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第一章 函数与极限
本章要点：
1.函数极限的概念（对极限的 、 定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出 求N或 不作过高要求。）
2.极限四则运算法则。
3.两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4.无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。
5.函数在一点连续的概念。
6.间断点的概念，并会判别间断点的类型。
7.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理.）
本章目标：
1.理解函数的概念的理解复合函数的概念，了解反函数的概念。
2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.掌握基本初等函数的性质及其图形。
4.会建立简单实际问题中的函数关系式。
5.理解极限的概念（对于给出 求N或 不作过高要求。）
6.掌握极限的四则运算法则。
7.了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
8.了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。
9.理解函数在一点连续的概念。
10.了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
11.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理。）
本章重点：
1.函数极限的概念，会求一些简单函数的极限。
2.函数在一点连续的概念，会判断一些简单函数间断点的类型。
本章难点
1.两个极限存在准则；
2.判别间断点的类型。
第一章 总结
本章主要介绍了极限的概念、极限存在的判定准则，极限的求法以及连续函数的定义与性质.
利用极限的定义证明函数（或数列）以某确定常数为极限，是本章的难点之一。
极限存在性问题是本章的重点，也是难点.一般地，常用以下方法判定一个极限是否存在：
(1)利用单调有界准则；
(2)利用夹逼准则；
(3)利用柯西准则；
(4)利用左右极限是否存在且相等；
(5)利用子数列或部分极限。
掌握好求极限的方法是学好高等数学所必须的，这是本章的重点内容。目前为止，我们可以
(1)利用定义验证极限；
(2)利用极限四则运算法则求极限；
(3)利用重要极限求极限；
(4)利用无穷小量等价代换求极限；
(5)利用夹逼准则求极限；
(6)利用单调有界数列必有极限准则求极限；
(7)利用函数连续性求极限等等.在后面的章节中，我们还会陆续介绍其它一些求极限的方法。
函数连续性的概念是本章的又一重点，如何判定函数的连续性和间断点，怎样确定间断点的类型，闭区间上连续函数有哪些性质，都是需要同学们深刻理解，牢固掌握的。
第一节 函数（作业一）
一、单项选择题
1.设函数 ，它的定义域是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.设 那么 【 】.
A.0； B.-2； C. ； D. .
3.开区间 是【 】.
A.3的邻区； B.以2为中心，1为半径的邻区；
C.1的邻区； D.以2为中心，1.5为半径的邻区.
4.函数 的反函数是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.函数 是【 】.
A.奇函数； B.偶函数； C.非奇非偶函数； D.奇、偶性取决于 的取值情况.
6.设 是奇函数， 是偶函数，则 是【 】.
A.即不是奇函数，又不是偶函数； B.偶函数；
C.有可能是奇函数，也可能是偶函数； D.奇函数.
7.满足不等式 （ 为常数， ）的所有 的区间表示为【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
8.若 ，则有【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
9.设 那么 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
10.使等式 成立的所有 构成的区间为【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
三、计算题
18.求下列函数定义域
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
19.作下列函数的图形
(1) ； (2) .
第一节 函数（作业二）
一、单项选择题
1.当函数 的自变量 的增量 时，相应的函数的增量 【 】.
A.一定大于零； B.一定小于零； C.一定不大于零； D.不一定大于零.
2.下列函数中满足关系 的函数是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.设函数 的定义域 ，则 的定义域是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.在同一坐标系下，方程 与 代表的图形【 】.
A.是同一条曲线； B.关于 轴对称； C.关于 轴对称； D.关于直线 对称.
5.要使 是奇函数，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
6.设 的定义域是 ，则 的定义域是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
7.设 是奇函数， 是奇函数，则 是【 】.
A.既不是奇函数，又不是偶函数； B.偶函数；
C.有可能是奇函数，也可能是偶函数； D.奇函数.
8.曲线 上对应于 的点是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
9.函数 在 内【 】.
A.是无界的； B.是有界的； C.是常数； D.小于零.
10.下列各对函数中，互为反函数的是【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
二、填空题
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17.设 ，那么 .
18.设函数 那么函数的值域是 .
19.设函数 它的反函数是 .
20.开区间 中每个点都是它的 点.
三、计算题
21.设 是定义在 上以 为周期的函数，当 时， ，写出 的表达式．
22.设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，写出 的表达式．
23.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的？
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
第二节 数列的极限（作业一 ）
一、单项选择题
1.数列 的极限为【 】
A. ； B. ； C.不存在； D. .
2.数列 的一般项 为【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
3.极限 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
4.极限 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
5.极限 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
6. ＝ .
7. ＝ .
8. ＝ .
9. ＝ .
10. ＝ .
11. ＝ .
12. .
13. .
14. .
15. .
三、计算题
16.用数列极限的 定义验证数列 的极限是2．
17.求下列数列极限．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
第二节 数列的极限（作业二 ）
一、单项选择题
1.设数列 满足：对任意的 ，则 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
2.极限 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
3.极限 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
4.极限 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
5. 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
6.因为 ，那么 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
8. .
