南开15春《高等数学(二)》复习资料

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《高等数学（二）》复习资料
; z: X# f1 K' t3 V9 g3 [9 L4 ^
一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）
（一）、单项选择部分
$ B8 e: T' K/ K! ?  g1． （  ）。
* V2 t( ~3 Q% j$ ^9 W( |/ `（A）   （B）  （C）   （D）
% ]5 C% V& q% z* E★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.1（考核知识点解释及资料）：
函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,记作
，其中 称为积分号；  称为被积函数； 称为
  i0 y( }% ^: C6 o( V7 J被积表达式. 称为积分变量.
显然,若 为 在 上的一个原函数,则
             , 为任意常数.
5 _: Z; ^0 B3 {$ m( ~' d8 _基本积分表：
% |4 m+ Y+ F- ~. a! K9 J  ( 为常数)；


  
0 k/ E- D( D/ G+ I' ~+ K  
  
  v( q* ^6 S  J8 w7 ^& y2 b  
   
( D* H$ y/ d/ u- P* a* `7 w   
- T4 t: L( i( c; M  d( n$ E3 n. u  
  
' n' d6 F2 S9 q- U) Z: {  
8 ]0 D' q6 Q" l+ I" ~' q7 X# C  
上述“基本积分表”是各种积分计算的基础，要求熟练掌握。在这里
作为复习我们一次性给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
$ o# X- }9 {' i" p本题利用了基本积分公式： 。
资料：（C） 。
2．   （    ）。

/ E, f! j- `. z* z8 S8 G; u★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
' O4 e% l# n: L& ^不定积分的计算需要运用不定积分的性质：
，
( R) h4 y6 _( x4 X 。
计算过程如下：
   。
5 r! s  y) H( n! A    资料： 。
3． （    ）。

2 U3 A# q  @4 c9 c0 x! U9 _★考核知识点: 不定积分的换元积分法
附1.1.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
+ u# T* y! w3 p8 p& X常用换元公式如下：
；                       ；
；                         ；
" a/ R7 `! T0 }# Y6 z$ O$ t! | ；                             ；
；                       ；
；                     ；
；                  。
“常用换元公式”在许多换元积分中用到。在这里作为复习我们一次性
- N) G- y- N$ e& j给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
本题利用常用换元公式： 。
8 o% _7 i8 C1 e' V( p$ V  n计算过程如下：

6 H" w$ |3 R4 G% J; V  D( _资料： 。

  p/ x* s, a7 }' k& |, m2 [' I4．  （    ）。
5 Z+ \: D% [6 C4 W（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
% A' ?7 U+ B, J, w★考核知识点: 定积分的计算
8 R6 H0 |6 Q+ ]: E4 K4 n附1.1.4（考核知识点解释及资料）：
利用换元积分法可以证明：
若 在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
( P  p: ]3 q7 {$ J! H事实上， = + =
1 t3 m! ~1 i" X: B& ^  O; b3 a               = + =
, E! P1 p4 U; s               = + =
' G- R5 b& }, s7 L5 b, L               = 。
: M: V2 `; _0 {9 X% }当 为奇函数时， + =0，故 =0。
1 m7 I; t+ }3 F5 N在定积分计算中可以利用这个结论。
1 a; @$ a4 L" G
8 q$ f; \5 W3 D% _; u8 s, s资料： （A）0 。
5． （    ）。
/ o$ r4 G) P% \% S（A）-2；  （B）-1；（C）0；  （D）1
★考核知识点: 定积分的简单计算
$ P7 N$ i+ c0 Q5 u附1.1.5（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
0 O, Y/ f6 _1 I9 V* ?! T2 j% `牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
8 A% f, ~9 f% h+ D  _% y. \ 如果函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则
: R' O, b! k: @* q# h　　　　　　　　　　      
" P& P. |$ E% ?) T/ k2 k; z牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数 在 上的定积分，就是计算 的任一原函数在 上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
计算过程如下：
, V2 p% v* i7 G! V 。
( w( ?7 t% t- S) p- T: R& H8 v0 r! L资料：（D）1。
  f/ Y1 }: f7 |! o; H; R6．   （     ）。

