二次型 在正交变换下化成的标准形是           .
8.若二次型 是正定的，则实数 的取值范围是           .
9.已知二次型 经正交变换化成的标准形为 ，则常数           .
10.若  ，则二次型            .
三、判断题
11.判断下列命题或说法是否正确：
(1) 实对称矩阵 为正定矩阵的一个充要条件是 的特征值都大于零.
(2) 实对称矩阵 为正定矩阵的一个充要条件是存在可逆矩阵 ，使 .
(3) 二次型 是正定的.
(4) 已知二次型 经正交变换化成的标准形是 ，则实对称矩阵 的最小特征值是1.
(5) 二次型 的秩为3.
四、计算题
12.求一个正交变换，将二次型 化成标准形.







13.已知二次型 经正交变换 化成了标准形 ，求 、 的值及所用正交变换的矩阵 .







14.已知二次型 经正交变换 化成了标准形 ，求所用正交变换的矩阵 .






15.确定实数 的取值范围，使二次型 为正定的.








五、证明题
16.设 实矩阵 的秩为 ，证明：矩阵 为正定矩阵.
















模拟试题(一)
一、判断题(20分，在你认为正确的题后括号内画上√，否则画上×.本题中 、 、 均为 阶方阵， )
(1) 若 ，且 ，则必有 .                                         (   )
(2)  必成立.                       (   )
(3) 若 可逆，则 的伴随矩阵也可逆.                                 (   )
(4)  必成立.                                      (   )
(5) 齐次线性方程组 只有零解 的列向量组线性无关.                      (   )
(6)  的列向量组线性相关                                          (   )
(7) 若 与 有相同的特征值，则 与 必相似.                                     (   )
(8) 若可逆方阵 有一个特征值为2，则 必有一个特征值为 .                 (   )
(9) 若 与 相似，则 与 相似，其中 为 阶单位矩阵.                 (   )
(10) 二次型 是正定二次型.         (   )
二、(10分) 设矩阵 ，求 .




三、(10分) 计算行列式 的值.



四、(10分) 设矩阵 满足方程 ，其中 ，求矩阵 .





五、(10分)
求下列齐次线性方程组的基础解系与通解：








六、(12分)  取何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出由对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解.






七、(12分) 求矩阵 的特征值与特征向量.








八、(11分) 求一个正交变换，将二次型 化成标准形，并写出所用正交变换的矩阵.







九、(5分) 设 为 矩阵， 为 矩阵，且 ，已知 ，其中 为 阶单位矩阵，证明 的列向量组线性无关.






模拟试题(二)
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
(1) 设 、 为同阶方阵，下列等式中成立的是(   )
(A)      (B)  
(C)       (D)  
(2) 设 为 阶方阵 ， 为常数，则行列式  (   )
(A)      (B)      (C)      (D)  
(3) 设 是 矩阵，则齐次线性方程组 仅有零解的充要条件是(   )
(A)  的行向量组线性无关            (B)  的行向量组线性相关
(C)  的列向量组线性无关            (D)  的秩小于
(4) 若矩阵 的秩为2，则  (   )
(A) 0       (B) 2       (C)  或3      (D)  或2
(5)  阶矩阵 相似于对角矩阵的充要条件是(   )
(A)  有 个互不相同的特征值          (B)  有 个互不相同的特征向量
(C)  有 个两两正交的特征向量        (D)  有 个线性无关的特征向量
二、填空题(每小题3分，共15分)
(1) 设 、 为同阶方阵，已知 ，则          .
(2) 设 是 元齐次线性方程组 的基础解系，则            .
(3) 若向量组 线性无关，则向量组 的秩             .
(4) 已知矩阵 满足 ，其中  ，则             .
(5) 已知2阶矩阵 的特征值为 ，则             .
三、求解下列各题(每小题7分，共49分)
(1) 求行列式 的元素 的代数余子式 .






(2) 设向量 ，求矩阵 的秩.






(3) 求矩阵 的逆矩阵.






(4) 设矩阵 满足 ，其中 ，求 .






(5) 求方程组 的基础解系与通解.






(6) 求向量组 的秩及一个极大无关组，并用极大无关组线性表示该组中其他向量.









(7) 求矩阵 的特征值与特征向量，并指出 能否对角化.










四、(8分)  取何值时，方程组 有解？并在有解时求出它的通解(用对应齐次线性方程组的基础解系表出).











五、(8分) 设二次型 经正交变换 化成的标准形为 .求 、 的值及所用正交变换的矩阵 .










六、(5分) 设 是齐次线性方程组 的基础解系，证明：
也可作为 的基础解系.