9. .
10. .
11. .
12. ＝ .
三、计算题
13.求下列函数的极限。
(1) ； (2) .
14.下列结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例
（1）若 则
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ；
（4）若 则 ；
（5）若 则 ;
（6）若对任何实数 ， 则 .
第三节 函数的极限（作业一）
一、单项选择题
1.下列各函数的极限存在的是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.极限 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.设函数 ,那么 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.设函数 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D.不存在.
6.设 ，又 则 ＝【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
三、计算题
15.设 ，作 的图形，并求 在 处的左、右极限．
16.设 ，试求 在 处的左、右极限．
17. 已知 ，求 的值.
第三节 函数的极限（作业二）
一、单项选择题
1.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.极限 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.极限 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.若函数 在点 处的极限存在，则【 】.
A. 必存在且等于极限值 ； B. 存在但不等于极限值；
C. 在 处的函数值可以不存在； D.如果 存在，则必等于极限值.
二、填空题
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11.求 .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
三、求解下列各题
20.用函数极限定义说明下列极限成立。
(1) ； (2) .
21.设 ，求 .
22.设 ，证明 不存在性.
第四节 无穷小量与无穷大量
一、单项选择题
1.当 时，下列变量中为无穷大的是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.当 时， 是【 】.
A. 的同阶无穷小量； B. 的等价无穷小量；
C.比 高阶的无穷小量； D.比 低阶的无穷小量.
4.若 其中 为常量， 为一当 时的无穷小量，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D.不存在.
5.当 时， 【 】.
A.极限不存在； B.是无穷大量； C.是无穷小量； D.是未定式.
6.无穷大量减去无穷大量是【 】.
A.无穷小量； B.零； C.常量； D.未定式.
7.极限 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
8.当 时， 是【 】.
A.比 低阶的无穷小量； B.比 高阶的无穷小量；
C.与 的同阶无穷小量； D.与 的等价无穷小量.
9. 【 】.
A. B. C. D.
二、填空题
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
三、完成下列各题
21. 证明：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；有限个无穷小量的积仍是无穷小量．
22.函数 当自变量 在什么变化过程中是无穷小量？在什么变化过程中是无穷大量？
23.当 时，下列变量中哪些是等价无穷小量.
， ， ， ，
24.当 时，下列哪些函数是与 同阶的无穷小量？哪些是比 更高阶的无穷小量？
， ， , ， ， ．
第五节 函数的连续性与间断点（作业一）
一、单项选择题
1.函数 的连续区间是【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
2.为使函数 在 处连续，应取 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. ；
3.设 处连续，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.设函数 ，函数 在 在连续，则 分别为【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
三、完成下列各题
10.设函数
(1) 函数 在定义域内是否连续？(2) 画出函数 的图形．
11.设 ，问常数 为何值时，函数 在其定义域内连续？为什么？
12.某水果站在水果大量到货时规定， 50kg以下标价0.80元/kg，满50kg的标价0.70元/kg，满150公斤时标价0.60元/kg. 试列出收费金额 与购买量 的函数关系.问该函数是否为连续函数？
13.将100元按6%作连续复利计算，问20年后本利和应是多少？（已知 ）
第五节 函数的连续性与间断点（作业二）
一、单项选择题
1.设 在 内连续， ，则在 内 必有【 】.
A.最小值 B.零值 C.最大值 D.极值
2.函数 的间断点为 【 】.
A. B. C. D.
3.设函数 ，那么函数的所有间断点是【 】.
A. B. 和 C. D. 和
4.如果 在 处连续，且 ，那么 【 】.
A. B. C. D.
二、填空题
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
三、完成下列各题
10.求下列函数的间断点，并说明类型．
(1) ； (2) .
(3) ； (4) .
11.证明方程 在1与2之间至少存在一个实根.
12.已知 ，求常数 ， .
13.判定 是 的什么类型间断点.
14.函数 在 上是否有界？当 时， 是否为无穷大？为什么？
第一章 综合练习题
1.设 求 ， ， ， ．
2． 讨论下列函数的奇偶性与周期性.
(1) ； (2) ； (3) .
3.指出下列函数的单调区间并判定其是否有界．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
4.求下列函数的反函数
(1) ； (2) ．
5.设 ， ，且 ，求 ．
6.已知 ，求 ．
7.设 求 ．
8.设 ， ，求 .
9．证明：如果 在 连续，且 存在，则 必有界.
10. 填空题
(1) ＝ .
(2) ＝ .
(3) ＝ .
(4) ＝ .
(5) ＝ .
(6) .
(7) .
(8) .
(9) .
(10) ＝ .
(11) ＝ .
(12) ＝ .
(13) ＝ .
(14) ＝ .
(15) ＝ .
(16) ＝ .
(17) ＝ .
(18) ＝ .
(19) ＝ .
(20) ＝ .
(21) ＝ .
(22) ＝ .
(23) ＝ .
(24) ＝ .
(25) ＝ .
(26) ＝ .