' l  E; @9 H9 [0 \/ v★考核知识点: 不定积分的计算
4 ^+ g+ @1 G5 W6 C附1.1.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,
记作 .
, T+ S" q* z3 Q本题利用基本积分公式：  。
0 V7 x6 E, ]% r计算过程如下：
' h% q, W6 a1 q6 h  T) y4 I 。
. _- X  g7 J( t0 R$ H) V资料： 。

7．   （     ）。
5 }4 M" `+ y- Q$ Y4 Y# L

★考核知识点: 不定积分的计算
. q: h2 Q; r" P' a+ \8 G, a附1.1.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
运用不定积分的性质
+ k9 |) u( {; [, ` ，
9 Z% t  F- \  P- k$ B3 F1 @+ t& t本题利用基本积分公式：   
) K  S7 w- y8 y8 C计算过程如下：
   。
' ?8 W0 h3 h. F$ O    资料： 。

8． （    ）。

★考核知识点: 不定积分的计算
* I. L* e- b! Z附1.1.8（考核知识点解释及资料）：
函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,
记作 .
' n8 r+ r6 W1 I; I4 L! W' |关系式： 。
计算过程如下：

" a  a; D$ k3 N6 J$ c# D. x资料： 。
2 ?* v: t- i+ [
) B* }5 ]9 w0 T. b2 \9． （    ）。
7 a$ n- H3 x3 M* M' u1 H& l9 T（A）-2；  （B）-1；（C）0；  （D）1
7 Z: l& z& D1 h( p★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.9（考核知识点解释及资料）：
) B6 _3 @3 Y$ c  b利用换元积分法可以证明：
$ T! i+ X8 R$ ]0 L若 在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
事实上， = + =
8 n' w) W, {) M! h0 K               = + =
               = + =
' f7 r, C' H9 c4 R  a4 h& V3 W! h               = 。
. }1 O+ Y" U8 u" q& s8 v/ _当 为奇函数时， + =0，故 =0。
; |* S# j8 G- `; U6 d, E# ~. P在定积分计算中可以利用这个结论。
  E" f- ?; p+ V: M9 C4 D/ S: ^& V1 E9 ^资料：（C）0 。
. Z' e& T* x, F
1 r- x$ _' W7 q" `10． （    ）。
) w7 C) h5 L3 X; ~! C（A）-1；  （B）0； ；   
9 ?. r7 Y* d7 {★考核知识点: 定积分的简单计算
% M$ m+ t# p# x/ W# }( G& z附1.1.10（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
! @. t5 v; a# M, {0 W! O3 _牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
1 d. Y+ H5 X' R2 x 如果函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则
9 G% y/ W% \; D　　　　　　　　　　      
) U1 M3 O3 m2 j9 }$ z8 O, n牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数 在 上的定积分，就是计算 的任一原函数在 上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
! P( I; U& H  R0 z% m! o2 ~
/ |- Y- a% o& d" F, ?计算过程如下：
! T; z1 l9 K; f; [. d; s' ?% x  。
. E6 U. G' M" e! J5 z2 p资料： 。

- s! _6 u( |& f: m: @11． （    ）。
* {8 n6 ]; w3 g/ G" k（A）   （B）  （C）   （D）
# v' O' V5 F6 \" D, w& y  H★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
* J  [$ ]7 k9 `+ ?, i函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,
9 G3 A$ f8 d5 L. Y4 x记作 .
本题利用基本积分公式： 。
计算过程如下：
  C+ o8 p9 R% o& G5 R: w# H   
* K! Y, t7 q& Y. f资料：（C） 。
* ]# Y) S( Z2 R3 N' y3 P
12． （     ）。

% I" I' _$ e5 B4 y. L! [★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
0 Z+ a- t. i( w1 H1 J4 b7 d运用不定积分的性质
  b; O# V) w- R8 I' ^ ，
本题利用基本积分公式：  。