11.求下列函数的间断点，并说明类型
(1) ； (2) .
第二章 导数与微分
本章要点
1.导数和微分的概念。
2.导数的几何意义。
3.函数的可导性与连续性之间的关系。
4.导数的四则运算法则和复合函数的求导法。
5.微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
6.高阶导数的概念。
7.求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。
本章目标
1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
2.会用导数描述一些物理量。
3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
4.了解高阶导数的概念。
5.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。
6.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。
本章重点
1.导数与和微分的概念。
2.导数与和微分计算。
本章难点
1.复合函数求导法。
2.隐函数求导法。
3.参数方程确定的函数的求导。
第一节 导数概念
一、单项选择题
1.设 ，其中 为常量，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.设曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则点 的坐标为【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.函数 在 处的导数为【 】.
A. ； B. ； C. ； D.不存在.
4.函数 的图像在 点的切线平行于 轴，则 为【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.设 在 内连续，且 ，则在点 处【 】.
A. 的极限存在，且可导； B. 的极限存在且等于 ，但不一定可导；
C. 的极限不存在； D. 的极限不一定存在.
6.设 ，则 【 】.
A. ； B. C. D.
7.一物体作直线运动，路程 与时间 的关系为 ，则它的速度为【 】.
A. B. ； C. ； D. .
8.曲线 在 时的切线斜率是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
9.曲线 在点 处的切线斜率是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
10. .
11. .
12. .
13. .
14.设 （ 为常数），则 .
15.设 （ 为常数），则 .
16.曲线 在点 处的切线斜率是 .
17.设 ，则 .
18.设 ，则 .
19.设 ，其中函数 在 处可导，则 .
三、讨论下列函数在给定点 处的连续性与可导性,若可导,求出 .
20. ； 21. ；
22. ； 23. .
第二节 导数的计算 （四则运算）
一、单项选择题
1.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.设 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.曲线 在点 处的切线斜率是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
5.设 , 则 .
6.设 ,则 .
7.设 ,则 .
8.设 ,则 .
9.设 ,则 .
10.设 ,则 .
11.设 ,则 .
12.设 ,则 .
13.设 ,则 .
14.设 ,则 .
15.设 ,则 .
16.设 ,则 .
17.设 ,则 ＝ ， ＝ .
18.设 , 则 ＝ ， ＝ .
19.设 ,则 ＝ .
三、完成下列各题
20.求曲线 上横坐标为 的点处的切线方程和法线方程.
21. 为何值时,曲线 与曲线 相切,并求曲线在该切点处的切线和法线方程.
22.证明: 双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于 .
第二节 导数的计算 （复合函数求导法）
一、单项选择题
1.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
5.设 则 .
6.设 则 .
7.设 则 .
8.设 则 .
9.设 则 .
10.设 则 .
11.设 则 .
12.设 则 .
13.设 则 .
14.设 则 .
15.设 则 .
16.设 ，则 .
17.设 ，则 .
18.设 ，则 .
19.设 ，则 .
20.设 ，则 .
21.设 ，则 .
22.设 ，则 .
23.设 ，则 .
24.设 ，则 .
25.设 ) ， .
26.设 ，则 .
27.设 ，则 .
28.设 ，则 .
29.设 ，则 .
30.设 ，则 .
第三节 高阶导数
一、单项选择题
1.设 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.设 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.设 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二 填空题
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
三、求下列函数的一阶和二阶导数
10.设 ，则 .
.
11.设 ，则 .
.
12.设 ，则 .
.
13.设 ，则 .
.
14.设 ，则 .
.
15.设 ，则 .
.
16.设 ，则 .
.
（下列各题中函数 均二阶可导）
17. 设 ,则 .
18. 设 ,则 .
19. 设 ,则 .
20. 设 ,则 .
三、计算题（求下列函数的 阶导数）
21. ； 22. ；
23. ； 24. .
第四节 隐函数与参数方程确定的函数的导数
一、单项选择题
1.设 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.设 由方程 确定，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.设 由方程 所确定，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.曲线 上相应于 点处的切线斜率是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.若 由方程 确定，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
6.设 由方程 确定，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
7.设 ，则 【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
二、写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程
8. 在 处； 9. 在 处；
三、计算下列参数方程所确定函数的导数
10. 求 ； 11. 求 ；
12. 求 ； 13. 求 .
四、求由下列方程确定的隐函数 的一阶导数
14. ； 15. ；
16. ； 17. .
第五节 函数的微分
一、单项选择题
1.设 可导，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.若 ，（ 为大于零且不等于1的常数）则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.设 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.若 ， 可导则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
6.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
7.设 ，用微分求得 的近似值为【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
8.设函数 在闭区间 上连续，则 在 内一定【 】.
A.单调； B.有界； C.可导； D.可微.
9.设 是由方程 确定的隐函数，则 【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
10.若 在 处可微，当 趋于零时，则在 处差 是关于 的【 】.
A.高介无穷小； B.等价无穷小； C.低价无穷小； D.不可以比较.