: x9 \( l6 u0 X8 Q( s% P. @计算过程如下：
- p' \7 c& ]8 @   。
7 y2 K: p4 f) d: b( G; M    资料： 。
6 A% P# f  d5 j$ t$ ]
0 E7 N  B$ J3 m; }13． （    ）。
+ v, U+ I) a) o! h6 M; Q
★考核知识点: 不定积分的换元积分法
8 t& \8 e6 l& d! `附1.1.13（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
; t! G" X1 a( ]9 N) U% m' z本题利用常用换元公式： 。
+ F+ f& ]) S9 H5 R+ J: a本题利用基本积分公式：
计算过程如下：
。
资料： 。

14． （    ）。
; o0 D' A9 W2 \（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
2 h. ?4 L. m) ~) Y6 X, z7 O★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.14（考核知识点解释及资料）：
0 t6 t6 }9 ?, A利用换元积分法可以证明：
- S& M- F. w8 a$ }0 m1 [( O* \若 在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
事实上， = + =
               = + =
               = + =
               = 。
/ F; _, v) J( B9 |( v8 w当 为奇函数时， + =0，故 =0。
" e" |& o1 D. J4 w1 p在定积分计算中可以利用这个结论。
. r  N8 P; |& D; _. X
" l) Z; f3 t/ e5 Z1 [9 o资料： （A）0 。

3 `" o+ H; I; I" v% b1 y15． （    ）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
8 g6 }2 r8 ?9 A  w% _★考核知识点: 定积分的简单计算
" q/ N- [' w2 d附1.1.15（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
如果函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则
　　　　　　　　　　      
/ L! O1 q; A. Q  T9 ^0 ?7 L, |牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数 在 上的定积分，就是计算 的任一原函数在 上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
计算过程如下：
& y) T. i8 }) m) F) M: z  1。
资料：（B）1。

! k0 w( U/ w2 j1 d4 A5 Q二、主观部分：
' J% K' f* S! |1 t（一）、填空部分
+ m; q0 K  u6 g/ K- t: z7 b1.  ＝_________________________。
: j. J' e9 M# A4 p/ e- p★考核知识点: 不定积分的分部积分法
% \1 E$ X& s. N附2.1.1（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
如果 和 都是 的可微函数，分部积分公式为
。
4 G, a3 i2 _: L4 V 与 的选择要求：(1)  易求出；(2)  比 容易积出.
+ T3 o2 J0 s7 f5 F7 ?/ P计算过程如下：
, j& O5 ]2 w/ U+ @+ @6 ?设 ,则 ，有：
9 v4 B7 U4 u5 Y& Y. k5 z% A  o1 j ＝ =
3 P) X3 y6 \: W1 ~; W3 N                  ＝ ＝
资料： 。

$ k3 W. D; P. u+ {# F9 j$ z1 H* M2.   __________.
★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
7 b( \, M: m, Z0 B0 K; P附2.1.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
1 t) h; T0 P  w7 ^5 O$ j) G+ d; N% C设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
) v7 s% A4 w0 T3 a2 b! n 。
计算过程如下：
: u4 o5 p2 ?- n, a' k0 c7 j0 A 。
资料： 。
) R2 |8 W: U  \2 N/ n2 d
3. 设向量 ，则向量的模为_________.
★考核知识点: 空间向量运算
9 A4 I8 d0 |3 i  q: L1 l附2.1.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
4 g1 V4 N" [3 q# f: n9 w: ?% z, |向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与 相同的单位向量称为向量 的单位向量。
! C) A  ]6 |/ V* m  ]1 R; `/ M方向相同且模相等的两个向量 和 称为相等的。注意，这里所说的方向相同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向相同。因此，经过平行移动后能够完全重合的 向量是相等的。这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量。
! V0 W2 M) [* e0 B在直角坐标系中，以坐标原点 为始点，向空间一点 所引的向量 ，叫做点 关于点 的向径，通常用 表示。
, z2 J, V" u, P# b2 J) E/ C
8 }  ^9 G% \9 Z0 V: c9 h称为向径的坐标表示式。
记号 既表示点 ，又表示向量 ，因此，求点 的坐标就是求 的坐标。但要注意，在几何中，点与向量是两个不同的概念，不可混淆，在看到记号 时，须从上下文去认清它究竟表示点还是表示向量，当 表示向量时，可对它进行运算；当 表示点时，就不能进行运算。
计算过程如下：
/ e2 ]5 G' W9 f! ]                   =
& d& o! B4 G" o2 B) w$ O( B4 @资料： 。

4.  _____________.
★考核知识点: 空间平面方程
* x8 |! ^- I- m附2.1.4（考核知识点解释及资料）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
+ v+ I: h0 g, p0 p% C, V3 D0 |! l垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
6 v1 j9 V! [# \! W0 u9 c$ g& V* w( u假设平面 经过一定点 且其法线向量为 ，下面来建立平面方程。设点 是平面 上任一点，则向量 必与平面的法线向量 垂直，于是 ，而 ， ，所以平面方程为
& }$ Z; e' V! y+ z. ]8 f   
5 u; s, Z9 P1 g! e资料： 。

5.  _______.
; k" I- y. ]4 [2 V$ v★考核知识点: 二元函数的定义域
: [$ T" }  p; `, Q+ c8 s5 }附2.1.5（考核知识点解释及资料）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

" u& w' M: T+ [9 O+ V" w( }资料： 。
, |8 s, m3 l* _* W* G  c. p, \
6.   =_______________。
★考核知识点: 不定积分的分部积分法
6 E+ B+ _& t, x2 t: \$ g0 Z5 d附2.1.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
& q. Q9 u0 v5 l' Y如果 和 都是 的可微函数，分部积分公式为
: y- Z+ j9 \, R$ ?6 H 。
与 的选择要求：(1)  易求出；(2)  比 容易积出.
- b  K7 b0 V( X4 M# _6 [/ y( i计算过程如下：
% u+ Z6 U) {# a7 g设  ，   则  ，  。从而
              =  =  
! p$ `4 u# f; j. u  B" ]# x                    =  
0 E% W2 _! Z- z" C9 d2 q资料： 。
+ ~+ }8 q3 \- l% `
% y" r. H& t/ a5 Q& q! u1 h; K7.   __________.
★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
7 B; g( l+ {: Q2 M# ^" F+ a附2.1.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
。
计算过程如下：
。
% S/ A+ Z9 w  X9 K资料： 。
- }9 J7 a0 F3 f# J, f8. 设向量 ，则与该向量同方向的单位向量为_____________.
8 e) {, k. K4 B3 o% P  l) i2 y★考核知识点: 空间向量运算
! I5 A! w' s3 E: C9 L1 `附2.1.8（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
6 q  f' O8 Q8 [9 ?) v/ z6 f向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与 相同的单位向量称为向量 的单位向量。
方向相同且模相等的两个向量 和 称为相等的。注意，这里所说的方向相同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向相同。因此，经过平行移动后能够完全重合的 向量是相等的。这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量。
# T8 _7 b& a3 d) H8 |! f4 O在直角坐标系中，以坐标原点 为始点，向空间一点 所引的向量 ，叫做点 关于点 的向径，通常用 表示。
% x  i. D9 X1 r6 K& \
称为向径的坐标表示式。
计算过程如下：
                   = ； = 。
# M2 e0 ]$ T3 E- ]资料： 。

) N% b, o4 s$ ?2 e, }9 ^9.  _____________.
; J! h! }! Z' f8 @★考核知识点: 空间平面方程
- a* p5 T1 b: @8 Y' u0 j( i8 i附2.1.9（考核知识点解释及资料）：
& r: ~+ P# z0 d4 h确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
6 @( B3 o8 z, w: I) ?假设平面 经过一定点 且其法线向量为 ，下面来建立平面方程。设点 是平面 上任一点，则向量 必与平面的法线向量 垂直，于是 ，而 ， ，所以平面方程为
: D/ {- W/ G( d- j   
; d5 I. ~% Q) T, ]5 G资料： 。
! z0 T+ J% D+ R- A! Y9 F8 `
/ N! [2 ]4 ]5 T4 ]& F0 U+ ?10.  _______.
) R% T' E; x! j★考核知识点: 二元函数的定义域
( u5 Q+ k/ O% V( L* [附2.1.10（考核知识点解释及资料）：
& O* l. H3 T$ W3 W: X了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