二、填空题
11.设 则 .
12.设 则 .
13.设 则 .
14.设 则 .
15.设 则 .
16.设 则 .
17.设 则 .
18.设 则 .
19.设 .
20.设 则 .
三、求下列函数的微分
21. ； 22. ；
23. ； 24. ；
25. ； 26. .
第六节 导数在经济分析中的应用
1.设生产某商品 单位时的总成本函数和总收益函数分别为: (元), ,求该产品的边际成本函数、边际收入函数和边际利润函数.
2.设某商品的销售量与需求量相等,该商品销售 单位时的总成本函数与需求函数分别为 ,求边际利润为零时的销售量.
3.某商品的需求量 是价格p的函数, , ,求需求量对价格的弹性.
4.设某产品的总成本函数为 ,而需求函数为 ,其中 为产量,p为价格,试求:
(1) 边际成本,边际收益,边际利润；
(2) 收益的价格弹性.
5.指出下列需求关系中，价格p取何值时，需求是高弹性或是低弹性的?
(1) ； (2) .
6.设某产品的总成本函数和需求函数分别是 , ,其中 是产品的销售量(假设等于需求量), 为价格.试求(1)边际利润;(2)收益的价格弹性.
7.某厂生产某种产品 (百台)的总成本为 (万元),其中固定成本为2万元,每生产1百台,成本增加1万元,平均每年可销售4百台,销售收入 为 的函数,且
求 (1)利润函数; (2)边际利润.
第二章 综合练习题
一、单项选择题
1.设 在 的某个邻域内有定义,则 在 处可导的一个充分条件是【 】.
A. 存在； B. 存在；
C. 存在； D. 存在.
2.设 其中 是有界函数,则 在 处【 】
A.极限不存在； B.极限存在但不连续；
C.连续但不可导； D.可导.
二、完成下列各题
3.下列各题中均假设 存在,按导数定义观察下列极限,指出A表示什么?
(1) ；
(2) ,其中 ；
(3) ；
4.将一物体上抛,设经过t秒后,物体上升的高度为 ,求
(1)物体在 到 秒时段内的平均速度.
(2)物体在 秒时刻的速度.
5.设 ,且 在 处连续,问 在 处是否可导?
6.若 是奇函数,且 存在,试问: 是否存在?若存在, 和 有何关系?
7.设 表示 个劳动力所生产的某商品的数量,称 为 个劳动力的平均劳动生产率,试求劳动力数量为 时的边际劳动生产率,并说明它的实际意义.
8.企业的资金都是随着时间的变化而变化的.已知某厂的资金 是时间 的函数 ,求 时资金的增长率和增长率的变化率.
9.求曲线 在点(1,1)处的切线方程和法线方程.
10.用对数求导法求下列函数的导数
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
11. 求下列方程确定的隐函数 的二阶导数
(1) ； (2) ；
12.验证函数 满足关系式 .
13.验证函数 (其中 是常数)满足关系式 .
14.求下列参数方程所确定的二阶导数 .
(1) ； (2) .
15.落在平静水面上的石头,产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是 ,问在 末扰动水面面积的增大率为多少?
16.已知 ，计算在 处当 分别等于1，0.1，0.01时的 和 .
17.设函数 在任意点 处增量 ,其中 是比 高阶的无穷小,求 .
18. 计算下列近似值
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(4) ； (6) .
19.当 较小时，证明下列近似公式
(1) （ 是弧度）； (2) ；
(3) ； (4) .
20. 若函数 在点 处连续,且 存在,试证 在点 处可导.
21. 设函数 在点 处可导, ,试求 .
22.设有分段函数 ,其中 和 均可导,问 是否成立?成立的条件是什么?
23. 设 ,其中 为常数.试问 为何值时, 在 处可导,为什么?并求 .
24. 确定 的值,使函数 在( )内处处可导,并求它的导函数.
25. 对于任意正数 有 且 ,证明 在(0,+ )可导,并求 和 .
26. 求曲线 在点( )处的切线方程和法线方程,证明:在它的任一点处的切线介于坐标轴间部分的长为一常量.
27. 设曲线 与 都通过点(-1,0),且在点(-1,0)有公共切线,求 的值.
28. 设 由 所确定,求 ,并求 处曲线的切线方程.
29.设 ,求 .
30. 已知 , 求 .
31. 设某商品的需求函数为
(1) 求 =4时的收益价格弹性,并解释经济意义；
(2) 求 =6时的收益价格弹性,并讨论调价措施.
第三章 微分中值定理与导数应用
本章要点
1.罗尔（Rolle）中值定理和拉格朗日（Lagrange）中值定理。
2.罗必塔（ Hospilal）法则求不定式的极限。
3.函数的极值概念。
4.判断函数图形的凹凸性；拐点。
5.描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。
本章目标
1.理解罗尔（Rolle）中值定理和拉格朗日（Lagrange）中值定理。
2.了解柯西（Cauchy）中值定理。
3.会用罗必塔（ Hospilal）法则求不定式的极限。
4.理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
5.会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点；会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）.会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
本章重点
1.理解拉格朗日（Lagrange）中值定理。
2.用罗必塔（ Hospilal）法则求不定式的极限。
3.求函数的极值.