  f% j% X$ C- W1 e资料： 。
: A: O3 N: T9 E) p1 s- J. q! ?$ ?
  k7 {1 N0 i6 w4 T8 y11.   = _______________。
4 |+ v" A: @% Z6 s; g% K: b$ t★考核知识点: 不定积分的分部积分法
附2.1.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
4 A$ ~% r" A( t1 B如果 和 都是 的可微函数，分部积分公式为
。
9 n6 k) s3 W6 o( z 与 的选择要求：(1)  易求出；(2)  比 容易积出.
计算过程如下：
1 v, A/ o; U" ]! j) X% T7 K( o设  ， ，则  ， ，有
4 q# a, _$ M. o              =  =
9 o$ [8 y& E+ ?; \& _                    =  =
                    = 。
; t% Q, n3 ^0 F: ~3 V资料： 。
. O* [2 X& y- u6 {5 @7 c

12.  __________.
% w0 d, x- e/ H  U& R7 e★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
: K- i8 _6 M$ _# F2 u/ |附2.1.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
。
  k: J/ P1 X7 {8 V. }$ \6 m计算过程如下：
( R" G1 |. m7 J* g8 D 。
资料： 。
; \/ _3 j1 M! Y7 _# q; d. G/ L/ P# U
13. 设向量 ，则与该向量反方向的单位向量为_____________.
★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.13（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
) d0 k  L4 z7 k* H0 r% I: K向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与 相同的单位向量称为向量 的单位向量。方向与 相反的向量为 。
: J7 B. _$ C* L  r; f5 E5 p9 p在直角坐标系中，以坐标原点 为始点，向空间一点 所引的向量 ，叫做点 关于点 的向径，通常用 表示。
5 K- \5 f7 b' x! D( `" h
称为向径的坐标表示式。
, a1 k  V( f; S. N* ^/ V" T计算过程如下：
                   = ； = 。
& ]2 h6 G4 x$ o; e资料： 。

( j# n6 E- l. h! |5 s& h- n& I14.  _____________.
★考核知识点: 空间平面方程
4 w  j) z% C6 F1 ?附2.1.14（考核知识点解释及资料）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
: y: Z8 h- N/ \, P+ ?* P3 Y垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
- ^7 q0 G! ]: A  a" E( U) j6 t假设平面 经过一定点 且其法线向量为 ，下面来建立平面方程。设点 是平面 上任一点，则向量 必与平面的法线向量 垂直，于是 ，而 ， ，所以平面方程为
   
资料： 。

+ z! c% o2 P# D2 c3 O15.  _______.
- `6 u  \5 `4 {( @8 i- N* E5 ]. T- S' d★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.15（考核知识点解释及资料）：
4 n! \3 R5 U' z$ h了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

资料： 。
$ a8 B  o: g, {8 j/ O& n+ Z% j  ~
（二）、计算题
, }& h2 c! }8 Y3 L5 c1. 计算  。
7 ?' u% A( |8 `) w* A* l: W★考核知识点: 定积分的换元积分法
* m; Z; j' _( z$ y3 ?& p附2.2.1（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
% e% x- o  C4 o4 s; n8 e0 q定积分的概念： 设函数y=f（x）在区间[a，b]上有定义，用分点
a=x <x <x  x <x  x <x =b
将区间[a,b]任意分成n个小区间，每个小区间的长度为 =
（i=1，2， n），记   ，在每个小区间[ ]上
0 Z7 F/ j( `% G+ y8 q任取一点 ，作乘积：
0 w; w; ?$ Z# L! u$ ~" l; e （i=1，2， n）
% \" x* z; v) h1 _将这些乘积相加，得到和式：

) n% U, o9 I1 [6 _; h- q这个和称为函数y=f（x）在区间[a，b]上积分和。
" d, k& M+ T) u% G令 ，若积分和S 有极限I，则称此极限值为y=f（x）在[a,b]上的
, B7 b" ?: a8 K, }! D" K+ K( _定积分，记作
5 d) t7 q" Y  k* MI=  =
  y' p9 b; D7 A* ^; G: N1 ~4 d- T记号“ ”为积分符号，来自字母“S”的一种古老写法，它表示“sum”（和），与“ ”一样；积分中的“dx”从因子 变来的；a和b分别称为积分下限和积分上限，[a，b]称为积分区间，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式。
设函数 在区间 上连续，并且满足下列条件：
（1） ，且 ， ；
（2） 在区间 （或 ）上单调且有连续的导数 ；
5 q+ ]& r' b* b则有
# z. d  z; ]. Y9 p5 n: g) u
+ v7 |4 Y# l+ a- T! V6 ]/ o, X8 R上述公式称为定积分的换元积分公式.
6 ]: ^. B2 _" `8 g在应用换元积分公式计算定积分时需要注意：公式相当于不定积分的第二换元法.计算时，用 把原积分变量 换成新变量 ，积分限也必须由原来的积分限 和 相应地换为新变量 的积分限 和 ，而不必代回原来的变量 .
. d) Z- q5 E; n5 D) Z' }参考资料：
0 L- h" @, @6 e设 ，则 = - =
= = .
7 T& }% P4 H" Q( E5 ]2 M/ l6 N
+ w0 c* l* P1 A" `0 @. k& ~& |
2.  。
: X, s" y6 r$ F★考核知识点: 二元函数的偏导数
0 J: y1 ]8 l' `3 _6 i附2.2.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
$ P& b9 d- H/ N" |( `9 {+ x1 p- u* h运用一元函数的微分法求二元函数的偏导数。在求偏导数时，
将另一个变元看作常数，这样就可以运用一元函数的微分法了。
9 c4 i2 ?) l# t, ~7 ~0 t. u参考资料：
' u: L7 Q/ N7 N3 j 。
7 k- k' |1 @0 a& F. H# h5 P
3. 计算 。
# u) k/ U. K+ C1 b★考核知识点: 定积分的分布积分法
& x0 L' G  {( r# x7 w附2.2.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
' _$ J' w0 g5 u: o0 Y, M设  在[a,b]上具有连续导数 ，则有
                     
. x4 m7 P$ w& q0 z5 y8 m3 h& z! Y& j故
      
$ {7 b8 n! C  F3 I/ g1 U  P               
这就是定积分的分部积分公式。
% o3 _2 S; j. {) B" z参考资料：
设u=arcsin , 则
      =  =
6 R+ x; R' C( j) C                 = +  =
& _* o; t! Z$ Z' Z& F/ k                 =

/ ]% `4 K( @, _5 M0 e: S4.  
★考核知识点: 二元函数的偏导数
+ W: w$ K7 B/ b: S7 r4 O/ m附2.2.4（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
; W! \5 P$ e* |# Y运用一元函数的微分法求二元函数的偏导数。在求偏导数时，
! ^$ B% o( ~# F将另一个变元看作常数，这样就可以运用一元函数的微分法了。

参考资料：
, G  I8 O. U6 L2 Q9 l% o

, n$ L/ q# G& }- ]* x$ R. b5. 计算  。
( W3 Z% c1 _8 {, M6 O: p- A★考核知识点: 定积分的计算
: d$ u1 |/ y2 j% o( q% L附2.2.5（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
, Q4 b# W+ p4 z) `: b. |" Z+ X! D& q设  在[a,b]上具有连续导数 ，
6 v% d8 `) [0 P8 I! X则有定积分的分部积分公式
! ~( M9 K, {% H" {0 {  `, d; T                        
* [3 p% s: z% b" x  P; W    有时要同时应用多种积分法来计算定积分，比如换元积分法和分部积分法。
参考资料：
设 ，则
+ z! y# \, k7 D$ s. G5 f% [9 Y/ o8 S    = = =
          = =
          =  =
          = =2

6.  
6 E5 W4 x* r' G$ k* E( Q/ f$ o. `★考核知识点: 复合函数的全导数
附2.2.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
2 X' A9 g* Z- b, V! E; L$ c% T
2 T- U( d( Q( F4 c1 _参考资料：
  r1 D5 K, ?$ g7 F! C3 z+ n
7. 计算 。
★考核知识点: 积分上限的函数及其极限
) n  ]: h0 x& H2 |. M8 f: p$ W) s附2.2.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
: f& h5 n( A5 D1 U3 G9 [$ l' ~2 N" R设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
9 \$ M& f9 |( H5 {4 r. p4 j  g! ^ 。