4.求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
本章难点
1.解拉格朗日（Lagrange）中值定理及其应用。
2.函数的极值。
3.用罗必塔（ Hospilal）法则求不定式的极限.
第三章 总结
本章我们利用极限理论从局部对函数变化性态进行了更深入的研究。
1.导数的应用是一元函数微分学的又一重点，也是难点。一般地，微分中值定理有三种基本应用。
（1）利用在一个区间上，函数的导数等于零，则函数在这个区间上恒为常数，证明等式；
（2）利用对中值定理中中值的放大与缩小，证明不等式；
（3）利用导函数的极限求左右导数，求分段函数在接点处的导数值。
2.利用导数来研究函数的单调性、极值、和凸性等；
3.利用函数的微分和Taylor公式来计算函数的近似值。
4.利用导数知识证明不等式常用以下五种方法：
(1)利用拉格朗日中值公式；
(2)利用函数单调性；
(3)利用函数的最大值和最小值；
(4)利用函数图形的凹凸性；
(5)利用泰勒公式。
导数为不等式的证明提供了不少有效方法，使用时究竟用哪种方法更合适，很难作出肯定回答，需要根据不等式的具体形式来加以选择，有的同时可以用多种方法证明.希望读者多加揣摩。
另外还应该注意：
（1）函数曲线在导函数单调增区间上下凸，函数曲线在导函数单调减区间上上凸。
（2）导函数的极值点所对应的曲线上的点为函数曲线的拐点。
导数应用要比求导法难一些，所以同学们在学习这部分内容时，不要操之过急，要逐步掌握。
第一节 微分中值定理
一、单项选择题
1.对于函数 ，满足罗尔定理全部条件的区间是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.如果函数 在 上满足罗尔定理全部条件，则至少存在一点 ，使得 ，其中 满足【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.函数 ，满足拉格朗日中值定理条件的区间是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.下列函数中在给定区间上满足罗尔中值定理的是【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
5.设函数 ，则方程 有【 】.
A.一个实根； B.二个实根； C.三个实根； D.无实根.
6.区间 上满足拉格朗日中值定理条件的函数是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
7.函数 在 上满足拉格朗日中值定理的全部条件，则使结论成立的 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
8.函数 在 上使拉格朗日中值定理结论成立的 =【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
9.下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
10.下列函数中，在闭区间 上满足罗尔定理条件的是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、证明题
11.证明恒等式： ( ).
12.若函数 在 内具有二阶导数，且 ，其中 ，证明：在 内至少有一点 ，使 .
13.证明不等式 .
14.设 ，证明： .
第二节 洛必达（L’Hospital）法则
一、单项选择题
1. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2. ，则此计算【 】.
A.正确； B.错误，因为 不是 型未定式；
C.错误，因为 不存在； D.错误，因为 是 型未定式；
3.设 在区间 内均有一阶连续导数，且 ， ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D.不存在.
4. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.下列求极限问题不能使用洛必塔法则的是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
6. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
7. .
8. .
9.设 为常数， .
10. .
11.设 在 点可导，则 .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24 .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
31. .
第三节 泰勒（Taylor）公式
一、应用泰勒公式求下列极限
（1）
（2）
二、求下列函数在指定点处具有佩亚诺余项的三阶泰勒公式
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
三、求函数 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.
四、求函数 的带有佩亚诺型余项的 阶麦克劳林公式.
五、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.
（1） ； （2） .
第四节 函数性态的研究
一、单项选择题
1.为使函数 在区间 内单调增加，则 应满足【 】.
A. 且 ； B. 且 是任意实数；
C. 且 ； D. 且 是任意实数.
2.对于函数 ，下列结论正确的是【 】.
A. 是极大值点； B. 是极小值点；
C. 不是曲线的拐点； D. 是曲线的拐点.
3.函数 的极小值点为【 】.
A. ； B. ； C. ； D.不存在.
4.函数 的极小值点为【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.函数 可能存在极值的点是【 】.
A. ； B. ； C. ； D.不存在.
6.下列说法中正确的是【 】.
A.若 在 内可导，则 在 内必有极值；
B.可导函数 的极值点 处必有 ；
C.若 在点 处可导，则 在点 处也可导；
D.在 内的连续函数必有取大值.
7.函数 在区间【 】.
A. 内单调减； B. 内单调增； C. 内单调减； D. 内单调减.
8.使函数 单调增加的区间是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
9.函数 在 上的最大值是 ，最小值是 ，若 ，则 【 】.
A.等于零； B.大于零； C.小于零； D.等于常数.
10.设 在 的某邻区内二阶可导，且 ，在点 处【 】.
A. 取得极小值； B. 取得极大值；
C. 不取得极值； D. .
二、填空题
11.函数 在区间 上极小值是 .
12.设函数 ，那么函数 的最小值是 .