运用洛必达法则计算。
参考资料：
。
$ @; \+ I! P( M/ i/ u( _: V
8. 计算 。
★考核知识点: 广义（反常）积分的计算
附2.2.8（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
函数的定义域是无穷区间 ， 或 ，或被积函数为无界的情况.前者称为无限区间上的积分，后者称为无界函数的积分.一般地，我们把这两种情况下的积分称为广义积分
(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式.
(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必达法则.
% m7 n4 [+ L& P+ d参考资料：
8 q4 S. ~# e3 a/ ~; S
=
  =
- ^: Y) o/ O, O# I# ^) n8 R& E9 B .
0 x5 ?1 X6 N+ V7 X' N
9. 计算  。
4 S  d+ b  h* g0 A★考核知识点: 广义（反常）积分的计算
附2.2.9（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
被积函数为无界的情况，称为无界函数的积分.
0 X  o% G) w9 s. h(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式.
& o0 M( [! ]/ l5 D( Z# W& t(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必达法则.
) c6 N$ }! ]# ^参考资料：
- v. I/ v4 _/ _$ V% R1 \
/ U3 v) T  Y2 G
  {; {& g8 t1 B
: H+ r6 ?9 R( r/ P+ e& C10.求函数 的极值。
9 O: H% S. D5 W- x9 \★考核知识点: 求多元函数的极值
附2.2.10（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
0 {9 |. n  v' |7 r4 ?设函数 ，求函数的极值步骤如下：
2 n7 k% c$ i/ I4 p5 J( D（1）求方程组
3 n3 m  f' X: Y& p: J1 D1 a% [               ，
的一切实数解，得到一切驻点。
8 W( t; M2 O- k* o7 }; o' g8 W% L（2）对每个驻点 ，求二阶偏导数的值
$ Z" c9 C5 A8 C2 Q 。
3 F: R( i4 N+ d# I8 l（3）极值点的充分条件是
当 时，函数有极值，其中
& |, W  v7 N9 y$ T. ^+ G2 e 时，函数达到极大值； 时，函数达到极小值。
4 E' y. @; ?# W9 i& \参考资料：

/ Y7 {& @2 B. k7 m) x6 K% F9 w! c11.
1 p9 m5 L: n& o6 c★考核知识点: 求多元函数的极值
附2.2.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
     二元隐函数的求导公式：
设 ，则

; v% B8 i3 n# J6 ~% o设函数 ，求函数的极值步骤如下：
, e  w( T/ y5 r% Q（1）求方程组
9 u  k. |% g3 z1 R               ，
3 _; U9 V2 A' e$ y4 x$ t, \的一切实数解，得到一切驻点。
$ ^7 d& [' b0 u2 ^5 l4 _2 R（2）对每个驻点 ，求二阶偏导数的值
! l! u, {- f# v# h. }/ D2 |0 F4 C 。
/ O1 u# w9 `" c（3）极值点的充分条件是
当 时，函数有极值，其中
时，函数达到极大值； 时，函数达到极小值。
参考资料：



12.已知直角平行六面体的长、宽、高之和为定数 ，求其最大体积。
2 V3 X* m8 s# {/ t9 z1 j★考核知识点: 求多元函数的最大（最小）值
附2.2.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
条件极值问题可以用拉格朗日乘子法求解。拉格朗日乘子法：
求函数 在条件 下的极值点，按如下方法。
（1）        构造拉格朗日函数
                  
（2）        求一阶偏导数，令   
（3）        由方程组解出 ，其中 是可能的极值点坐标。
参考资料：

设平行六面体的长、宽、高分别为  。
3 w6 b. c4 l- B! m) C) ~依题意有  
  ，
       。
- q) Y9 X3 Q+ z1 s6 c- ?+ S; T又设
) B+ w/ |* |2 o/ p1 W# [* T
2 p' C- j: q3 ~! W- ~2 e8 _2 S
令         
解得唯一驻点 ，实际问题可知为最大值点，即当长、宽、高均为 时，其体积最大，这时， 体积 。

% x  U' k3 a' j( B" L6 w" x