13.函数 在区间 上是单调 .
14.函数 在 处取得极大值，因为 ，而 .
15.函数 在 内是单调递增的，原因是 .
16.当 时，函数 有极值，其中 为常数，那么 .
三、证明题
17.当 时，证明 .
18.当 时，证明 .
四、求下列函数的极值
19. ； 20. ；
21. ； 22. .
第五节 函数作图
一、单项选择题
1.曲线 【 】.
A.仅有铅垂渐近线； B.仅有水平渐近线；
C.既有铅垂渐近线又水平渐近线； D.无渐近线；
2.函数 的水平渐近线方程为【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.若直线 是下列曲线 的一条铅垂渐近线，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.下列曲线中上凹的是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.曲线 【 】.
A.没有拐点； B.有一个拐点； C.有两个拐点； D.有三个拐点.
6.若 在点 的某邻区内二阶可导，则 是点 为曲线 的拐点的【 】.
A.必要但非充分条件； B.充分但非必要条件；
C.充要条件； D.既不充分也不必要的条件.
7.若曲线位于其上任一点切线的上方，则该曲线是【 】.
A.下凹的； B.上凹的； C.上升的； D.下降的.
8.曲线向上凹与下凹的分界点是曲线的【 】.
A.驻点； B.极大值点； C.拐点； D.极小值点.
9.曲线 的铅直渐近线的方程是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
10.曲线 【 】.
A.只有水平渐近线； B.没有水平渐近线和铅直渐近线；
C.只有铅直渐近线； D.有水平渐近线也有铅直渐近线.
二、填空题
11. 的水平渐近线方程是 ，铅直渐近线方程是 .
12.曲线 在 内的拐点是 .
13.曲线 的向上凸区间是 .
14.曲线 有几个拐点 .
15. 的渐近线方程是 .
16. 的渐近线方程是 .
17. 的渐近线方程是 .
三、描绘下列函数图形
18. ；
19. ；
20. ；
21. .
第六节 最大最小值问题及在经济管理中的应用
一、求下列函数在指定区间的最大值与最小值
（1） ； ；
（2） ； .
二、要造一个圆柱形的油罐，体积为 ，问底半径和高为多少，才能使表面积最小？
三、设某厂生产某产品 单位的总成本函数为 （万元）
求：⑴产量是多少时，平均成本最低，并求其最低平均成本.
⑵平均成本最低时的边际成本.
四、某商品定价为5元/件，每月可售1000件，若每件每降价0.01元，则可多出售10件，求出售商品多少件时收益最高.
五、假设某种商品的需求量Q是单价p(单位:元)的函数: ,商品的总成本C是需求量Q的函数:C=25000+50Q,每单位商品需纳税2元.试求使销售利润最大的商品单位和最大利润.
第三章 综合练习
1.证明：若函数 在 内满足关系式 ，且 ，则 .
2.不用罗必达法则，证明极限 存在.
3.求下列函数的单调区间
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
4.证明曲线 有三个拐点，且三个拐点在同一条直线上.
5.设 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 .证明:存在点 ,使
6.讨论方程 的实根个数.
7.已知 , 其中 具有二阶连续导数, , ,求 并讨论 的连续区间.
8.设函数 在闭区间 上连续,且 .如果 在 存在且为增函数,证明: 在 内是增函数.
9.设 由方程 所确定,试求 的驻点,并判定它是否是极值点.
10.设 ,证明: .
11.设 , 求 的极值.
12.设 ,其中 是正整数, 在 处连续,且 ,问 在 处有无极值?
13.将长为 的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形,问这两段铁丝各长为多少时,正方形与圆形的面积之和为最小?
14.设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可以表示成
其中a、b、c均为正数,且 .
(1) 求p在何范围内变化时,使相应销售额增加或减少；
(2) 要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少?
15.某商品进价为 (元/件)，根据以往经验，当销售价为 (元/件)时，销售量为 件( 均为正常数,且 )。市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价。试问当销售价定为多少时，可获得最大利润?并求出最大利润.
第四章 不定积分
本章要点
1.不定积分的概念及性质。
2.不定积分的基本公式。
3.不定积分的换元积分法与分部积分法。
4.简单的有理函数的积分。
本章目标
1.理解不定积分的概念及性质。
2.掌握不定积分的基本公式。
3.掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。
4.会求简单的有理函数的积分。
本章重点
1.不定积分的概念及性质。
2.不定积分的基本公式。
3.不定积分的换元积分法与分部积分法。
本章难点
1.不定积分的概念及性质。
2.不定积分的换元积分法与分部积分法。
第一节 不定积分的概念及性质
一、单项选择题（下列各题中 为任意常数）
1. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.函数 的一个原函数是【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
4.在可积函数 的积分曲线族中，每一条曲线在横坐标相同的点上的切线【 】
A.平行 轴； B.平行 轴； C.互相平行； D.互相垂直.
5.曲线过 点，且每点切线斜率都是该点横坐标的2倍，则该曲线方程是【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
6. 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
7. 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
8. 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
9. 【 】
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. = .
24. .
25. .
26. .
27. .
第二节 基本积分法 （换元积分法）
一、单项选择题
1. 可变为【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
6. 【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
7. 【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
8. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题（写出简单步骤）
9. = .
10. = .
11. = .
12. = .
13. = .
14. = .
15. = .
16. = .
17. = .
18. = .
19. = .
20. = .
21. = .
22. = .
23. = .
24. = .
25. = .
26. = .
第二节 基本积分法（分部积分法）
一、单项选择题
1.用分部积分法可将 化为【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
2.不定积分 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.不定积分 【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
4.设 为常数，则不定积分 【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
二、计算下列各积分
5. ；
6. ；
7. ；
8. ；
9. ；
10. ；
11. ；
12. ；
13. ；
第三节 有理函数的积分
一、单项选择题
1. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3. 【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
4. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.函数 的一个原函数 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、计算题
6. ；
7. ；
8. ；
9. ；
10. ；
11. ；
12. ；
13. ；
14. ；
15. ；
16. ；
17. ；
18. ；
第四节 不定积分在经济领域的应用
1.已知成本函数 的导数等于 .并且产量 时成本 ,试求成本函数.
2.已知某产品的成本边际函数为 ,且产量 时成本 ，试求此成本函数.
3.如果生产某种产品 单位的总成本 (单位万元)的边际成本为 ,并且已知固定成本为100（单位万元），求总成本函数和平均成本函数.
4.已知某产品产量的变化率是时间 的函数 ，已知 .求此产品 时的产量函数 .
5.设某商品的需求量 是价格 的函数，该商品的最大需求量为1000（即 时 =1000）。已知需求量的变化率（边际需求）为 ，求需求量与价格的函数关系.
第四章 综合练习
一、单项选择题
1.设 则 【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
2.下列不定积分中，可用代换 计算的是【 】.
A. B. C. D.
二、填空题（写出简单过程）
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. ＝ .
三、计算题（求下列不定积分）
12. ；
13. ；
14. ；
15. ；
16. ；
17. ；
18. ；
19. ；
四、证明题
20.设 ，证明 （ 为自然数）.
21.设 ，证明 （ 为自然数）.
22.设 ，证明 （ 为自然数， ）.
五、计算题（用适当的方法求下列不定积分）
23. ；
24. ；
25. ；
26. ；
27. ；
28. ；
29. ；
30. ；
31. ；
32. ；
33. ；
34. ；
35. ；
36.已知 的一原函数 求 ；
37. ；
38. ；
39. ；
40. ；
41.已知 的一个原函数是 ，求 ；
42.设 ，且 ，求 ；
43.计算 ；
第五章 定积分及其应用
本章要点
1.变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理。
2.牛顿（Newton）一莱布尼兹（Leibniz）公式。
3.定积分的换元积分法与分部积分法。
4.反常积分的概念。
5.定积分简单应用（如求面积、体积、孤长、功、引力等的方法）。
本章目标
1.理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理。
2.掌握定积分计算的牛顿（Newton）一莱布尼兹（Leibniz）公式。
3.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
4.了解广义积分的概念。
5.掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、孤长、功、引力等）的方法。
本章重点
1.变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理。
2.计算定积分的牛顿（Newton）一莱布尼兹（Leibniz）公式。
3.定积分的换元积分法与分部积分法。
本章难点
1.变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理。
2.定积分的换元积分法与分部积分法。
3.定积分简单应用（如求面积、体积、孤长、功、引力等的方法）。
第一、二节 定积分的概念与性质
一、单项选择题
1.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.设 ，则 与 的大小关系是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3.设 ，又 ，则【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4.设 ，则【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.若 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
6.设 在 上可积（即定积分 存在）则在 上一定可积分的是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
7.设 在 上连续，且 ，则下列正确的是【 】
A. ； B. ；
C. ； D. .
二、计算题
8.设 ，求积分 的值.
9.用定积分的几何意义计算 .
10.用定积分定义计算 .
11.用定积分定义计算 .
12.用定积分的几何意义计算 .
13.用定积分的性质计算 .
14.用定积分的几何意义计算 .
三、不计算积分，比较下列各积分值的大小（用大于号或小于号）
15. ； 16. ；
17. ； 18. .
四、利用定积分估值性质，估计下列积分值
19. ； 20. ；
21. ； 22. ；
第三节 微积分学基本定理
一、单项选择题
1. ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.函数 对 的导数是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.设 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
6. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
7.定积分 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
8. 【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
二、填空题
9.设函数 连续， 可导，则 .
10. .
11.设 ，则 .
12. .
13. ，则 .
14. ＝ .
15. ＝ .
16. ＝ .
17. ＝ .
18.求 .
19.求 .
20.设 ，则 .
21. ＝ .
22. ＝ .
23. ＝ .
24. ＝ .
第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
一、单项选择题
1. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.已知 是偶函数，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
3. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
4. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
5.已知 ，则 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
6. 【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
二、填空题
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19.
.
20.
.
三、证明题（以下各题中 均是连续函数）
21.证明 ；
22.证明 ；
23.证明 ；
第五节 反常积分初步与 函数
一、单项选择题
1.下列反常积分中收敛的是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
2.反常积分 【 】.
A.发散； B.收敛于1； C.收敛于2； D.收敛于0.
3. 【 】.
A.收敛于 ； B.收敛于 ； C.发散； D.收敛于 .
4.反常积分 【 】.
A.收敛于 ； B.发散； C.收敛于 ； D.收敛于 .
5.在以下各积分中，不属于反常积分的是【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
6.下列反常积分收敛的有【 】.
A. ； B. ； C. ； D. .
7.反常 【 】.
A.发散； B.收敛于 ； C.收敛于 ； D.收敛于 .
8.反常积分 【 】.
A.收敛于 ； B.收敛于 ； C.发散； D.收敛于 .
9.反常积分 【 】.
A.收敛于 ； B.收敛于 ； C.收敛于 ； D.发散.
10. 【 】.
A.收敛于 ； B.发散； C.收敛于 ； D.收敛于 .
二、填空题
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. ＝ .
18. ＝ .
19. .
20. .
三、用定义判断下列反常积分的敛散性；若收敛，求其值
21. ；
22. ；
3. ；
24. ；
25. ；
26. ；
27. ；
28. .
第六节 定积分的几何应用
一、单项选择题
1.设以抛物线 与 为边界围成的物质薄板上任一点处的面密度 ，则该薄板的质量 【 】.
A. ； B. ；
C. ； D. .
二、计算题（求下列曲线围成的平面图形面积）
2. ， ；
3. ， ；
4. ， ；
5. ， ， ；
6. ， ， ；
7. ， ；
8.由曲线 所围图形的面积；
9.由心形线 所围图形的面积.
三、求由下列已知曲线围成的图形绕指定轴旋转而形成的旋转体的体积
10. ；绕x轴；
11. ；绕x轴；
12. ；绕x轴；
13. ；绕x轴；
14. ；绕x轴；
15. ；绕x轴；
16. ；绕y轴.
第七节 定积分的经济应用
1.已知某产品的年销售率为 ，求该产品前5年的总销售量.
2.已知某产品的边际收益函数为 ，其中Q为销售量，R=R（Q）为总收益，求该产品的总收益函数.
3.已知某产品的边际成本和边际收益函数分别为
且固定成本为100，其中Q为销售量，C（Q）为总成本，R（Q）为总收益，求最大利润.
4.某产品生产x个单位时总收入R的变化率（边际收入）为
（1）求生产了50个单位时的总收入；
（2）如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收入.
5.某产品的总成本C（万元）的变化率（边际成本） ，总收入R（万元）的变化率（边际收入）为生产量 （百台）的函数 .
（1）求生产量等于多少时，总利润最大？
（2）在利润最大的生产量上又生产了100台，总利润减少了多少？
第五章 综合习题
一、填空题
1. ＝ .
2. ＝ .
3. ＝ .
4. ＝ .
5. ＝ .
6. ＝ .
7. ＝ .
8. ＝ .
9. ＝ .
10. ＝ .
11. ＝ .
12. ＝ .
13. ＝ .
14. ＝ .
15. ＝ .
16. ＝ .
17. ＝ .
18. ＝ .
19. ＝ .
20. ＝ .
21. ＝ .
22. ＝ .
23. ＝ .
24. ＝ .
25. ＝ .
26. ＝ .
27. ＝ .
28. ＝ .
29. ＝ .
30. ＝ .
31. ＝ .
32. ＝ .
33. ＝ .
34. ＝ .
35. ＝ .
36. ＝ .
37. ＝ .
二、设 在 上可积，证明函数 在 连续；
三、设函数 与 在任一有限区间上可积，如果 ，试问 与 在 上是否相等？
四、设函数 在 的邻域内可导，且 ， ，计算
.
五、求函数 在区间[0，1]上的最大值与最小值.
六、求函数 的极值点.
七、设函数 在 连续,并满足条件 ,求 .
八、设函数 和 在区间 连续,且 , ，试证:至少存在一点 ,使得 .
九、设 在 连续,在 可导,且 .记 ,证明在 内, .
十、设 = ,讨论函数在其定义域内的单调性,极值,凹凸性,拐点.
十一、由曲线 ( )， 与 轴围成的平面图形绕y轴旋转一周产生一个旋转体,试用元素法推导出该旋转体的体积公式是 .
十二、已知 ； 求 .
十三、设直线 与抛物线 所围成图形的面积为 ，它们与直线 所围成的图形面积为 ,并且 .
(1) 试确定 的值,使 + 达到最小,并求出最小值;
(2) 求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.
十四、(人口统计模型)设城市人口的分布密度 随着与市中心距离 的增加而减小,某城市某年的人口密度为 (10万人/km2),试求该市距市中心2km的范围内的人口数.
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发表于 2014-5-12 17:18:51
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